Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

160 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [ГЛ. 3

Таблица показывает, что очень малые и очень большие модули силы маловероятны. Наибольшее значение плот

ность вероятности имеет	около значения р, равного 1,6.
оо
Интеграл ^ р/2 (р) dp	сходится, следовательно, мате-

матическое ожидание модуля силы существует. Но инте-

о о
грал § р2/2 (р) dp	расходится, поэтому дисперсия модуля
о	Это вызвано тем, что, как показывает
силы бесконечна.	Это вызвано тем, что, как показывает

таблица 3, при больших значениях и (и следовательно, р) плотность вероятности убывает медленно.

§44. Центральная предельная теорема

Взадаче 61 было доказано, что сумма любого числа нормально распределенных случайных величин есть нор мально распределенная случайная величина. В § 42 уста новлено, что сумма п одинаково распределенных случай ных величин при п оо имеет асимптотически нормаль ное распределение.

Центральная предельная теорема обобщает этот ре зультат. В ее условии не требуется, чтобы слагаемые случайные величины были одинаково распределены. Рас пределения слагаемых случайных величин могут быть произвольными, если не считать некоторого условия, которое обеспечивает, чтобы при гг -> оо никакая огра ниченная группа слагаемых^не доминировала в общей сумме.

Центральная предельная теорема, доказанная А. М. Ляпуновым, формулируется так (мы ее приводим без до казательства).

Пусть


Z = X, +		Ха +	. . . +		х п'	(3.113)
— сумма независимых		случайных			величин,	имеющих
математические	ожидания		МХ% = at,			дисперсии
М (Xt — at)2 —	о*, а абсолютные			центральные моменты
третьего порядка М \| X t — аг \|3 =						П
				уг. Величины а = 2 «о

I 45] ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК 161

а2 = 2 of соответственно равны математическому ожида-

i=l		Тогда,	если выполняется условие
нию и дисперсии Z.
П	т,
2			при п -± о о,	(3.114)
^	----->0

то для любого заданного Z интегральный закон распреде ления

— ОС

равномерно по z.

Таким образом, при выполнении условия (3.114) сумма случайных величин асимптотически нормальна.

Если число слагаемых в (3.113) конечно, но велико, то распределение Z близко к нормальному.

На основании центральной предельной теоремы и ре зультатов, изложенных в предыдущих параграфах, мож но утверждать, что чем больше слагаемых в сумме (3.113) и чем ближе распределение каждого слагаемого к нормаль ному распределению, тем ближе к нормальному распре делению и распределение Z.

Этот вывод подчеркивает важную роль нормального распределения в теории вероятностей.

§ 45. Функция распределения случайных ошибок наблюдений

Допустим, что истинное значение некоторой величины есть х 0. Измеряя эту величину, как правило, получают результат, отличный от х0. Если измерение выполняется многократно, то результаты измерений не только отлича ются от х0, но в большинстве случаев различны и между собой. Обозначим результаты измерений:

^1,	• •	•,	.
Разности
64 = xt — х 0,	i =	1, 2, . . ., п,	(3.116)

назовем ошибками измерений величины х 0.

6 Т. А. Агекян

162	СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР	1гл. 3
Отношение ошибки измерения к истинному значению
измеряемой	величины (если последняя	не равна нулю)

ХО

называется относительной ошибкой измерения.

Практика измерений показывает, что нужно различать три вида ошибок: промахи, систематические ошибки и случайные ошибки.

Промахи — это ошибки, являющиеся результатом низ кой квалификации лица, выполняющего опыт, произво дящего измерения, его небрежности или неожиданных сильных внешних воздействий на процесс измерений. Промахи обычно приводят к очень большим по абсолют ной величине ошибкам. Необходимо, чтобы при выполне нии измерений возможность промахов была полностью исключена.

Систематические ошибки являются следствием влияю щих на измерения эффектов, действие которых не распо знано и не устранено (или не учтено). Например, луч света звезды при прохождении сквозь атмосферу Земли преломляется и путь его искривляется. Вследствие этого эффекта, называемого рефракцией, измеряемая высота светил над горизонтом всегда больше истинной высоты. Если рефракцию не учитывать, то в измерения высоты светила вносится систематическая ошибка. Причины, вызывающие систематические ошибки, исследуются в тех разделах физики, астрономии или иной науки, которые разрабатывают методику соответствующих измерений. Определяются правила исключения из результатов на блюдений систематических ошибок. Однако полное ис ключение систематических ошибок на практике не явля ется возможным.

