книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

показано, что при помощи операций (1.1) — (1.3), можно ввести в рассмотрение ряд новых событий. Казалось бы, выполняя эти операции многократно, можно ввести в

рассмотрение бесчисленное множество событий. Однако, как показывают, например, равенства (1.4) и (1.8), пов­ торное применение рассмотренных операций может при­ водить к повторению одних и тех же событий.

Совокупность событий называется полем событий, ес­ ли выполнение операций (1.1) — (1.3) над событиями поля приводит снова к событиям, принадлежащим полю.

АВ, АВ, АВ, АВ , АВ + АВ, А в + АВ, U, V.

Любая из операций (1.1) — (1.3), выполненная над собы­ тиями (1.10), снова приводит к одному из событий (1.10). Например,

~АБ = Л + В,

(ЛВ -}- А В) А В = А В = А -(- В ,

(.А + В) (А + В) = АВ + АВ.

§ 3. Полная система событий

Если при выполнении некоторого комплекса условий появление события А делает достоверным событие В, то мы будем говорить, что событие В содержит в себе собы­ тие А, и обозначать это свойство событий так: А а В.

состоящее в появлении 1, делает достоверным событие, состоящее в появлении нечетной цифры, следовательно,

верным А. В приведенном выше примере появление нечетной цифры не делает достоверным появление еди­ ницы.

В частном случае могут быть справедливыми как со­ отношение A CZ В, так и соотношение В d А. В таком случае события А и В называются равносильными, т. е. А = В. Если, например, в урне имеются шары различ­ ных диаметров, то событие А, состоящее в извлечении шара наименьшего радиуса, и событие В, состоящее в извлечении шара наименьшего объема, являются равно­ сильными событиями.

По этой причине все достоверные события (при выпол­ нении данного комплекса условий) являются равносиль­ ными, и мы можем все достоверные события обозначать одной и той же буквой (U). Аналогично равносильны все невозможные события (F).

Если при выполнении некоторого комплекса условий появление события А не делает невозможным появление события В, то события А и В называются совместимыми событиями. В противном случае события называются

несовместимыми.

При извлечении из колоды одной игральной карты события {появление валета} и {появление дамы} яв­ ляются несовместимыми событиями. Но события {появ­

т. е. А обозначает событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий С1, С2, . . ., Ст. Если все

называется полной системой событий, когда известно, что при выполнении комплекса условий одно из событий этой системы должно с достоверностью произойти. Для полной системы Сг, С2, . . ., Ст очевидно равенство

Простейшей полной системой событий является система

А, А.

§ 4. Понятие вероятности случайного события

При выполнении соответствующего комплекса усло­ вий достоверное событие обязательно произойдет, а не­ возможное событие обязательно не произойдет.

Среди тех событий, которые при выполнении комп­ лекса условий могут и произойти и не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основа­ нием, на появление других — с меньшим. Если, напри­ мер, в урне белых шаров больше, чем черных (шары от­ личаются только цветом, и перед извлечением шара урну встряхивают, чтобы шары хорошо перемешались), то рассчитывать при извлечении шара на появление белого шара больше оснований, чем на появление черного. Мы скажем, что вероятность появления белого шара больше вероятности появления черного шара. Таким образом, вероятность события есть величина, определяющая, нас­ колько значительны объективные основания рассчитывать на появление этого события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность события есть объективная величина, существующая независимо от познающего субъекта и определяемая всей совокупностью условий, при которых может произойти событие.

Объяснение, которое мы дали понятию вероятности, не является математическим определением, так как оно не определяет; это понятие количественно.

Исчерпывающей математической формулировки поня­ тия вероятности не существует. Однако важное значение имеют два определения этого понятия, являющиеся част-

т. е. равновозможные события имеют одинаковую вероят­ ность.

Если, например, находящиеся в урне шары отлича­ ются друг от друга только цветом, то при извлечении ша­ ров вслепую появление каждого из шаров следует счи­ тать равновозможным. Пусть в урне имеется 5 белых и 3 черных шара. Тогда полная система событий состоит из 8 равновозможных событий, а событие, состоящее в по­ явлении белого шара, подразделяется на 5 таких собы­ тий. Поэтому вероятность появления белого шара

Р(Л) = 4 .

Аналогично, вероятность появления черного шара

^ ( Я ) = 4 -

так как здесь число благоприятных событий равно 3. Из определения следует, что наибольшую вероятность

имеет достоверное событие,

P ( U) = 1 ,

а наименьшую — невозможное событие,

Р (У) = 0.

Вероятность любого события А удовлетворяет неравен­ ству

Если событие В содержит в себе событие А, то это означает, что события, являющиеся благоприятными для А, благоприятны и для В , но не все события, благоприят­ ные для В, являются благоприятными для А, иначе со­ бытия А и В были бы равносильными. Следовательно, если

A CL В,

то

Р(А) < Р (В).

За д а ч а 1. В изданном в 1781 г. каталоге Мессье, содержащем наблюдаемые на небе 108 ярких туманных

§5] КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 15

объекта, имеется 39 галактик, 29 рассеянных скоплений, 29 шаровых скоплений, 6 диффузных туманностей и 5 планетарных туманностей. Определить вероятность того, что из двух наугад выбранных в каталоге объектов а) каждый окажется галактикой, б) один окажется рассеян­ ным, а другой шаровым скоплением.

Р е ш е н и е . Выбор любой пары объектов из катало­ га следует считать одним из равновозможных событий. Общее число равновозможных событий равно числу со­

четаний из 108 объектов по 2, т. е. С\08. В задаче а) число благоприятных событий равно С\*. Искомая вероятность

Р= CtJCU S5 0,128.

