Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2720 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

190

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

[ГЛ. 1

нормальной генеральной совокупности взаимно незави симы. Плотности вероятностей этих случайных величии имеют вид

					---(ж—Х0)2
			U(z) = C3e			2°0	п	Qt	(4.60)
							п	Qt
			/3(з) = С4з ^ е				2°2	,	(4.61)
				С3С,		= С2.			(4.62)
Таким образом X распредлено по нормальному закону
с дисперсией, равной alln,					и средним, равным х 0. Соглас
но нормировке			нормальной			функции
					Уп				(4.63)
					Оо	У2л			(4.63)
					Оо	У2л
Так	как	а может		принимать значения					в промежутке
[О,	оо 1,	нормировка		С4 дает
		ОО	Пет*			п—3	оо	п — 3
		ОО				----------	оо	п — 3
	С4 ^ ап~2е		20»	йз					1.
		о				„ 2	О
Таким образом,						П—1
						П—1
				п—3	л 2				(4.64)
						п — 1		_П-1	(4.64)

				2 2	Г
				2 2	Г	~ Т ~
Подставляя (4.63) и (4.64) в (4.59), окончательно по
лучаем								п(х—У0)*+ПОа
								п(х—У0)*+ПОа
h (S, о)=						-71—2			0(т2
h (S, о)=			п—2			Vао е			• (4-65)
			п—2			Vао е			• (4-65)
		У п2		2
				2

§ 55]

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА

191

§ 55. Распределение Стьюдента. Оценивание параметров при помощи доверительного интервала

Рассмотрим новую случайную величину

гг It — хО

(4.66)

характеризующую случайную выборку, и найдем плот ность вероятности случайного вектора (Z, о):

/ (z, a) dz da — Д (х , a) dz da =

	„п- l	- т - т (1+г!)
п— 2	п — 1	dz da. (4.67)
У я 2 ~ Г	п — 1
У я 2 ~ Г

Чтобы найти плотность вероятности Z, проинтегри руем (4.67) по всем возможным значениям а:

р	_И	<4-68>
/.(*)-■ -	» - , ' (+ •) *•	<4-68>

Распределение (4.68), называемое распределением Стьюдента, примечательно тем, что оно не зависит от параметров х0 и <з0 нормальной генеральной совокупности.

Введем случайную величину

U = Z ] / ^ l = -~ хп У 7 ^ 1 ;

(4.69)

ее распределение определяется плотностью

S (и) =

1 +

(4.70)

У я (п— 1) Г (—

Вероятность того, что U по абсолютной величине не

192	ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ	РАСПРЕДЕЛЕНИЙ		[ГЛ. 4
превзойдет некоторого числа х > 0 ,			равна
	Р (—	X	s(u)du.
	Р (—	§	s(u)du.	(4-71)
		—X

Подставив вместо U его выражение (4.69) в неравенства

—и < U < х,

получим равносильные им неравенства

J - х -	< хп<	J	•	(4.72)
у п — 1			У п — 1
Следовательно, (4.71) можно записать в виде
Р (X - хТ <	х 0 < X	+ хТ)	= S (х, п),	(4.73)

где Т согласно (4.28) есть приведенный несмещенный вы борочный стандарт,

Т =	о
	У т ^ Ь i f ! < * < - ■ * ? . (« 4 )
И
<5 (х, л)			(4.75)
Равенство (4.74) дает оценку параметра распределения
х 0 при помощи	доверительного интервала. Доверитель
ным интервалом является		[Х — х7\	X -f- хТ\. Середина
доверительного	интервала	совпадает	с точечной оценкой

параметра х 0. Длина доверительного интервала, равная 2хТ, может быть сделана любой, так как х произвольно. При этом соответственно изменяется надежность S (х, п). Значения этой функции приведены в таблице 6. Мож но, очевидно, решать и обратную задачу — задавать на дежность (часто ее задают равной 0,95, 0,99 или 0,999) и находить доверительный интервал, в котором с данной надежностью заключен параметр распределения.

