книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

§ 48] МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА 171

Эти определения совпадают, очевидно, с определениями, данными ранее, так как

СО ОО ОО

Для двумерного случайного вектора (X , Y) важной характеристикой является смешанный центральный мо­ мент второго порядка:

—00—00

Рассмотрим смысл этой характеристики. Подынтеграль­ ное выражение в (3.146) положительно, когда отклонения х и у от математических ожиданий имеют одинаковый знак, и отрицательно, когда они имеют разный знак. Если отклонениям одного знака соответствуют, в общем, большие значения функции / (х , у), чем отклонениям разного знака, то интеграл (3.146) оказывается положи­ тельной величиной. В противоположном случае он отри­ цателен.

Если X viY взаимно независимы, то

ОО оо

так как центральные моменты первого порядка всегда равны нулю. Обратное утверждение неверно. Из равен­ ства нулю р.1,1 не следует, что X и Y взаимно независимы. Оно указывает лишь, что в среднем положительные от­ клонения одной из случайных величин X, Y компенси­ руются отклонениями определенного знака у другой из них. Можно сказать, что равенство нулю p.i,i означает

тистическая зависимость.

pi,i имеет размерность произведения размерностей случайных величин X и Y. Удобно ввести в рассмотрение

где Ox, cry соответственно стандарты X и Y. Характеристику г называют коэффициентом линей­

ной корреляции или просто коэффициентом корреляции

их коэффициент корреляции равен нулю.

Определим коэффициент корреляции в том случае,

Глава 4

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

ИСТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ

§49. Статистические коллективы

Пусть рассматриваются объекты, которые могут отли­ чаться друг от друга значением некоторой определенной характеристики, Всякое каким-то образом выделенное множество таких объектов называется статистическим коллективом (или генеральной совокупностью), а объекты,

в него входящие,— членами этого статистического кол­ лектива. Число членов статистического коллектива т называется объемом статистического коллектива. Харак­ теристика X, которая может принимать различные зна­ чения у различных членов коллектива, называется аргу­ ментом статистического коллектива.

Можно, например, рассматривать как статистический коллектив звездное скопление, считая аргументом массу (или температуру, или показатель цвета и т. д.) его чле­ нов-звезд. Можно также мысленно выделить как стати­ стический коллектив множество всех звезд спектрального класса В, входящих в состав Галактики, считая их све­ тимость (количество энергии, излучаемой в единицу времени) аргументом.

Примерами статистических коллективов будут мно­ жество частиц плазмы в некотором объеме с аргумен­

данного помещения, с аргументом,— модулем скорости молекулы.

Пусть в статистическом коллективе значение аргу­ мента хг имеют mi членов, хг — т 2 членов и т. д., x h — mk

называются относительными частотами значении аргу­ мента (4.2).

Очевидно, что если случайным образом извлечь из статистического коллектива один член, затем, после возвращения его обратно, снова случайно извлечь какойто член и т. д., то значения аргумента извлекаемых членов можно рассматривать как значения случайной величины. Если объем статистического коллектива ограничен, то эта случайная величина может быть только дискретной. Согласно классическому определению вероятность p t того, что случайная величина примет значение х ;, равна

относительной частоте аргумента т г .

Для изучения статистического коллектива исполь­ зуется аппарат, применяемый при исследовании случай­ ных величин.

Статистический коллектив определяется интеграль­ ным законом распределения аргумента, рассматриваемого

Произведение

mF (х)

дает число членов коллектива со значениями аргумен­ тов, не превосходящими х. Аналогично,

176 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ [ГЛ. 4

можно рассматривать как дифференциальный закон рас­ пределения аргумента с полной массой т. Величина

Статистический коллектив характеризуется моментами распределения. В частности,

является средним значением аргумента статистического коллектива, а

есть дисперсия аргумента. Часто их называют также сред­ ним и дисперсией статистического коллектива. Равенства (4.9) и (4.10) показывают, что если каждому члену стати­ стического коллектива (а не каждому значению аргумен­ та) присваивать свой номер, так что все mi = 1, то эти равенства должны быть записаны в виде

При такой записи среди значений жг могут быть и по­ вторяющиеся.

