книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие
.pdf100 |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
[ГЛ. 2 |
Близость к нулю нечетных центральных моментов мож но рассматривать как критерий симметричности распре деления. Обычно используют центральный момент третьего порядка как самый низкий (простой) из нечетных моментов (не считая р,х, который равен нулю для любых распреде лений). Чтобы величина, являющаяся критерием асим метрии, была безразмерной, рассматривают отношение
ц3 к |4 г:
A s = i ^ ' . |
(2.89) |
к |
|
Чем больше As по абсолютной величине, тем более несим метричным можно считать распределение. Однако этот
критерий не является строгим, так как равенство нулю As является необходимым для симметричности распреде ления, но не является достаточным условием.
Значение Хт , при котором плотность вероятности X имеет максимум, называется модой случайной величины X. Основное значение для практики имеют случайные ве личины с одной модой. Такие распределения случайных величин называются одновершинными.
§ 271 АСИММЕТРИЙ И ЭКСЦЕСС РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 101
Если плотность вероятности случайной величины сим метрична относительно некоторого значения случайной величины, то это значение случайной величины совпадает с ее математическим ожиданием и, у одновершинного рас
пределения, |
с модой. |
Если же распределение не симмет |
||
рично, то |
в |
общем |
случае мода |
Х,п и математическое |
ожидание |
X |
случайной величины |
различны (рис. 11 и |
|
рис. 12). Если асимметрия распределения случайной
величины |
(и, следовательно, центральный момент |
|
третьего |
порядка) |
положительна, то мода случайной |
величины |
меньше |
ее^ математического ожидания (см. |
рис. И). При отрицательной асимметрии мода случайной величины больше ее математического ожидания. Мерой асимметрии может также служить отношение
|
а |
* |
|
Если к является четным числом, то, применяя формулу |
|||
(2.88) к/2 раз, получим |
для |
нормального |
распределения |
соотношение |
(к - |
|
|
р* = |
1)!! о*. |
(2.90) |
|
В частности,
3, |
О о |
• со II |
(2.91)
Следовательно, безразмерная величина |
|
Ех = — 3 |
(2.92) |
К |
|
для нормального распределения равна нулю. В общем же случае эта величина, называемая эксцессом, отлична от нуля.
Нормальная функция в теории вероятностей и мате матической статистике играет роль некоторой стандартной функции, с которой уместно сравнивать другие функции распределения, определять, насколько эти функции отли чаются от нормальной функции. Асимметрия (2.89) и эк сцесс (2.92) являются двумя важнейшими показателями стличия функции распределения от нормальной.
З а д а ч а 52. Определить асимметрию и эксцесс рас пределения Пуассона.
10 2 |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
1ГЛ. 2 |
Р е ш е н и е . Напишем полученное для распределения Пуассона равенство (2.69) при значениях s = 1, 2, 3, 4:
Мха = |
а, |
|
М (m2— т ) = |
а2, |
(2.93) |
М (т 3— З т 3+ 2т) = а®,»
М (т4— 6т 3+ 11т2— 6т) = а4,
Используя обозначение vft = Мхак для начальных мо ментов и решая систему (2.93) относительно них, получаем
у1 = |
к, |
|
|
|
v2 |
= |
а 2+ |
«, |
|
v3 |
= |
а 3+ |
За2-р а , |
(2.94) |
v* = 0С4-J- 6а 3-J- 7а2-J- сс.
Применяя теперь формулы (2.65) — (2.67) связи между моментами относительно разных начал (которые, разумеется, верны и для начальных моментов), получаем
р 2 = |
а , |
(2.95) |
Из = |
а , |
(2.96) |
= |
а + За2. |
(2.97) |
Выражение (2.95) было уже получено ранее. Равенство (2.96) позволяет получить асимметрию распределения Пуассона
а |
а |
1 |
|
(2.98) |
As 3 |
V* — |
лГ~ ’ |
||
|
а'* |
У |
а |
|
а равенство (2.97) — его эксцесс
Е х ^ а+23а2 |
3 = 1 . |
(2.99) |
а2 |
а |
|
Таким образом, если математическое ожидание случайной величины, распределенной согласно закону Пуассона, мало, то асимметрия и эксцесс распределения велики, рас пределение сильно отличается от нормального. Если ма тематическое ожидание случайной величины велико, то асимметрия и эксцесс распределения Пуассона малы, оно
§ 28] |
Х А Р А К Т Е Р И С Т И Ч Е С К А Я Ф У Н К Ц И Я |
103 |
близко к нормальному распределению. Так как асиммет рия положительна, то в распределении Пуассона мода случайной величины всегда меньше ее математического ожидания.