Случайные ошибки являются следствием причин, влияние которых на практике невозможно или очень трудно учесть. Этих причин очень много, а роль каждой из них незначительна и изменчива. Поэтому исследовать каждую из причин, предусмотреть ее влияние при данном измерении невозможно.

Допустим, наблюдатель отмечает момент прохождения звезды через нить в поле зрения телескопа. Вследствие большого числа очень слабых толчков, испытываемых

§ 45] ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК 163

инструментом от проезжающих в отдалении автомашин, мелких сейсмических толчков, хлопаний дверьми в со седнем здании и т. д., направление оптической оси ин струмента и, следовательно, положение нити изменяются, не соответствуют заданным. Точно так же влияют тем пературные эффекты — изменения температуры у раз личных частей инструмента, вызываемые движениями воздуха, остыванием ночью различных сторон башни, в которой установлен телескоп, влиянием самого наблю дателя, занимающего в разные моменты различные поло жения относительно инструмента и т. д. Случайные дви жения в атмосфере вызывают видимые смещения, мерца ние звезды. Сам наблюдатель в разные моменты имеет различную психологическую настроенность на измерения, его реакция на наблюдаемое различна, ее изменения не поддаются учету. Он то фиксирует момент совпадения звезды с нитью несколько раньше, чем он это делает обыч но, то запаздывает.

Каждый из перечисленных для данного вида наблю дений эффектов сам является суммой большого числа мел ких эффектов, которые невозможно учесть. Можно лишь утверждать, что каждый мелкий эффект вносит некоторую ошибку, которая меняется от измерения к измерению, является случайной величиной, распределенной по не которому закону. Например, если бы никакие влияния, вызывающие ошибки, не действовали, кроме одного — сейсмических колебаний почвы, появляющаяся в измере ниях ошибка была бы случайной величиной, закон рас пределения которой определялся бы свойствами сейсми ческих явлений для данного места Земли и характером установки телескопа — его способности амортизировать толчки.

Можно принимать меры к уменьшению случайных ошибок. И это играет важную роль при организации измерений. Можно, например, в рассмотренной выше задаче наблюдений принять меры к тому, чтобы темпе ратурные влияния сказывались по возможности меньше: устроить вентиляцию башни (что приводит к выравнива нию температуры отдельных частей инструмента), по красить башню так, чтобы она меньше нагревалась днем солнцем, можно строить обсерватории дальше от до рог с сильным движением и вне сейсмических районов, в

164 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР 1ГЛ. 3

областях с высокой прозрачностью и малой подвижностью воздуха, чтобы мало сказывались колебания атмоферы, и т. д. В результате таких мер случайная ошибка будет уменьшаться. Однако полностью устранить случайные ошибки невозможно.

Случайная ошибка слагается из суммы большого числа случайных величин — ошибок, вызываемых раз личными трудно исследуемыми причинами. Эти случай ные величины сравнимы по величине в смысле выполне ния условия (3.114) теоремы Ляпунова; среди них нет доминирующих. Иначе доминирующие над другими сла гаемые — ошибки—выделялись бы, вызывающие их при чины могли бы быть подвергнуты исследованию и влияние этих причин устранено. Доминирующую ошибку можно исследовать как систематическую и вносить соответствую


щую поправку.
	Часто можно предполагать, что распределения слу
чайных		величин, из которых слагается случайная ошиб
ка,	мало] отличаются		от нормальных распределений.
Поэтому		на основании	результатов, сформулированных
в §	44 относительно суммирования случайных величин,

можно утверждать, что распределение случайной ошиб ки должно быть очень близко к нормальному. В теории ошибок это принимается за постулат, случайная ошибка измерений считается нормально распределенной случай

ной величиной.	ожидание		случайной ошибки долж
Математическое
но быть равно нулю.		Если	математическое	ожидание
ошибки отлично	от	нуля,	это означает,	что наряду
со случайной ошибкой		она содержит и систематическую

ошибку.

