книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие
.pdf230 |
СЛУЧАЙНАЯ |
ФУНКЦИЯ |
Игл. в |
Если процесс стационарный, то (5.46) зависит только |
|||
от разности аргументов т = t2 — tx. |
|
||
З а д а ч а 76. |
Найти переходную вероятность р (tu |
||
xi; t2, Xj) для пуассоновского процесса (t2 |
^). |
||
Р е ш е н и е . |
Так как |
пуассоновская |
случайная |
функция может только возрастать, то при Xj <Zxt, оче
видно, р (tx, xt; <2> xs) — 0- Если Xj — xi |
= х |
0, |
то, |
|
используя пуассоновское распределение, |
находим, |
что |
||
Р(t\, Xj, t2, Xj) =-* |
[X (h - h )] * e- 4 h - h ) |
|
(5.47) |
|
x! |
|
|||
|
|
|
|
|
За д а ч а 77. Найти, как ведет себя р {tu xt; t2, х}) =
=р (0, т, xj) для случайной функции задачи 72, если
т = t2 — tx бесконечно мало.
Р е ш е н и е . Процесс, рассмотренный в задаче 72, стационарный. Пусть число частиц в цилиндре при не котором значении аргумента t равно к. Тогда условная вероятность того, что при смещении цилиндра на т число частиц в нем уменьшится на 1, равна кх. Вероятность того, что число частиц увеличится на 1, равна пх, а ве роятность того, что число частиц не изменится, равна 1—кх — пх. События, состоящие во входе в цилиндр и вы ходе из него двух и более частиц, рассматривать не сле дует, так как их вероятности второго и более высокого по рядка малости относительно т. Итак,
р (0, к; х, к — 1) = кх, |
|
р (0, к; х, к + 1) = пх, |
(5.48) |
р (0, к\ х, к) — 1 — кх — пх. |
|
Из (5.48) видно, что рассмотренный процесс чисто раз рывный.
З а д а ч а 78. Найти р (0, т; dt, т!) для случайной функции — видимой величины к-й по яркости звезды в квадратной площадке, площадью 1 кв градус, перемещаю щейся вдоль галактической параллели. Среднее число звезд до видимой величины т в 1 кв градусе поверхности неба на данной широте равно N (т). Для решения задачи использовать "решение задачи 73.
Р е ш е н и е . Пусть при значении аргумента t ви димая величина к-й по яркости звезды в площадке равна т.
8 |
65] |
ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ |
231 |
|
|
При смещении площадки на dt, если из площадки выйдет одна из к звезд с видимой величиной те, то видимая величина к-й по яркости звезды увеличится, станет рав ной видимой величине (к + 1)-й по яркости звезды пло щадки. Вероятность этого события равна kdt. Если види мая величина к-й звезды равна те, то вероятность того, что видимая величина (к -f 1)-й звезды заключена в проме
жутке [те', те' + |
dm'], |
равна e~N(m')+ |
Л" (m') |
dm’. Та |
ким образом, если m! |
те, to |
|
|
|
Ф (0, m; dt, |
m') |
= kdt’e~N^m'i+N<-m'>N' (m'). |
(5.49) |
|
Видимая величина к-й по яркости звезды в площадке уменьшится, если в площадку войдет звезда с видимой величиной < т. Вероятность этого события —N (те) dt. Если видимая величина вошедшей звезды больше види мой величины (к — 1)-й по яркости звезды, то к-й по яр кости звездой станет вошедшая в площадку звезда. Ис пользуя решение задачи 63, найдем вероятность того, что видимая величина к-й по яркости звезды окажется в этом случае в промежутке [те', те' + dm']: эта вероятность равна
5 " (5-50)
Если видимая величина вошедшей звезды меньше види мой величины (к — 1)-й по яркости звезды, то последняя после этого станет к-й по яркости. Используя решение задачи 63, найдем, что вероятность того, что в этом слу чае видимая величина к-й по яркости звезды окажется в промежутке [те', те' + dm'], равна
(^ k - l)^ } p - N '{ m ')d m 'N { m ')d t . |
(5.51) |
Складывая (5.50) и (5.51), найдем для случая те' < те
Ф (0, те; dt, те') dm' — к N } т ^ |
N' (те') dm' dt. (5.52) |
NK1(т) |
|
Если при сдвиге площадки на dt из нее не выйдет ни одна из к звезд с видимой величиной те и не войдет ни одна звезда с видимой величиной •< те, то видимая
232 |
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ |
[ГЛ. 9 |
величина /с-й по яркости звезды останется неизменной. Вероятность этого события равна 1 — kdt — N (т) dt. Следовательно, при т = т
Ф (0, т; dt, т) = 1 — kdt — N (т) dt. |
(5.53) |
Выражения (5.49), (5.52) и (5.53) полностью опреде ляют переходные вероятности рассмотренной случайной функции. Рассматриваемый процесс, очевидно, является чисто разрывным.