Статистический коллектив может иметь и бесконечно большой объем. Такой статистический коллектив счита­

ется заданным, если заданы функции распределения аргумента — плотность вероятности или интегральный закон распределения. Рассмотрим, например, статисти­ ческий коллектив — множество всех прямых, различным образом ориентированных в пространстве, в котором аргу­ ментом является угол между прямой и некоторой фикси­ рованной плоскостью. Объем этого статистического кол­ лектива бесконечен и даже несчетен. Аргумент в нем

может принимать любые значения в промежутке

Задать распределение аргумента в нем можно через плот­ ность вероятности. Выше мы показали, что если у рассма­ триваемых прямых все ориентации равновероятны, то

(4.13) имеет смысл доли членов коллектива, аргумент которых заключен между а и а + da.

Если полностью определены все условия выполнения измерения некоторой величины — инструмент, лицо, про­ изводящее измерения, обстановка, то тем самым можно считать, что образовался статистический коллектив бес­ конечного объема, аргументом которого является резуль­ тат производимого измерения. Как отмечалось выше, плотность вероятности аргумента будет нормальной функ­ цией (3.119) с математическим ожиданием, равным ис­ тинному значению измеряемой величины, и стандартом, равным средней квдратической ошибке измерения. Мы будем говорить, что в таких статистических коллективах аргумент распределен непрерывно.

Статистический коллектив можно описывать также сле­ дующим способом. Допустим, что все значения, прини­ маемые аргументом статистического коллектива, заклю­ чены в промежутке [а, Ь]. Разобьем этот промежуток на к равных частей, выбрав к так, чтобы в каждую часть попало достаточно много значений аргумента. Положим

Если Ах мало, то / (х)Ах приближенно (тем точнее, чем меньше Ах) равно вероятности попадания случайной

Когда Аж конечно, приближение в общем случае будет лучшим, когда ж совпадает с серединой промежутка. В таком случае плотность вероятности определяется из приближенного равенства

где mi — частота значении агрумента в данном интервале. Положив в равенстве (4.15) Ах = 1, мы видим, что плотность вероятности / (ж) приближенно равна вероят­ ности того, что случайная величина примет значение

в интервале

(4.16)

Для примера рассмотрим статистический коллектив звезд в окрестности Солнца, если аргументом служит абсолютная величина звезды М. Так как абсолютная

кратко называют функцией светимости.

Из многих определений функции светимости приведем те, которые были получены П. П. Паренаго (табл. 4) и

S 49] СТАТИСТИЧЕСКИЕ КОЛЛЕКТИВЫ 179

Т а б л и ц а 5

Функция светимости Лейтена

Как отмечалось выше, в таблицах4и5 плотность веро­ ятности / (М) приближенно равна доле звезд с абсолютной

величиной, заключенной в промежутке м - i м

Я -

Допустим, что табл. 4 и 5 дают истинное распределение по абсолютным величинам в двух каких-то статистических коллективах звезд. (На самом деле они являются двумя приближенными распределениями абсолютных величин звезд в окрестности Солнца.) Тогда имеется возможность при помощи моментов выполнить сравнения этих двух статистических коллективов. Нужно вычислить средние (Af0), стандарты (о0), асимметрии (As) и эксцессы (Ех).

Моменты относительно начала а (а удобно принять рав­ ными 14 или 15) вычисляются по формуле

которая отвечает и равенству (2.48) и (2.49). Затем по фор­ мулам (2.63) и (2.65) — (2.67) определяются М 0, ц2, р,3

и р,4, и при помощи (2.89) и (2.92) асимметрия и эксцесс. Результаты вычислений для функций светимости Па-

ренаго и Лейтена имеют вид