книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие
.pdf130 С Л У Ч А Й Н Ы Й В Е К Т О Р { Г Л . 3
то / (хи х2, . . , x h) называется дифференциальным зако ном распределения или плотностью вероятности случай ного вектора (3.2).
На основании (3.5) заключаем, что
с» оо оо
5 |
5 ... |
5 / (gi,&2,...,Б * ) <&. . . <& = 1, |
(3.7) |
— оо — оо |
— оо |
|
|
т. е. плотность вероятности нормирована. |
. , x k |
||
Из равенства (3.6) для всех значений хи х2, .. |
|||
следует, |
что вероятность попадания точки (Хи Х 2, . . . |
||
. . ., Xк) в борелевское множество *) G fe-мерного прост ранства равна
$••• S |
У < & ...« * . |
(3.8) |
G |
|
|
Каково бы ни было G, вероятность (3.8) неотрицательна. Из этого следует, что / (хи х2, ■. ., Х&) есть неотрица тельная функция. Если G является fc-мерным параллеле пипедом с ребрами
1*1, |
|
+ d®il, \х2, х2 |
+ dx2], |
. . |
lxh, |
x k + |
dxh] |
(3.9) |
|
и |
подынтегральная |
функция непрерывна |
в |
точке |
|||||
(ж1( |
х2, |
. . ., |
х ^ , то интеграл |
(3.8), |
как |
известно, |
с точ |
||
ностью |
до |
бесконечно малых |
высших |
порядков |
равен |
||||
/ (хи х2, . . |
Xh) dxi |
dx2 . . . |
dxh■ |
Следовательно, |
пос |
||||
леднее выражение равно вероятности того, что случайные
величины (3.1) примут значения, |
заключенные |
соответ |
|||
ственно, в промежутках (3.9): |
|
|
|
|
|
/ (xlt . . , xh) dxj. . . . dxk = Р {xi < |
Х г < %! + |
dxlt . . . |
|||
|
. . ., x h < |
X k < |
x h + dxk). |
(3.10) |
|
В некоторых случаях удобно использовать обозна |
|||||
чение |
. . ., x h) dxi .. |
. dxh = / (х) dx. |
(3.11) |
||
/ {хи |
|||||
Если для каких-то хи . . ., |
|
событие, состоящее в |
|||
том, что случайные величины |
|
|
|
|
|
______________ |
Хг.......... X, |
(* < |
к) |
(3.12) |
|
*) То есть множество, получаемое из параллелепипедов с по мощью счетного числа операций объединения и дополнения.
§ 35] |
П О Н Я Т И Е С Л У Ч А Й Н О Г О |
В Е К Т О Р А |
|
131 |
|
примут значения соответственно меньше хх, |
х2, . . . , |
Xi, |
|||
не зависит |
от того, приняли |
ли |
случайные |
величины |
|
|
х м , |
х к |
|
(3.13) |
|
значения, меньшие соответственно ж/+1, х1+2, .. |
., х к, |
или |
|||
нет, то согласно теореме умножения вероятностей
^ ( * i Хх, • • •» X к
^ (-^1 З'Ь • • -, X i F (-^i+ l %i+lt • • • Xfc^^Xji)»
Таким образом, если случайные величины (3.12) неза висимы от случайных величин (3.13), то интегральная функция распределения F f a x , х2, . . . , х к) равна произ ведению двух функций, из которых одна зависит только
от хи |
х2..........Xi, |
а вторая только от ®f+1, xt+2 , |
. . ., х к, |
F f a x , |
Х 2 , . . . , Х к ) |
■ F \ f a i t Х 2 1 •••> X i ) F 2 f a i + l t |
З'г+З) •••» X k ) , |
|
|
|
(3.14) |
Первая из этих функций представляет собой интегральный закон распределения случайных величин (3.12), а вто рая — случайных величин (3.13).
Справедливо и обратное утверждение. Если функцию
F fax,х2, . . ., х к) |
можно представить в виде произведения |
||||
двух |
функций |
(3.14), одной, — зависящей |
только |
от |
|
хг, ..............xi, — |
и другой, |
зависящей |
только |
от |
|
X t + х , |
xi+2, . . . , х к, то случайные величины (3.12) не зави |
||||
сят от случайных величин (3.13). Если при этом постоян ные коэффициенты выбрать так, чтобы
Fl ( + ° ° .+ °о, . . ., + оо) и F2 (+ оо, + о с ..........+оо)
были равны 1, то эти функции будут интегральными за конами распределения случайных величин (3.12) и (3.13) соответственно.