З а д а ч а 79. Требуется найти переходную вероят ность L (0, $;dt, р + hfi) dh, описывающую случайный про цесс — изменение квадрата скорости звезды в звездном поле вследствие случайных двойных сближений со звез-
дамиполя. Р = |
—отношение квадрата скорости звезды |
||||||
к квадрату |
средней квадратичной скорости |
звезд |
поля. |
||||
L (О, Р; |
dt, |
Р + |
Щ) |
dh есть |
вероятность |
того, |
что за |
время |
dt изменение |
Р будет |
заключено в |
промежутке |
|||
[/гр, (h -f- (й)р] при условии, что в начальный момент р=
= р. Воспользоваться соотношением |
|
|
|
||
h = |
g2ur* |
Гgkw- |
+ 1 _ |
, |
(5.54) |
|
‘ + ljir |
|
|
|
|
полученным С. Чандрасекаром для случая, когда массы всех звезд одинаковы. Здесь g — прицельное расстояние между сближающимися звездами, т. е. то наименьшее рас стояние между ними, которое было бы достигнуто в слу
чае |
движения без |
взаимодействия |
по прямым линиям, |
|
р — произведение |
массы звезды на |
постоянную |
тяготе |
|
ния, |
k = vjv — отношение скорости звезды поля, |
с ко |
||
торой происходит сближение, к скорости рассматривае мой звезды, а — угол между векторами скоростей этих звезд, s = cos 0 — косинус угла между плоскостью орби ты при сближении и плоскостью, проходящей через век тора скорости звезд (если бы они выходили из одной точ
ки), w — относительная |
скорость звезд, |
определяемая |
равенством |
|
|
w2 = (1 -f |
к'2 — 2к cos а) |
(5.55) |
Функция распределения скоростей звезд поля / (к) из вестна.
§ 65] |
ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ |
233 |
Р е ш е н и е . При двойном сближении звезд Я , S, К , сс, Q являются случайными величинами (как и раньше, чтобы отличать случайные величины от значений, кото рые они принимают, обозначаемых в рассматриваемом случае h, s, к, a, g, использованы прописные буквы или полужирный шрифт). Четыре последние из них взаимно независимы и полностью характеризуют сближение. Ма тематическое ожидание числа сближений за время dt бесконечно мало. Оно равно вероятности, что за время dt произойдет одно сближение. Рассмотрим случайные векторы (Я, р, К, a, G) и (S , р, К , a, G). Справедливо равенство
/(1) (А, р, к, a, g) dhdp dk da dg dt =
= /(2)(s, P, k, a, g) ds d$dk da dg dt, (5.56)
каждая часть которого равна вероятности сближения с заданными характеристиками за время dt. Математи ческое ожидание числа сближений за время dt с при цельными расстояниями, заключенными в промежутке
[g> g+ dg], равно
D2ng dg w dt; |
(5.57) |
функция распределения угла а есть sin а , а функция рас пределения S
fs(s) = ^ y = = = . |
(5.58) |
Таким образом,
fa)(h, 3, к, a, g) dh d$ dk da dg dt
= f K(k)dk |
sin a da- D2ngdgwdt. (5.59) |
Чтобы получить плотность вероятности перехода, нужно в (5.59) заменить s и ds при помощи равенства (5.54) и затем проинтегрировать (5.59) по всем возможным значениям g, а и к:
L (0, 3; dt, 3+ АЗ) dh
= Ddh dt |
X |
■, f g " k ‘!-w '1 sin 2 a |
/ |
V — p -------- |
V 2 |
X sin awg dkdadg. (5.60)
9 T. Л. Агекян
234 |
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ |
[ГЛ. 5 |
Величина w дается равенством (5.60). Область интегриро вания G определяется неравенствами
|
е > о, |
|
(5.61) |
— 1 |
cos а + 1) |
(5.62) |
|
|
к > 0, |
(5.63) |
|
|
+ |
|
< 5 М > |
- |
1 < h < |
к2. |
(5.65) |
Неравенства (5.61) |
— (5.64) |
очевидны. |
(5.64) вытекает |
из условия |s| = |c o s 6|<; 1 и (5.54). Неравенство (5.65)
показывает, что квадрат скорости звезды не может умень шиться на величину, большую, чем сам квадрат скорости, и не может увеличиться больше, чем на квадрат скорости звезды, с которой произошло сближение.