Для оценки параметра о0 нормальной генеральной совокупности используем распределение (4.61). Для

5 55]

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА

193

Т а б л и ц а 6

Значения функции

7 Т. А. Агскяи

194

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

[ГЛ. 4

Т а б л и ц а 6 (продолжение)

\	п	Н	12	13	14	15	16	17	18
	^	Н	12	13	14	15	16	17	18	ОС
X	^
	0,1	0,078	0,078	0,078	0,078	0,078	0,078	0,078	0,078	0,080
	0,2	0,155	0,155	0,155	0,155	0,156	0,156	0,156	0,156	0,159
	0,3	0,230	0,230	0,231	0,231	0,231	0,232	0,232	0,232	0,239
	0,4	0,302	0,303	0,304	0,301	0,305	0,305	0,306	0,306	0,311
	0,5	0,372	0,373	0,374	0,375	0,375	0,376	0,376	0,377	0,383
	0,6	0,438	0,439	0,440	0,441	0,442	0,443	0,443	0,444	0,452
	0,7	0,500	0,502	0,503	0,504	0,505	0,505	0,506	0,507	0,516
	0,8	0,558	0,560	0,561	0,562	0,563	0,564	0,565	0,565	0,576
	0,9	0,611	0,613	0,614	0,616	0,617	0,618	0,619	0,619	0,632
	1,0	0,659	0,661	0,663	0,664	0,666	0,667	0,668	0,669	0,683
	1,1	0,703	0,705	0,707	0,709	0,710	0,711	0,712	0,713	0,729
	1,2	0,742	0,745	0,747	0,748	0,750	0,751	0,752	0,753	0,770
	1.3	0,777	0,780	0,782	0,784	0,785	0,787	0,788	0,789	0,806
	1.4	0,808	0,811	0,813	0,815	0,817	0,818	0,819	0,820	0,838
	1.5	0,836	0,838	0,841	0,842	0,844	0,845	0,847	0,848	0,866
	1.6	0,859	0,862	0,864	0,866	0,868	0,870	0,871	0,872	0,890
	1.7	0,880	0,883	0,885	0,887	0,889	0,890	0,892	0,893	0,911
	1.8	0,898	0,901	0,903	0,905	0,907	0,908	0,909	0,910	0,928
	1.9	0,913	0,913	0,918	0,920	0,922	0,923	0,924	0,925	0,943
	2,0	0,927	0,929	0,931	0,933	0,935	0,936	0,937	0,938	0,955
	2,1	0,938	0,940	0,942	0,944	0,946	0,947	0,948	0,949	0,964
	2,2	0,948	0,950	0,952	0,953	0,955	0,956	0,957	0,958	0,972
	2.3	0,956	0,958	0,960	0,961	0,963	0,964	0,965	0,966	0,979
	2.4	0,963	0,965	0,966	0,968	0,969	0,970	0,971	0,972	0,984
	2.5	0,969	0,971	0,972	0,973	0,975	0,976	0,976	0,977	0,986
	2.6	0,974	0,975	0,977	0,978	0,979	0,980	0,981	0,981	0,991
	2.7	0,977	0,979	0,981	0,982	0,983	0,984	0,984	0,985	0,993
	2.8	0,981	0,983	0,984	0,985	0,986	0,987	0,987	0,988	0,995
	2.9	0,984	0,986	0,987	0,988	0,988	0,989	0,990	0,990	0,996
	3,0	0,987	0,988	0,989	0,990	0,990	0,991	0,992	0,992	0,997

любого к, 0 < х <	1,	можно	написать
	а„/х		п/2х* п—3
Р (хв0< О <	J /з (а)		■^ t 2 а-' £Й.
	Х<Т0		пх*/2
Неравенства			(4.76)
Неравенства
ха0 < О <		— и
		л

равносильны.

5 651 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА 195

Отношение

J tz ге *dt

£--------- = К(а, z)

J iz-V'dt

называется неполной гамма-функцией. Теперь (4.76) можно записать в виде

(4.77)

Равенство (4.77) решает задачу нахождения надежно сти при различных доверительных интервалах для а 0.

В то же время, очевидно, можно		задавать надежность и,
используя (4.77),	определять доверительный интервал.
В таблице 7 приведены значения функции
I (и, z) =	К (uYz, г) = р	^ tz~xe~ldt.

Чтобы получить требуемое значение К (a, z), нужно пу тем интерполяции найти из таблицы значение I (и, z),

где и — —~ . Функция I (и, z) является более удобной для

У г

табулирования, чем К (а, г).

Изложенный метод оценивания параметров при помо щи доверительных интервалов используется в теории ошибок.