Таким образом, плотность вероятности случайной

ошибки имеет вид
/(6) = —	(ЗД17)
Так как	(3.118)
МЬ2 = а2,	(3.118)

то стандарт распределения, а, имеет смысл средней квад

ратической	ошибки.
На основании (3.117) и (3.116) плотность вероятности
случайной	величины — результата измерения — имеет

§ 46]	СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Х'2		165
		П	165
вид
	/ (ж) = — Ц г	»,	(3.119)
	s V 2я
где	2с0 — истинное значение	измеряемой	величины,

а —средняя квадратическая случайная ошибка измерения.

	§ 46. Случайная величина
Пусть	Х и Х 2, . . .,	Х п — взаимно независимые нор
мально	распределенные случайные величины с			= О
и ffj= l	(t= 1, 2, . . .,	п).	Рассмотрим сумму их	квадратов
			П
		tk =	S X I	(3.120)
			i=l

которая тоже есть случайная величина, и найдем ее плот ность вероятности. Согласно общему правилу

р (z < Хп < Z + dz) =

	П
= $•••$ ( V s ) ” *	<312,)
п
г < S < г + dz
i=l

Так как интегрирование в я-мерном пространстве выпол-

няется в области, где 2 х\ постоянна, равна z, то под-

i=l

интегральный, множитель можно вынести за знак инте грала:

p (z < J & < z + dz) =
= (2я)-"'2 e-V’z	$ . . . J dx1... d x n,		(3.122)
	П	< z -f- d*
г < 2		< z -f- d*
	i=l
Интеграл в правой части	(3.122)	равен объему	области

я-мерного пространства, в которой выполняется условие

<С 2 +

(3.123)

i=l

166	С Л У Ч А Й Н Ы Й В Е К Т О Р		\|Г Л . 3
	Чтобы определить этот объем, рассмотрим		равенства
	2	я? = z>	(3.124)
	П	х\ = z dz,	(3.125)
	2	х\ = z dz,	(3.125)
	i = l

являющиеся уравнениями концентрических с центром

в точке (0, 0,	. . ., 0) гиперсфер в «-мерном пространстве.
Радиус гиперсферы (3.124) равен Y z ,		а радиус с гипер-
сферы (3.125)	равен]/z + dz = Y~z + •	dz . Если «-мер

ный вектор {хх, х2, . . хп) попадает в область «-мерного пространства, заключенную между гиперсферами (3.124) и (3.125), то условие (3.123) будет удовлетворено, в про тивном случае условие (3.123) удовлетворено не будет. Следовательно, интеграл в правой части (3.122) равен объему, заключенному между концентрическими гипер сферами (3.124) и (3.125). Объем гиперсферы «-го порядка пропорционален «-й степени ее радиуса. Например, объем трехмерной сферы пропорционален кубу радиуса. А объ ем области, заключенной между двумя концентрическими гиперсферами, если разность их радиусов бесконечно мала, пропорционален (« — 1)-й степени радиуса, по множенной на толщину слоя между гиперсферами, т. е. на разность радиусов гиперсфер. Таким образом, искомый

п—1

объем равен CZ 2

dz и, следовательно,

7 ?

Р (z < Хп < Z + dz) = cxz 2 Хе 2 * dz.

(3.126)

%п может принимать значения от 0 до + °°- Выполняя нормировку, получим окончательное выражение для

плотности вероятности случайной величины у%:

/(* )“	(z)n/2-le	(3.127)
/(* )“		(3.127)
оо
где Г (а) = ^ t^ e ^ d t	— интеграл Эйлера второго рода,
о

§ 47]	О Б О Б Щ Е Н Н А Я		Т Е О Р Е М А М У А В Р А — Л А П Л А С А		167
	§ 47. Обобщенная теорема Муавра — Лапласа
Возвратимся		к	теореме Муавра — Лапласа		(§ 30).
В ней рассматривалась полная система событий
			А ,	Л ,	(3.128)
и было доказано,		что случайная величина
			Х = jnп	Р,
где	р — вероятность события			А, ш — число появлений