§ 28. Характеристическая функция случайной величины
Характеристической функцией случайной |
величины |
X называется математическое ожидание случайной ве |
|
личины eiiX: |
|
Ф (t) = Meltx = ^ eitxf(p)dx. |
(2.100) |
Выполняемая согласно (2.100) операция с функцией / (х)г в результате чего получается функция Ф (t), называется
преобразованием Фурье функции / (х). Таким образом, ха рактеристическая функция есть результат преобразова ния Фурье плотности вероятности случайной величины.
В теории функций комплексного переменного доказы вается, что функция Ф (t) также однозначно определяет функцию / (х) при помощи преобразования
( 2. 101)
—во
которое называется обратным преобразованием Фурье.
Рассмотрим к-ю производную характеристической функции
оо |
|
Фw (t) = ik 5 xkel,xf(x) dx. |
(2.102) |
Для того чтобы выполненное дифференцирование к раз интеграла по параметру t было законным, достаточно, что бы несобственный интеграл в (2.102) был ограничен. А для этого достаточно, чтобы у случайной величины су ществовал абсолютный начальный момент к-то порядка:
оо
Л / | Х * | = J \ x\ *f{r)dx. |
(2.103) |
104 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 1ГЛ. 2
В самом деле, тогда
оо |
ос |
§ xkeitxf (х) dx | ^ |
§ | х |к / (х) dx, |
— ОО |
— Оо |
и интеграл (2.102) ограничен.
Положим теперь в равенстве (2.102) t — 0:
|
о о |
|
ф (ю(0) = |
i* \ xkf ( x ) d x = i kvk. |
(2.104) |
Таким образом, |
—оо |
|
|
|
|
\ h = |
MX* = Г*Ф») (0). |
(2.105) |
Чтобы получить начальный момент к-то порядка случай ной величины, достаточно помножить на Гк к-ю произ водную характеристической функции при значении аргу
мента, равном нулю. |
• ! |
|
Гм |
||
З а д а ч а 53. |
Найти |
характеристическую*" функцию |
|||
нормально распределенной случайной величины. |
|||||
Р е ш е н и е . |
Согласно |
определению |
характеристиче |
||
ская функция равна |
|
|
|
||
|
|
1 |
(х—Х)2 |
|
|
Ф(*) = |
еifx— |
2а* |
dx. |
||
|
|
а У 2л |
|
|
|
Выполняя подстановку z = |
х — Х |
|
|
||
—------- its и используя инте |
|||||
грал Пуассона, получаем |
|
|
|
||
|
|
Ф(0 = |
Ш—i аЧ* |
. |
(2.106) |
|
|
е |
|||
Согласно правилу (2.105) найдем, например, начальный момент третьего порядка: g
_ |
iXt—— оЧ* |
||
v3 = |
- 0 4 ) s - 3 ( i X -вЧ)а*]е |
2 |
}г=0 = |
|
|
= |
X (За2 + J 2). |
Это соотношение можно получить и непосредственным вычислением момента.
З а д а ч а 54. Найти характеристическую функцию распределения Пуассона,
§ 291 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕЛЬТА -ФУНКЦИЙ 105
Р е ш е н и е . |
Находим |
|
е “ат |
|
|
Ф (i) = 2 eitm |
т\ |
|
т=0 |
|
|
|
о о |
|
= e-“e“ei< 2 -^r(aeiT e~*eit = e“(elLl) |
(2.107) |
|
|
Ш=0 |
|
Определим начальный момент второго порядка, для чего используем (2.105):
v2 = |
Г2 [— aeif (aeil + 1) еа(е1'_1)]г=0 = |
и2 + |
а. |
|
Этот результат уже встречался ((2.94)). |
|
функцию |
||
З а д а ч а |
55. Найти характеристическую |
|||
биномиального |
распределения. |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Согласно определению |
|
|
|
П |
|
|
|
|
Ф (*) = 2 |
ei‘m тЦ п - т ) Г |
+ ?)" |
(2Л08) |
|
Начальный момент второго порядка равен
v2 = Г 2 [(peil + q)n]fi0 = {npf + npq.