Аналогичные рассуждения приводят к тем же утвер ждениям для плотности вероятности. Если случайные величины (3.12) не зависят от (3.13), то
/ f a i t Х 2 , |
■ ■ |
Х к ) |
|
|
|
= |
fl fait |
X2, • • •» Xi) f2 fai+xt Xi+%, |
• • •* |
Xk)' |
(3.15) |
Если плотность распределения f f a x , |
x2, |
. . . , |
хк) мож |
||
но представить в виде произведения (3.15), |
то случайные |
||||
5*
132 |
С Л У Ч А Й Н Ы Й В Е К Т О Р |
(Г Л . 3 |
величины (3.12) независимы от случайных величин (3.13). При этом, если функции Д и /2 нормированы в смысле (3.7), то они соответственно являются плотностями веро ятности случайных величин (3.12) и (3.13).
Функция F (жь х2, . . ., х к) обладает еще таким свой ством:
F (хи х2, . . ., хг, + ОО, + ОО, . . ., + оо) = |
|
= Ft (жь ж2, . . ., |
xt), (3.16) |
где Fj (хи х2, . . ., xi) есть интегральный закон распреде ления случайных величин (3.12).
Аналогично,
|
оо |
о о |
|
оо |
|
|
dx1dxа. .. dxi |
^ |
^ |
... |
^ |
/ (хъ х2, . . ., х,.) dxVrldxiv2. . .dxk — |
|
— оо |
— Оо |
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
= fi (хи ж2, .. ., Xj) dx! dx2. .. dxu |
(3.17) |
||
где f x (xx, x2, |
. . ., |
xt) |
— плотность вероятности |
случай |
||
ного вектора |
( X lt |
Х 2, |
. . |
., X t). |
|
|
В частности, для двух случайных величин X и У |
||||||
имеем |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/i(* )= |
I f(x, y)dy. |
(3.18) |
||
|
|
|
|
|
— -оо |
|
Пусть случайная величина Y является функцией слу чайной величины X
Y = ч (X).
В этом случае, |
очевидно, |
|
|
|
|
|
||
/ (х, у) dx dy = б [у — т| (ж)] / (ж) dx *=б [у — т] |
(ж)] / (у)dy |
|||||||
т. е. / (ж, у) |
= |
0, |
если |
у |
ф г \ |
(ж), |
и / (ж, у) dx dy = |
|
= h (ж) |
=U |
( у ) d yесли, |
У — |
Л (*)• |
|
|
||
§ 36. |
Функция от случайного вектора |
|
||||||
Допустим, что величины |
|
|
|
|
||||
|
|
|
у |
у |
|
V |
|
|
|
|
|
* 1з •‘ г» • • •» х т |
|
|
|||
являются функциями от случайных величин (3.1): |
||||||||
Yx — ’ll (-Xi, |
Х 2, . |
. ., Хй)> |
Y 2 = ^ 2 (-^i>А г, . . . . |
-Хй), . . . |
||||
|
|
• • |
•» Y m ~ т]т (Хх, Х 2, |
. . ., Х к) |
(3.19) |
|||
§ зв] ФУНКЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА 133
и, следовательно, являются сами случайными величинами. Тогда случайный вектор
Y = (Гг, Г 2, . . . . Y m) |
(3.20) |
является функцией случайного вектора (3.2).
Если / (х) = / (хъ х2..........xh) есть плотность веро ятности случайного вектора (3.2), то вероятность того,
что случайный |
вектор (3.20) окажется внутри |
области |
|
G, равна |
|
|
|
Р = |
^ |
^/ (жи • • •>хч) dxi■• • dxk> |
(3.21) |
|
|
Q |
|
где область Q охватывает все точки (жь . |
. ., xk) /с-мерного |
||||
пространства такие, |
что |
(уъ . .., |
ут ) |
принадлежит G, |
|
где у} = т|у (хх, . . ., |
x h)- |
|
|
|
|
Из (3.21) следует, что интегральный закон распреде |
|||||
ления случайного вектора |
(3.20) |
находится при помощи |
|||
равенства |
|
|
|
|
|
Ei(z/i, J/2j • • ч Ут) = |
$ • • • |
§ / (^i* • |
• •> хк) dx-i- •• |
(3.22) |
|
|
Q |
|
|
|
|
где область ^-мерного пространства Q определяется не равенствами
’ll («1» х2» • • •> x h) <У), / = 1, 2, . . ., т . (3.23)
В самом деле, сопоставление равенств (3.19) и нера венств (3.23) показывает, что попадание случайного век тора (3.2) в область Q эквивалентно выполнению нера венств
Гг < уг, Г 2 <Ly2, ■• |
Г т <С ут. |
(3.24) |
Поэтому правая часть равенства (3.22), равная вероят ности попадания случайного вектора (3.2) в область Q, равна левой части этого равенства, представляющей ве роятность выполнения условий (3.24).