события А при п испытаниях, имеет асимптотическое
распределение		X*
f(x) =	а f2n	X*	(3.129)
f(x) =	а f2n	2а*	(3.129)
	1	2а*
если п -+ оо и пх3-v 0.	При	этом
	п		(3.130)
	п
В системе событий (3.128) события А и А равноправ
ны, но в распределении (3.129)		фигурирует только X —
отклонение относительной	частоты события А от наиве-

роятнейшего значения. В этом смысле распределение (3.125) не симметрично относительно событий А и Л. Чтобы устранить эту особенность, введем симметричные обозна

чения:	рх и	ttti	для вероятности				и частоты	события А
и соответственно				р2 и ш2 — для			события Л.	Очевидно,
что рх +	р2 =	1,		тх +	го2 =	/г, n»i — прх= — (го2 — прг),
с2 = —р 2 . Рассмотрим случайные величины
				mi — прх				(3.131)
				V прх				(3.131)
				V прх
		>^2		Шг — прг				(3.132)
		>^2		V прг				(3.132)
				V прг
Справедливо		равенство				X2
				Y\	п	X2		(3.133)
				Y\	п	= <5а	’	(3.133)

168 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [ГЛ. 3

в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Поэтому

h (Уи Уг) dyxdy2 = / (х) dx =	е~ т (v^ v^dyxdy2. (3.134)
	У 2 я

При этом принятое в теореме Муавра — Лапласа условие

пх3->• 0 заменяется условием -> 0, n~'hjl О- Распределение (3.134) симметрично относительно случай ных величин Y x и У2. Следует, однако, иметь в виду, что, как это вытекает из (3.131) и (3.128), задание одной из

этих случайных	величин		с достоверностью		определяет
другую.	теперь		полную	систему	событий
Рассмотрим
(ili, А 3, . . ., А к),		определяемую соответствующими ве
роятностями рх, р2,		. . ., p k, и мультиномиальное распре
деление			П\
Рп {тпх, т 2, . . . ,		тпк)
			mi! m2!. . . пгк\ р?'р?г ■■■р1 '

дающее вероятность того, что при п испытаниях события

Ах, Л2, . . .,. A h происходят соответственно mx, т2, • • •,mh раз. При этом

кк

2 Pi= !>	2 mi = п.	(3.135)
i= l	1=1

Введем переменные

тп. — яр.

Уг - ' Г— , г = 1 ,2 ,..., fe. (3.136)

У ЯЛ

Основываясь на (3.134), методом математической индук

ции	можно		показать,	что при	п	оо и	п~' гу3-> О,
i =	1,	2, . . ., к, справедливо асимптотическое					равенство
		ft {Уи У2.					(3.137)
Это	и	есть	обобщенная	теорема	Муавра — Лапласа.

I 47]

ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА

169

Из условия (3.135) следует, что любая из случайных величин

Y t =	mj-npj
	i = i , . . . , k ,

определяется, если заданы остальные к — 1 случайных величин. Поэтому в распределении (3.137) можно число переменных понизить на единицу, получив, таким обра зом, аналог распределения (3.129). Рассмотрим для этого наряду со случайным вектором Y = (Ylt Y 2, . . ., Y к) случайный вектор V = (Fb V2, . . ., F J, определяемый равенством

V = B Y ,

(3.138)

где В — ортогональная матрица. Вследствие ортогональ ности В

кк

2	V! = 2 У?.	(3.139)
i= 1	г=Х

Ортогональных матриц бесчисленное множество, и мы можем задать еще одно равенство, связывающее какиелибо компоненты случайных векторов Y и V. Примем

в качестве такого равенства условие

и , = 2 VJi Yi.	(3.140)
i=1

На основании (3.136) из условия (3.140) следует, что
	к
v k	= -у=- 2	(mt — npi) =			-у=- (п — п) = 0.	(3.141)
Таким образом, существует ортогональное преобразо
вание вектора Y в вектор У,					обеспечивающее	условие
V* = 0.
Теперь можно написать
gk(г>1,	vk) dvxdv2 ...d v s =
	==\~2nj	6	к—l		dy1dy2...dyk=
		1	к—l		2
		1	V		2
		- -j	2 j	ч		(3.142)
		— Ce	i=1		dv1 dv2... dvk_x.	(3.142)

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