Если постоянны определенные условия измерений, то вся совокупность возможных значений измерений есть нормальная генеральная совокупность. Плотность веро ятности распределения в ней аргумента,— результаты

измерения,— есть нормальная		функция:
		(х—Х'У
/(ж) =	1	(4.78)
/(ж) =	<зо v2я	(4.78)
	<зо v2я

где х0 — истинное значение измеряемой величины, а а0 — средняя квадратическая ошибка одного наблюдения.

196

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

[ГЛ. 4

Т а б л и ц а 7

						и V7
		Значения функции I (и,			z) =	1	tz	l е~ dt
		Значения функции I (и,			z) =	Г(2)	tz	l е~ dt
\ .	Z	1	2	3	4	5	6	7	8
U		1	2	3	4	5	6	7	8
U
	0,5	0,393	0,158	0,057	0,019	0,006	0,002	0,000	0,000
	1,0	0,632	0,413	0,251	0,143	0,076	0,039	0,019	0,009
	1,5	0,777	0,626	0,481	0,353	0,247	0,166	0,107	0,067
	2,0	0,865	0,774	0,673	0,566	0,463	0,366	0,282	0,210
	2,5	0,918	0,868	0,806	0,735	0,656	0,574	0,491	0,412
	3,0	0,950	0,925	0,891	0,849	0,799	0,742	0,679	0,612
	3,5	0,970	0,958	0,941	0,918	0,890	0,856	0,816	0,771
	4,0	0,982	0,977	0,969	0,958	0,943	0,925	0,902	0,876
	4,5	0,989	0,987	0,984	0,979	0,972	0,963	0,952	0,938
	5,0	0,993	0,993	0,992	0,990	0,987	0,983	0,977	0,971
	5,5	0,996	0,996	0,996	0,995	0,994	0,992	0,990	0,987
	6,0	0,998	0,998	0,998	0,998	0,997	0,997	0,996	0,994
	6,5	0,998	0,999	0,999	0,999	0,999	0,999	0,998	0,998
	7,0	0,999	0,999	0,999	0,999	0,999	0,999	0,999	0,999

\г

U N.	9	10	И	13	15	17	19	21
0,5	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
1,0	0,004	0,002	0,001	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
1,5	0,040	(Г,023	0,013	0,004	0,001	0,000	0,000	0,000
2,0	0,153	0,108	0,074	0,033	0,013	0,005	0,002	0,001
2,5	0,338	0,272	0,214	0,125	0,068	0,034	0,016	0,007
3,0	0,544	0,476	0,411	0,291	0,195	0,122	0,073	0,041
3,5	0,721	0,667	0,610	0,494	0,383	0,282	0,199	0,134
4,0	0,845	0,810	0,770	0,682	0,584	0,483	0,385	0,296
4,5	0,921	0,901	0,878	0,821	0,752	0,672	0,586	0,496
5,0	0,963	0,952	0,940	0,909	0,868	0,816	0,754	0,684
5,5	0,983	0,979	0,973	0,958	0,937	0,908	0,871	0,825
6,0	0,993	0,991	0,989	0,982	0,972	0,958	0,939	0,914
6,5	0,997	0,996	0,995	0,993	0,989	0,983	0,974	0,962
7,0	0,999	0,999	0,998	0,997	0,996	0,993	0,990	0,985

После того как выполнен ряд измерений (4.41), кото рый должен рассматриваться как случайная выборка из нормальной генеральной совокупности, и по формулам

§ 56]

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

197

(4.42) и (4.74) вычислены X и Т, равенства (4.73) и (4.77)

используются для оценок истинного значения измеряе мой величины х 0 и средней квадратической ошибки на блюдения а0 методом доверительных интервалов.

§ 56. Косвенные измерения. Метод наименьших квадратов

Во многих наблюдательных и экспериментальных ис следованиях встречается такое положение, когда величи ны хх, х2, . . ., хт, которые требуется определить, не посредственно измерить невозможно. Однако можно из мерить величины ух, у2, . . уп, являющиеся известны ми функциями величины хх, х2, . . ., хт,

тр (хх, х2, . . .,		з^щ)	у i, i ■	1,	2, . . ., п.	(4.79)
Необходимо	по	полученным		измерениям		величин
Уи У2, • •	Уп вынести		суждения	о	значениях	величин

Х17 Х27 • • ч хтщ

Будем считать, что вид функций тц- и значения входя щих в них параметров известны точно. Но измерения ве личин у ( содержат, как обычно, случайные ошибки.