Выполняя интегрирование по области G (предлагаем это проверить читателю), находим для случая h !> О, т. е. когда скорость звезды после сближения возрастает,
L (0, Р; dt, р -f- ЛР)dh =
Vl+h
= 7?m T D ^ d‘ [ \ ^ - h ) Y w ^ k h i . k ) d k +
УХ
оо
+ 5 т ( л + т ) ^ ^ й ] - (5-66)
Vi+iT
Если распределение скоростей звезд поля максвелловское,
2
dk,
то после подстановки его в (5.66) и использования форму
лы интегрирования по частям получаем для случая h |
0 |
||||
L { 0 , p;df,p + |
fcP) = |
|
1 |
■№'+b) |
|
_8 ]4бл |
dt |
|
|||
^ (4fc2+ h)e |
|
||||
dk. (5.67) |
|||||
~ |
(F)s pft» |
|
|
|
|
§ 66j |
З а д а ч и о в ы б р о с а х |
235 |
Для случая h 0 аналогично находим (при максвел ловском распределении скоростей звезд поля)
L (О, Р; dt, р + |
Щ = |
V1+д |
|
|
|
г. |
о |
|
|
- |
- - |
J(4*а - h ) e ~ ~ |
dk. (5.68) |
|
|
( ) |
0 |
|
|
§ 66. Задачи о выбросах
Во многих приложениях теории случайных процессов
необходимо исследовать вероятностные характеристики пересечения случайной функции некоторого заданного Уровня.
Если при некотором значении аргумента случайная функция пересекает снизу вверх (или, если так условить ся, сверху вниз) некоторый фиксированный уровень х = = а, то говорят, что произошел выброс. Как только пос ле этого при некотором значении аргумента случайная функция пересечет уровень х — а в обратном направле нии, говорят, что выброс закончился. Очевидно, что вы брос в рассматриваемой задаче есть явление случайное. Его можно описывать при помощи различных характе
ристик, например, вероятностью, что в |
промежутке |
ft, t -f dt] произойдет выброс, распределением |
выбросов в |
промежутке [tu /2], средней длиной выбросов в проме жутке [*!, г2] и т. д.
Для того чтобы выброс произошел в промежутке необходимо, чтобы в момент t значение случай ной функции X (t) было меньше а, а в момент t + dt
стало больше а. Используя теорему умножения вероят ностей, можно определить вероятность этого события:
P [ X ( t ) ^ a < X ( t + dt)] =
а оо
= § fl (t, х) dx ^ cp (t, х\ t + |
dt, х') dx\ |
(5.69) |
|
— оо |
а |
|
|
Если случайный процесс стационарный, то (5.69) от t |
|||
не зависит: |
|
|
|
Р [X {t) < |
а < X « + dt)1= |
с dt, |
(5.70) |
9*
236 |
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ |
1ГЛ. 5 |
где величина
аоо
с ~ -jf ^ |
/1 (0, х) dx ^ ср (0, х\ dt, х') dx' |
(5.71) |
— оо |
а |
|
вычисляется, если заданы одномерная плотность вероятности случайного процесса и функция переходных вероят ностей.
Для стационарного случайного процесса с дискрет ным пространством значений
cdt — ^ |
Р (0, %г) 2 Р(0> х%, dt, Xj). |
(5.72) |
х - ^ . а |
x f > a |
|
1 |
3 |
|
Если вероятность выброса в промежутке длиной dt равна cdt, то математическое ожидание числа выбросов в промежутке длиной Т равно
сТ. (5.73)
Вероятность того, что в промежутке длиной Т не прои зойдет ни одного выброса, равна
е~сТ, |
(5.74) |
а вероятность того, что в этом промежутке произойдет хотя бы один выброс, равна
1 — е-ст. |
(5.75) |
Математическое ожидание времени пребывания ста ционарной случайной функции над уровнем а в проме жутке длиной Т равно
оо
ЬТ = т\ f1(0,x)dx |
(5.76) |
а |
|
или, для дискретной случайной функции, |
|
ЪТ = Т 2 Р (0, Xi). |
(5.77) |
Поэтому математическое ожидание продолжительности
§ 66] ЗАДАЧИ О ВЫБРОСАХ 237
одного выброса |
равно |
|
|
|
оо |
|
|
|
dt J / 1 (0, х) dx |
||
6 |
а |
(5.78) |
|
С |
|
||
J /] (0, х) dx |
| ф (0, х\ dt, х') dx' |
||
|
|||
|
|
а |
|
а для дискретной случайной |
функции |
||
Ъхг>а
С |
^ р ф , х х) |
р(0, |
х<; dt, Xj) |
|
х.^а |
Х‘>а |
|
З а д а ч а |
80. Для случайной |
функции — числа ча |
|
стиц внутри цилиндра, который может занимать различ ные положения,— решить задачу о выбросах для уров ня а, где а — целое число.
