книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

заключается только в том, что дисперсии компонентов скоростей по трем направлениям различны. Находим

Распределение (3.49) называется распределением Шварцгиилъда. Оно является эллипсоидальным распределением. Это означает, что в пространстве скоростей плотность

ного вектора равновероятны. Функция распределения длины проекции X вектора на произвольное направление,

тором и заданным направлением, то

X = р cos а,

причем О ^ а ^ я . Рассматривая случайные векторы (р,*Х) и (р, а) с плотностями g и glf можно написать

ё (р, х) ф dx = ё г (р, «) ф da =

= /а’(Р)!Ф • y sin a da = /*(р,) ф . у ^ .

142 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [ГЛ. 3

З а д а ч а 66. Ротационной скоростью v звезды назы­ вается линейная скорость точек экватора звезды, вызыва­ емая вращением звезды вокруг своей оси. Измерение расширения линий в спектре звезды, обусловленное ее вращением, дает не истинную ротационную скорость, а ее проекцию на луч зрения — видимую ротационную скорость

где г — угол между осью вращения звезды и лучом зре­ ния. Величина v и у = v sin г у различных звезд различ­ ны и при случайном, выборе звезды могут рассматривать­ ся как случайные величины. Из наблюдений можно определить плотность вероятности видимой ротационной скорости f (у). Требуется, считая ее известной, найти плотность вероятности истинной ротационной скорости fy (v) и найти зависимость между математическими ожида­

где fy (v) — плотность вероятности v. Используя (3.54), перейдем в правой части (3.55) от i к у (при этом v нуж­ но считать фиксированным и все множители брать по

Плотность вероятности / (у) равна интегралу от g (v, у) по всем возможным значениям v. Так как всегда v > у, то

Уравнение (3.56) определяет зависимость между плотно

Использование (3.57) для вычислений неудобно. На практике основной задачей обычно является нахождение средней истинной ротационной скорости и ее дисперсии для звезд различных классов. Найдем поэтому при помо­ щи (3.56) зависимость между математическими ожидания­ ми v и у, а также их квадратов:

ОО 00 оо

ОООС

144 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР |Г Л . 3

Рассматривая совокупность звезд, у которых измере­ ны видимые ротационные скорости, как статистический

найдем затем при помощи равенств (3.58) и (3.59) среднее значение и дисперсию истинных ротационных скоростей в этой совокупности звезд.

Аналогично, используя (3.56), можно найти зависи­ мость между моментами любого порядка функций распре­ деления видимой и истин­

соида вращения называется отношение его малой полуоси к большой. Обозначим квадрат истинной сферичности §. Один и тот же сжатый эллипсоид вращения при наблюде­ нии его по различным направлениям представляется в виде эллипса с различной по величине малой полуосью и постоянной большой полуосью. Назовем видимой сферич­ ностью галактики отношение малой полуоси к большой полуоси ее видимого эллипса. Квадрат видимой сферич­ ности обозначим к). Рис. 13 показывает, как зависит ве­

личина малой полуоси видимого эллипса, равная У ц (большая полуось принята за 1), от угла i между направле­ нием луча зрения и плоскостью симметрии галактики.

Найдем зависимость между т), | и г. Уравнение касатель­ ной к эллипсу имеет вид

у = х tg г + У 1 + t g 4 .

Находя расстояние этой касательной от начала коорди­ нат, получаем

Рассмотрим два взаимно однозначно определяющих ДРУГ ДРУга случайных вектора (|, ц) и (|, i). Так как | и г взаимно независимы, на основании (3.32) находим

Это интегральное уравнение относительно функции рас­ пределения истинных квадратов сферичностей галактик принадлежит к типу Абеля и разрешается. Однако удобнее использовать решение в моментах. Помножим обе части (3.63) на г]" и проинтегрируем по всем значениям г], т. е. от 0 до 1:

146 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [Г Л . 3

Вычисляя интеграл и используя выражения для моментов

Рассматривая скопление галактик как статистиче­ ский коллектив, измеряя в нем видимые сферичности

галактик и вычисляя ц и ц2, найдем затем при помощи равенств (3.67) и (3.69) среднюю величину и дисперсию квадратов истинных сферичностей.

3 а д а ч а 68. Определить в скоплении галактик функ­ цию распределения угла между видимым направлением от галактики на центр скопления и видимым направле­ нием большой оси галактики. Рассмотреть два предполо­ жения: 1) все ориентации плоскости симметрии галактик равновероятны; 2) все плоскости симметрии галактик

галактики есть направление прямой, по которой плоскость симметрии галактики пересекает картинную плоскость (плоскость, перпендикулярную к лучу зрения). Если выполняется предположение 1), то все ориентации види­ мой большой оси на картинной плоскости равновероят­ ны и плотность вероятности острого угла между направле­

§ 38. Математическое ожидание функции от случайного вектора

Если f (х1, х2, • • •, хп) есть плотность вероятности случайного вектора (Хг, Х 2, ■■., Х п), а Г] (Хг, Х 2, . . .

. . Хп) — некоторая функция от этого случайного век­ тора, то величина

называется математическим ожиданием т] (Хх, Х 2, ■. ., Хп).

Аналогично тому, как это было сделано для случайной величины в § 20, легко доказать, что математическое ожидание суммы функций случайного вектора равно сумме математических ожиданий этих функций, т. е.

М [тц (Хг, Х 2, . . ., Х п) + 1Ъ (Хг, Х2, . . ., Z J ] =

= Мц1 (Хг, Х 2, . . ., Х п) -f- М у]2 (Xi , Х 2, . . ., Х п). (3.76)

Точно так же очевидно, что

М [сц (Хи Х 2, . . ., Х„)] = сМц (Xlt Х 2, . . ., Х п).

(3.77)

Если X t и Х 2 взаимно независимы, то

оооо

М [тц (Хх) г\2(Х2)] = § \ % 0гх) т]2 (х2) /х (жх) U (х2)dx-г dx2 =

— оо — оо

= Мг\г{Хг)Мх\2(Х2). (3.78)

§ 39. Неравенство Шварца

Докажем неравенство

называемое неравенством Шварца *).

•) Неравенство Шварца есть не что иное, как известное нера­ венство Коши — Буняковского, если рассматривать как элементы гильбертова пространства со скалярным произведением

( X t , X f) = M X , X t .