Рассмотрим сначала важный частный случай, когда

все функции г);	являются линейными однородными,
	771
^1г (*1, 2-2) • •- I хт) ~	2 &ijxj — Ух, 1= 1,2,...,». (4.80)
	3 = 1

Тогда в развернутом виде система равенств (4.79) запи шется так:

а11х1 "f" ®12^2	+ • • •	а1тхт —Уъ
а21х1 + Й22^2	+ • • • +	а2тхт — У	(4.81)
			(4.81)
аП1х1“Ь &п2х2	+ • • • +	атпХ7П= Уп7

причем все коэффициенты ац известны точно. Отдельные уравнения в системе (4.81) называются ус

ловными уравнениями.

Ylt Y 2, . . ., Y n есть результаты измерений величин, истинные значения которых равны уг, у2, . . ., уп.

198	ОЦЕНИВАНИЕ		ПАРАМЕТРОВ		РАСПРЕДЕЛЕНИЙ	[ГЛ. 4
Поэтому			§1?
	Y\	Hi	§1?	i ~ \ ,	2, . . п,	(4.82)

где бг есть случайная ошибка измерения величины yt. Как и обычно, будем считать, что случайные ошибки бг распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0. Тогда случайная величина Y t — измерение величины г/г — имеет плотность вероятности

/(*i) =	= -е	2°0	(4.83)
/(*i) =	бо V 2я

Рассмотрим матрицу коэффициентов системы (4.81):

а11	я12	•	• aim
«ц\|\| = ®21	а22	•	. тп
	^п2	■ • ®nm

Рангом R матрицы называется максимальное число ли нейно независимых ее строк (или столбцов), рассматривае мых как векторы.

Если бы ошибки в измерении величины yt равнялись нулю, то уравнения (4.81) с У, вместо уг должны были бы удовлетворяться точно, и для того чтобы система (4.81) имела единственное решение, было бы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы (4.84) был равен тп. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы выполнялось условие п т.

Отметим, что при п = тп система (4.81) имеет единст

венное решение, даваемое формулами Крамера:
m
Xj = 7J- 2	(4.85)
i=l
где D — определитель системы (4.81), неравный	нулю,

так как ранг матрицы R = тп, a Dij — алгебраическое дополнение элемента а^.

Будем считать, что R = тп, п^> тп. В этом случае система (4.81) называется избыточной системой.

§ 56]	МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ	199
Если	бы величины у г измерялись точно, т. е.случай

ные ошибки б; были бы равны нулю, то, по предположению, в системе (4.81) с Уг вместо y t какие-то п — т уравнений были бы следствием остальных т уравнений, избыточная система (4.81) решалась бы однозначно, т. е. существова ла бы такая, притом единственная совокупность значений (хх, х2, . . ., хт), которая точно удовлетворяла бы всем уравнениям избыточной системы.

На самом деле измерения величин yt содержат слу чайные ошибки, и уравнения избыточной системы с У; вместо yt в какой-то мере противоречат друг другу. В об щем случае не существует такой совокупности значений

(хх, х2, . . ., хт),	которая при подстановке в уравне
ния (4.81) с Уг	вместо yt обратила бы эти уравнения в

тождества.

Для любой совокупности значений {хх, х2, . . ., хт) определим величины

Щ= Y x — 2 ciijXj,	i = l , 2 , . . . , га.	(4.86)
3 = 1

Величины ег называются невязками.

Имеется возможность при данном измеренном ряде значений Ух, У2, . . ., Уп найти такую совокупность значений xlt х2, . . ., хт, которая удовлетворяла бы прин ципу наибольшего правдоподобия. Для этого в представ лении (4.80), поскольку коэффициенты atj точно извест

ны, будем рассматривать хх,	х2, . . .,	хт как		парамет
ры функций yi, и определим точечные			оценки этих
параметров.
Исходя из распределений (4.83), найдем плотность
вероятности случайной выборки (У1;		У2,	. . .,	У„):
	п	т		2
/„ (Zi, z„ ..., Zn) = (во V 2я)-" в	20" г=1	i=1		. (4.87)

Согласно принципу максимального правдоподобия то чечными оценками хи х2, . . ., хт являются те значения, которые обращают в максимум плотность вероятности (4.87). Очевидно, что максимум (4.87) достигается, когда

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2720 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