Точно так же плотность вероятности случайного век тора (3.20) находится при помощи равенства
fl (Ult •• •» Ут) dyi' • • dym ^ |
^ / (^1» • • ч хк) d-£i . . . |
d-Ek, |
Q
(3.25)
134 |
СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР |
ITЛ. 3 |
где «область» /е-мерного пространства Q определяется не равенствами
J /j< Tlj(^i. х2, . . ., хл) < ^ 4- dyh |
7= 1, 2, . . т. |
Рассмотрим простейший случай, |
(3.26) |
когда |
У = X , + Xа.
Найдем функцию распределения Y, если плотность веро ятности / (хи х2) задана.
Согласно (3.22)
оо V — X j
F3 (у) = |
5S / О*1»жг) dxv dx%= |
dxx |
\ f (хъ |
х2) dx2. |
Л 1 + 5 С2 < У |
— 01 0 |
— ОО |
|
|
Введем вместо х2переменную интегрирования и = |
жх -\-х2. |
|||
Тогда |
|
|
|
|
оо |
у |
у |
оо |
|
F3(y) = $ |
^ f(xi , u — Xi)d u = ^ du ^ f (хг, и—Х]) dxx. |
|||
— во |
— оо |
— ОО |
— оо |
(3.27) |
|
|
|
|
|
Продифференцировав это равенство по у, найдем плот ность вероятности
оо
fail/) = |
\ |
f (хи у — хг) dxx. |
(3.28) |
|
— оо |
|
|
Если Х г и Х 2 взаимно независимы, так что |
|
||
/ (%1, |
Xi) |
= fi (xi) U (x2), |
|
то равенство (3.28) принимает вид |
|
||
/з { у ) = |
оо |
|
|
$ |
h(x!)h{y — xjdxx. |
(3.29) |
|
— оо
Равенство (3.29) можно трактовать как определенную операцию, выполняемую с функциями / х и /2, в результате чего получается функция / 3. Эту операцию называют сверткой двух функций.
Рассмотрим важный частный случай общей задачи, когда т = к и случайные векторы X и У взаимно одно-
§ 36] |
ФУНКЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА |
135 |
значно определяют друг друга, так что наряду с равенст вами (3.19) мы можем написать
•Xi |
— |
Si (Уi, |
Y 2, . . |
У&), |
|
X2 |
= |
£2(Ylt |
У 2, . . |
Y ft), |
(3.30) |
|
|
|
|
|
|
Xft= |
l k (Yu |
У2, . . ., |
У ft). |
|
|
Тогда на основании (3.21) вероятность того, что случай ный вектор Y = (Уь У2, . . ., У ft) попадает внутрь па раллелепипеда
lyu |
2/i+ <*2/il, hi, |
Уг + dy2], . . . , |
[т/ft, y h + <%hl, |
||
определится равенством |
|
|
(3.31) |
||
|
|
|
|||
/х (Уи 2/2. • • •. Уk) dyi |
dy2 • |
• -аУк = |
|
|
|
|
= / (®i, |
жа, • • |
•. »ft) dajj dx%. . . dxh, |
(3.32) |
|
где |
— плотность вероятности вектора Y, (а^, ж2, . |
. ., х ft) |
|||
и (г/i, |
у2, . . ., уft) |
связаны с помощью функций |
а |
||
dxi, dx2, ... , dxk также определяются |
этими функциями |
||||
(когда заданы dyu dy2, . . ., dyk), но берутся со знаком плюс.
Подставляя в правую часть (3.32) выражения хг, . . .