Р е ш е н и е . Так как при смещении цилиндра на dt следует учитывать возможность увеличения числа частиц только на единицу, то выброс за уровень х = а возможен только с самого уровня. Поэтому суммы, фигурирующие в (5.72), содержат только одно слагаемое:
cdt = — ndt.
Математическое ожидание числа выбросов на промежут ке длиной Т равно
о!
Средняя длина пребывания случайной функции над уровнем а в промежутке длиной Т равна
ЪТ = Т |
■чг! |
пке~п |
2 |
Ц - . |
|
|
/с=а+1 |
|
Средняя длина одного выброса равна
(5.79)
238 СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ 1ГЛ. 5
Когда а -*■ оо, то выражение (5.79) ведет себя как — —г .
Это физически понятно, так как очень большое а означает очень большую положительную флуктуацию числа час тиц в цилиндре.
В среднем на участке пути 1/а должен будет произой ти выход одной частицы, поэтому средняя длина выброса становится близкой к 1/а.
ля |
З а д а ч а 81. Для |
ориентации космического кораб |
необходимо, чтобы |
в полосе неба длиной L единиц |
|
{L |
1) и шириной в 1 |
единицу оказалась хотя бы одна |
квадратная со стороной в 1 единицу площадка с к звезда ми ярче т-й видимой величины. Математическое ожида ние числа звезд до m-й величины в площадке в 1 кв. едини цу вдоль всей полосы одинаково, равно N (т). Найти вероятность того, что космический корабль сможет произвести ориентировку. Воспользоваться решением задачи 78.
Р е ш е н и е . Расположим мысленно квадратную пло щадку на краю рассматриваемой полосы, а затем будем перемещать ее до противоположного края полосы. Путь, который она при этом пройдет, равен L — 1. Космичес кий корабль сможет произвести ориентировку при одном из двух несовместимых событий, если 1) уже в начальном положении видимая величина к-й по яркости звезды мень ше т\ 2) видимая величина А-й по яркости звезды в на чальный момент больше т, но при перемещении площад ки происходит хотя бы один раз выброс видимой величи ны /с-й звезды ниже уровня т.
m |
Вероятность события 1) равна |
fc |
„ |
|
|||
J |
я 1к ) dmi = i - |
2 |
• (5-8°) |
0 |
|
i=1 |
|
Для вычисления вероятности события 2) определим сначала вероятность выброса рассматриваемой случай ной функции ниже т за время dt. Для этого вероятность того, что в точке со значением аргумента, равным t, ви димая величина Ar-й по яркости звезды заключена в про межутке [ти ту -f- dwij, помножим на даваемую выра жением (5.52) вероятность перехода в точке со значени ем аргумента t -j- dt к видимой величине к-й по яркости
§ 67] СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ 239
звезды в промежутке |
[т , т' |
-f dm] при |
условии |
т' < тх и проинтегрируем по т' |
от 0до т, а по |
— от |
|
т до со: |
|
|
|
о° |
m , |
|
|
* $ т г = г г <г№">N ' <“ ■)dm' \ k S |
|
rn |
л |
1
(A- 1)1 -iVfc
S 'v ' <m'> “
(m) e~N(m) dt = cdt. (5.81)
Следовательно, математическое ожидание числа выбро сов при изменении аргумента на L — 1 равно
|
73ГГ15Г ЛГ* И ^ |
(т) |
- 1). |
|
(5.82) |
а вероятность события 2) равна |
|
|
|
|
|
1 - |
ехр [ - ^ 4 ^ N * И |
e^ |
<m) (L - 1)] |
• |
(5-83) |
Итак, вероятность того, что космический корабль смо |
|||||
жет произвести ориентировку, равна |
|
|
|||
2 - е-щт) | |
_ ехр [(Т4 |
^ |
N* (т) e~N^ |
(L — 1)] . |
|
|
|
|
|
|
(5.84) |
§67. Стохастический интеграл
Втеории вероятностей часто приходится сталкиваться со стохастическим интегралом вида
ь |
|
р = jjr](t)X(t)dt, |
(5.85) |
а
где т] (t) есть некоторая (не случайная) функция t, а X (t) есть случайная функция аргумента t. Для каждой реа лизации х (t) случайной функции X (t) интеграл (5.85) равен обычному интегралу Римана
ь
r\(t)x(t)dt |
(5.86) |