книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

ется достаточно точным, если рассматриваются значения

(2-134)

где а достаточно мало в сравнении с единицей. Разделив

не выполняется только для тех значений хт, для которых плотность вероятности очень мала.

З а д а ч а 56. Наблюдая Солнце в период 1880— 1896 гг., И. Сикора обнаружил на восточном краю Солн­ ца 7024 протуберанцев, а на западном краю 6614 проту­ беранцев. Какова вероятность того, что преобладание числа протуберанцев на восточном краю Солнца есть дело случая?

Р е ш е н и е . Предположим, что вероятности появле­ ния протуберанцев на восточном и западном краях Солн­ ца равны. Следовательно, вероятность того, что появив­ шийся протуберанец окажется на восточном краю Солнца, р — 1/2. Общее число наблюденных протуберанцев сле­

величины х — отклонение относительной частоты от наи­ вероятнейшего значения,— оказалась равной

Стандарт случайной величины, определяемой по формуле

(2.128), равен

Следовательно, вероятность того, что преобладание числа протуберанцев на восточном краю Солнца над ожидавшим­ ся числом такое, как наблюдалось, или меньше, согласно (2.133) и таблице 2, равна

А вероятность того, что отклонение будет таким, какое наблюдалось, или большим, равна 1—0,999543 = 0,000457.

Именно эта величина, вероятность того, что отклоне­ ние, вызванное случайностью, будет равно наблюдаемому или больше его, показывает, имеются ли основания объ­ яснять наблюдаемое явление как случайное отклонение. В данной задаче малая величина вероятности 0,000457 показывает, что не случайность, а другое обстоятельство вызвало преобладание числа протуберанцев на восточном краю Солнца. Как впоследствии выяснилось, причиной была личная ошибка Сикоры, который более уверенно об­ наруживал протуберанцы на восточном краю диска Солн­ ца, чем на западном.

3 а д а ч а 57. Частица совершает случайные блужда­ ния в одном измерении. С вероятностью р она совершает шаг в положительном направлении и с вероятностью q — 1 — р — шаг в отрицательном направлении. Найти вероятность того, что после п шагов (я^> 1) частица будет

т шагов в положительном направлении, дается выраже­ нием (2.118). Так как п велико, для отклонения относи-

тельной частоты хт = —----р можно использовать нормаль­

ное распределение. Величина V (положение частицы после п шагов) определяется равенством

Y = (2ш — п) I

и

Поэтому находим

р {У<*У < о/ + dy)= } (у) dy = f (х) dx =

dy,

З а д а ч а 58. Электростанция дает ток эаводу и ис­ пользуется для электрификации села. Если при работаю­ щем конвейере завода в селе окажутся зажженными 350 стандартных электролампочек, то напряжение настолько понизится, что конвейер остановится. Эмпирически уста­ новлено, что в наиболее загруженные вечерние часы в сред­ нем за много дней каждая лампочка горит 0,7 всего вре­ мени, при значительной длительности одного горения. Сколько стандартных электролампочек можно подключить в домах, чтобы вероятность остановки завода в течение одного вечера не превосходила 10~4?

Р е ш е н и е . Обозначим искомую величину — число стандартных лампочек, которые можно подключить,— через п. Тогда, поскольку одновременное горение 350 лампочек уже не допускается, границей допустимого по­ ложительного отклонения относительной частоты от наи­ вероятнейшего значения является

(2.136)

Необходимо, чтобы вероятность такого или ббльшего по­ ложительного отклонения не превосходила 10-4. Это будет выполнено, если вероятность того, что модуль отклоне­ ния больше или равен а, будет равна 2-10-4. Следова­

§ 32] МЕРА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СИСТЕМЫ СОБЫТИЙ 115

Решение его п = 449. Итак, можно подключить 449 лампочек.

§32. Мера неопределенности полной системы событий

1)Р (At) = 0,99 и, следовательно, вероятность каждо­ го из остальных событий мала.

2)Р (^j) = 0,49, Р (Л2) = 0,49 и, следовательно, ве­ роятность каждого из остальных событий мала.

3)Вероятности всех событий сравнимы между собой. В случае 1) можно достаточно уверенно предсказать,

дет, по-видимому, либо событие А х либо событие А 2. В слу­ чае 3) предсказать что-либо трудно.

Можно сказать, что в случае 2) система событий более неопределенна, чем в случае 1), а в случае 3) более не­ определенна, чем в случае 2).

Чтобы ввести количественную меру неопределенности полной системы событий, естественно считать, что каждое событие вносит вклад в эту величину; при этом событие, вероятность которого близка к единице, должно вносить

§ 32] МЕРА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СИСТЕМЫ СОБЫТИЙ 117

Согласно правилу нахождения условного экстремума

не зависят от £, т. е. все Р (Лг) равны между собой и, следовательно,

Таким образом, при фиксированном п наибольшую меру неопределенности имеет система событий, в которой вероятности всех событий одинаковы.

Поставляя (2.144) в (2.139), находим, что мера неопре­ деленности полной системы событий в этом случае равна

Чем больше число событий в системе, тем больше мера неопределенности этой системы при ее максимальном зна­ чении, когда все события равновероятны.

Выберем единицу меры неопределенности полной си­ стемы событий. Наименьшее число событий в полной систе­ ме событий — 2. Целесообразно за единицу меры неопре­ деленности принять максимальную меру неопределен­ ности, которую может иметь полная система событий, состоящая из двух событий. Равенство (2.145) показывает, что когда основанием логарифмов в выражении (2.139) принято число 2, Н (А) в этом случае равно 1. Таким об­ разом, хотя в принципе основанием логарифмов в выраже­ нии (2.139) можно взять любое число, большее 1, целе­ сообразно в связи с выбором единицы меры неопределен­

какая из полных систем событий имеет большую меру не­ определенности .

Р е ш е н и е . Для полной системы событий при извле­ чении шаров из первой урны находим

н {.л)= - 4-log4 - 4-1о?4-- 4-log4 - 1’5303-

Для второй полной системы событий

Таким образом, хотя в первой системе число событий меньше, мера неопределенности ее оказалась больше.

Выражение (2.139) для меры неопределенности пол­ ной системы событий по структуре совпадает с выраже­ нием для энтропии физических систем. Если объем физи­ ческой системы мысленно разбит на элементарные объемы и вероятность состояния, в котором находится i-й элемен­ тарный объем, равна р (A t), то выражение (2.139) опре­ деляет энтропию физической системы. Энтропия характе­ ризует меру хаоса, меру неупорядоченности физической системы. В этом понятии можно усмотреть определенную аналогию с мерой неопределенности полной системы со­ бытий. Поэтому часто наряду с выражаением «мера нео­ определенности» употребляю выражение «энтропия пол­ ной системы событий».

§ 33. Количество информации

Пусть Л и 33 — две полные системы событий

Их меры неопределенности соответственно равны

§ яз! КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИЙ И 9

Рассмотрим полную систему событий, составленную из

= - 2 m ) i o g P H i ) 2 р (5з 1 4 ) -

и назовем эту величину условной энтропией системы В от­ носительно системы А. Равенство (2.149) показывает, что Н (33 \Л) имеет смысл математического ожидания условной энтропии системы 33 при условии осуществле­ ния событий из системы Л.

Ив (2.148) вытекает, что

и аналогично можно получить