Взадаче б) число благоприятных событий равно числу рассеянных скоплений, помноженному на число шаровых скоплений 29 X 29. Искомая вероятность

Р = 294СШ2 0,146.

З а д а ч а 2. Найти вероятность того, что при слу­ чайном выборе четырех букв на слова «математика» будут получены буквы, из которых можно составить слово «тема».

Р е ш е н и е . Общее число равновозможных событий равно числу сочетаний из 10 букв, составляющих слово «математика», по 4, а число благоприятных событий равно 2 X 1 X 2 X 3 = 12, так как буква V может быть выбрана двумя способами, буква V — одним, буква ’м‘ — двумя и буква ’а* — тремя способами. Искомая вероят­ ность

С = 1 2 /С = -5Г-

З а д а ч а 3. Найти вероятность того, что при извле­ чении из колоды п игральных карт (в колоде 52 карты) все они окажутся разных значений.

Р е ш е н и е . При п >■ 13 рассматриваемое событие является невозможным, так как в колоде различных зна­ чений карт всего 13. Следовательно, при п > 13 вероят­ ность события равна нулю.

Найдем Р при п ^ 13. Число всех равновозможных слу­ чаев равно Сю. Для нахождения числа благоприятных

ли одной и той же масти, то все они были бы различных значений. Число различных сочетаний п карт одной оп­

ределенной масти равно Ci3. Однако каждый раз, как будет получено некоторое сочетание карт одной масти, можно путем замены каждой карты на карту того же значения, но другой масти, получить еще одно сочетание тех же значений карт. Произведя все возможные такие замены для каждого сочетания из карт одной масти, по­ лучим все благоприятные события. Из этого следует, что

число благоприятных событий равно С”3-4П. Таким обра­ зом, при п 13 искомая вероятность

Р= 4

За д а ч а 4. Найти вероятность того, что при слу­

чайном распределении к частиц в п ячейках (к <1 п): а) в к определенных ячейках окажется по одной частице, б) в А: каких-то ячейках окажется по одной частице. За­ дачу решить в статистиках: 1) Больцмана, 2) Бозе — Эйнштейна, 3) Линден-Белла и 4) Ферми — Дирака. В статистике Больцмана, которой подчиняется обычный газ, частицы принципиально различны между собой, гак что перестановка двух частиц, находящихся в раз­ ных ячейках, дает новое распределение. Число же частиц в одной ячейке не ограничено. В статистике Бозе — Эйнштейна которой подчиняется, например, фотонный газ, частицы принципиально не различимы. Перестановка двух частиц, находящихся в разных ячейках, не дает нового распределения. Число частиц в одной ячейке не ограничено. В статистике Линден-Белла, которой под­ чиняются элементарные объемы фазового пространства звездных систем, частицы принципиально различимы, но в каждой ячейке может находиться не более одной час­ тицы. В статистике Ферми — Дирака, которой подчиня­ ется, например, электронный газ, частицы принципиаль­ но не различимы и в каждой ячейке может находиться не более одной частицы.

Р е ш е н и е . 1) В статистике Больцмана общее чис­ ло всех равновозможных событий равно пк, так как каждая частица может расположиться в каждой из п ячеек при любом расположении других частиц.

а) Число благоприятных событий расположения к частиц в к определенных ячейках равно числу переста­ новок частиц в этих ячейках — /с!. Таким образом, иско­ мая вероятность

б) Число благоприятных событий расположения к частиц в каких-то к ячейках равно числу различных соче­ таний к ячеек из общего числа га, помноженному на число перестановок к частиц. Таким образом, искомая вероят­ ность

2) В статистике Бозе — Эйнштейна для нахождения числа всех равновозможных событий выстроим все ячейки в ряд. Границы ячеек определяются перегородками. Чис­ ло всех перегородок, очевидно, равно га -j- 1. Частица считается находящейся в ячейке, если она оказалась

...

Рис. 1.

между перегородками ячейки (рис. 1). Если при некото­ ром данном распределении частиц в ячейках поменять между собой местами любые две или несколько частиц, то ввиду принципиальной неразличимости частиц в статистике Бозе — Эйнштейна нового распределения не получится. Точно так же не будет получено новых рас­ пределений, если поменять между собой местами перего­ родки. Однако каждый раз, как поменяются местами частица и перегородка (две крайние перегородки закреп­ лены и перемещаться не должны), будет получаться но­ вое распределение. Поэтому число всех равновозможных

числа перестановок между собой к частиц и числа пере­ становок между собой п — 1 перегородок.

а) Число благоприятных событий распределения час­ тиц по одной в к определенных ячейках равно ровно 1, так как перестановки частиц между собой новых распре­ делений не дают. Поэтому искомая вероятность

б) Число благоприятных событий распределения час­

тиц по одной в каких-то к ячейках равно Сп, следовательно, искомая вероятность

а! (п — 1) 1____

Р= {к п к) (1.23)

+— 1)! (в — 1

3)В статистике Линден-Белла частицы могут рас полагаться не более одной в ячейке. Но они принципиаль­ но различимы. Поэтому число всех равновозможных со­

бытий равно

— числу равновозможных событий. Искомая вероятность

статистике Линден-Белла выполняется требование за­

дачи б).

4) В статистике Ферми — Дирака, в отличие от ста тистики Линден-Белла, частицы принципально не различимы. Поэтому число всех равновозможных событий

равно Сп. Число благоприятных событий в задаче а) равно 1, а искомая вероятность

частиц. Каждая перестановка будет давать новое распре­ деление, за исключением случаев, когда будут перестав­ ляться частицы, находящиеся внутри одной и той же ячейки. Поэтому число благоприятных событий равно