. . ., x h через уъ |
. . |
., yh и используя якобиан для пере |
||
хода к дифференциалам новых переменных, находим |
||||
h (2/1, 2/г, •• Ук) dyi &уг. .. dyK— |
|
|
||
= f l h (2/i, 2/г, • • |
Ук), £г {Уи 2/г, • • |
2/л)> • • •, (2/i, 2/г, • • |
2/л)! X |
|
|
X |
5 ( п , Га, . . . , |
г^.) |
(3.33) |
|
3(У1,г/а, . . .,у4) dyidl/a- • -Йг/ft. |
|||
Якобиан должен быть взят по абсолютной величине, так как все множители в обеих частях равенства (3.37) положительны.
Равенство (3.33) позволяет найти плотность вероят ности случайного вектора Y, если заданы плотность ве роятности случайного вектора X и взаимно однозначная зависимость X и Y.
136 |
СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР |
1ГЛ. 3 |
§37. Математическое ожидание
идисперсия суммы случайных величин
Найдем математическое ожидание Y, если Y = X х + + Х 2 и плотность вероятности / (xlt х2) произвольна. Воспользуемся для этого равенством (3.29):
оо ос
M Y = |
^ |
ydy ^ |
/ (*i, У— *0 dx! = |
|
|
оо |
— оо |
оо |
— оо |
оо |
оо |
|
|
||||
= 5 dxx |
5 |
{Xi + х2) f (хъ х2)dx2 = § |
x\dxx ^ f (хъ x2)dx2+ |
||
— оо |
— оо |
|
— оо |
— оо |
|
|
|
|
оо |
оо |
|
§ dxi § x2f(x1,x^)dx2 = M X 1-\-MX2. (3.34)
Таким образом, математическое ожидание суммы двух произвольных случайных величин равно сумме матема тических ожиданий этих случайных величин.
Определим дисперсию Y, если Х± и Х 2взаимно незави
симы:
ОО
5(y — Y?h(y)dy =
ООоо
= 5 (.V — Yfdy |
5 h(xi)U{y — x1)dxi. |
— о о |
— оо |
Далее, меняя порядок интегрирования и используя (3.34), получаем
ОООо
<32 = ^ |
/х (#i) dxx 5 1(^1 — -^l) "f" 0^2— -^г)]2/2 (#з) ^2 = |
|
—оо |
—оо |
|
|
оо |
оо |
|
= 5 (^1 — ^l)2/l Ы dxi 5 / iW * 2 4- |
|
|
— оо |
— оо |
|
о о |
оо |
4-2 |
^ (*1 — X\)fi{xi)dxi |
^ (х2— Х 2) f2(x2) dx2 |
|
<->оо |
—оо |
|
о о |
оо |
^ /1 (^i) dxi |
^ (xg |
2)^/2(*^2) dx%. |
—00 |
—09 |
|
i 37] МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ |
137 |
Второе слагаемое справа равно нулю, поэтому |
|
о2 = а! + o l |
(3.35) |
т. е. дисперсия суммы двух независимых случайных ве личин равна сумме дисперсий этих величин.
По индукции получаем, что если |
|
|
||||||||
то |
У = Х г + |
Х 2 + |
. . . + |
Х п, |
(3.36) |
|||||
У = |
+ |
Х 2 |
+ |
• |
• • |
+ |
Х п. |
(3.37) |
||
|
||||||||||
Если при |
этом |
Xi, Х 2, • |
• |
•, |
Х п |
|
взаимно |
независи |
||
мы, то |
о2 |
= oj -(- о\ |
-f- |
. . . |
-f- |
о*- |
(3.38) |
|||
|
||||||||||
З а д а ч а |
61. |
Найти |
плотность |
вероятности суммы |
||||||
двух независимых нормально распределенных случайных
величин. |
|
|
По условию плотности вероятности слу |
|||||||||||
Р е ш е н и е . |
||||||||||||||
чайных |
величин |
Xi |
и |
Х 2 имеют вид |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(ЭС1-ЭС1 0 )2 |
|
|
А |
|
( * г - * 2,0>* |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2а2 |
|
|
W x ‘) = |
» 7 7 s f e |
|
|
|
’ |
h {Xi) = |
|
6 |
2 |
' |
||||
Согласно |
(3.29) |
функция |
распределения |
величины У = |
||||||||||
= Х г + |
Х 2 равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
<*‘-*1.0)* |
|
( у — |
X , — * 2 0 )а |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
2<з2 |
1 |
|
|
dxi. |
|
||
/ з ( » |
) = |
^ |
Ci У 2я |
|
|
<32>^2лГ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Введем обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2/ о = |
|
х 1,0 + |
x |
2i 0’ °3 |
+ |
СГа |
|
|
|
||
и преобразуем показатель экспоненты: |
|
|
|
|
||||||||||
(X I — |
Ж ] , п )2 [ ( У — |
Уп) |
|
( x i |
— |
Ж ] , о )]2 |
|
|
|
|
|
|||
2° |
i |
|
|
|
|
2о 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( у |
- |
г/«)2 |
|
С1 |
|
с 2 |
I |
3 |
||
|
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
(Ж1— |
# i , o ) |
------------------( |
У — |
У о ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а з |
|
|
|
|
138 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [ГЛ. 3
Вынося из-под знака интеграла множитель, не зависящий от Хх и вычисляя интеграл, получим
(У—Уо)2
2°3
Таким образом, сумма двух независимых нормально рас пределенных случайных величин есть также нормально распределенная случайная величина. Ее среднее и дис персия равны суммам соответствующих характеристик этих случайных величин, что следовало из общих соот ношений (3.34) и (3.35).
Применяя индукцию, можно доказать, что сумма лю бого числа независимых нормально распределенных слу чайных величин есть нормально распределенная случай ная величина.
Справедлива также обратная теорема, доказанная в 1936 г. Крамером: если сумма конечного числа незави симых случайных величин есть нормально распределен ная случайная величина, то каждое из слагаемых явля
ется нормально |
распределенной случайной величиной. |
|
З а д а ч а 62. |
Плотность вероятности |
для каждого |
из прямоугольных компонентов X, Y, Z скорости молекул |
||
есть нормальная |
функция со средним, |
равным нулю, |
и дисперсией, равной а2. Компоненты скорости по трем направлениям независимы друг от друга. Найти плот ность вероятности модуля скорости молекул. Определить среднюю величину, среднюю величину квадрата и стан дарт модуля скорости.
Р е ш е н и е . Согласно условию плотность вероятности компонента X скорости имеет вид
X*
2 а*
Таковы же распределения и компонентов Y и Z. Так как эти три распределения взаимно независимы, то плотность вероятности вектора скорости равна произведению плот ностей вероятности каждого из компонентов:
. (3.39)
§ 37] |
М АТЕМ АТИЧЕСЖ ОЕ О Ж И Д А Н И Е И ДИ СП ЕРС И Я |
139 |
Распределение (3.39) называется максвелловским распре делением скоростей. Оно является сферическим распре делением. Это означает, что в пространстве скоростей плотность вероятности в точках сферы
х2 + У2 + z2 — с2 |
(3.40) |
произвольного радиуса с постоянна (как это видно из (3.39)). Общий вид сферического распределения таков:
|
/ (х, у, z) = у) {х2 + |
у2 |
+ z2). |
(3.41) |
|
Модуль |
скорости р = ]/Х 2 |
+ |
Y 2 + Z2. |
Дополним |
|
эту случайную |
величину двумя — широтой 0 = |
||||
= arctg |
Z |
и азимутомф == |
arctg-уу. Прямоугольные |
||
координаты х, у и z и сферические координаты р, 0, ср вза имно однозначно определяют друг друга. Согласно (3.32)
/(1) (р, 0, ср)dp dQdср = / (х, у, z)dx dy dz —
1 |
2az |
dx dy dz. |
(з У 2я)3 |
|
|
|
|
Так как якобиан перехода от прямоугольных координат к сферическим равен р2 sin 0, получаем
—1L
/(1) (р, 0, ср) dp dOdcp = ----*■=_. е 2aZр2 sin 0 <dp <d0 dcp. |
(3.42) |
(зУ 2jt)3 |
|
После интегрирования (3.42) по всем возможным значе ниям 0 и ср определится плотность вероятности модуля скорости
2« Я |
__р* |
h (Р) = 55 /(1) (Р, 0, ф) Ж d9 = |
J Q L р2е 2"\ (3.43) |
0 0 |
' |
Найдем математическое ожидание р:
Р = 5P/i (Р)dp = 2 j / " - | о |
(3.44) |
О |
|