Согласно (2.68) дисперсия биномиального распределения
о2 = (пр)г + npq — {пр)г = npq. |
(2.109) |
§ 29. Интегральное представление дельта-функции
Используя метод характеристических функций, най дем интегральное представление дельта-функции. Под ставим (2.100) в (2.101):
о о |
о о |
№ = -%г \ eitxdt 5 emf ® dZ =
ОО00
= $ |
[ i r l em-x)di\dl. |
(2.110) |
— ОО |
— 00 |
106 СЛУЧАЙЙАЙ ЙЁЛЙЧЙНА t r ji . 2
Сравнивая (2.38) и (2.110), приходим к формальному равенству
|
оо |
|
6 ^ - х') = 4 г |
$ eil(z-x)dt, |
|
т. е. |
|
|
|
ОО |
|
6 (х) |
eilxdt. |
(2.111) |
|
—00 |
|
Выражение (2.111) является интегральным представлением дельта-функции.
Рассмотрим теперь интеграл
а |
|
§ б (ж — x0)dx, |
(2.112) |
который, очевидно, равен 1, если | ж0 1< а , |
и равен 0 в |
противоположном случае. Используя интегральное пред ставление дельта-функции, этот интеграл можно написать в виде
а |
\ eit(x-x,)dt =* |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
tx -f- i sin tx) dx = |
|
|
|
|
|
sin at |
e-itx>d. |
|
|
|
t |
|
Таким образом, интеграл |
|
|
||
|
JL J |
i i l f L e-«*odt |
|
(2.113) |
равен 1, |
если | x0 | < a , |
и равен 0 в |
противоположном |
|
•случае. |
|
|
|
|
§ 30] |
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
107 |
§ 30. Интеграл вероятностей
Определим вероятность того, что нормально распре деленная случайная величина X примет значение, за ключенное между X — а и X 4 -а , где а — некоторая положительная величина,
Х + с с ( х —JT)*
Р ( Х — а < Х < T - f а )= С |
---- \r=-e 2o' Ах. (2.114) |
у |
б у 2я |
X —QL
Перейдем к новой переменной интегрирования
t = х — X
и учтя свойство интеграла от четной функции, напишем
(2.114) в виде
г— а/о |
- — (« |
P ( J - a < X < J + a ) = j / ^ - ^ e |
2 At. (2.115 |
о |
|
Правая часть (2.115) есть функция верхнего предела интеграла. Эта функция
Ф00 = |
(2.116) |
играет важную роль в теории вероятностей и называется
интегралом вероятностей.
Мы видим, что если
* = |
(2-117) |
то ф (z) дает вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от своего среднего значения по модулю не превзойдет а .
Интеграл вероятностей не выражается в конечном виде через элементарные функции. Для него составлены таб лицы (см., например, Л. Н. Б о л ь ш е в , Н. В. С м и р- н о в, Таблицы математической статистики, Москва, Вы числительный центр АН СССР, 1968). Прилагаемая крат
108 |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
[ГЛ. 2 |
кая таблица 2 интеграла вероятностей показывает, что вероятность того, что случайная величина, распределен ная нормально, отклонится от своего среднего значения не более чем на о, равна 0,68269; не более чем на 2а — 0,95450; не более чем на За — 0,99730; ге более чем на
Т а б л и ц а 2
Значение интеграла вероятностей
о
2 |
Ф(2) |
г |
Ф(2) |
Z |
Ф(2) |
0,0 |
0,00000 |
1,7 |
0,91087 |
3,4 |
0,р99326 |
0,1 |
0,07966 |
1,8 |
0,92814 |
3,5 |
0,999535 |
0,2 |
0,15852 |
1,9 |
0,94257 |
3,6 |
0,999682 |
0,3 |
0,23582 |
2,0 |
0,95450 |
3,7 |
0,999784 |
0,4 |
0,31084 |
2,1 |
0,96427 |
3,8 |
0,999855 |
0,5 |
0,38292 |
2,2 |
0,97219 |
3,9 |
0,9999038 |
0,6 |
0,45149 |
2,3 |
0,97855 |
4,0 |
0,9999367 |
0,7 |
0,51607 |
2,4 |
0,98360 |
4,1 |
0,9999587 |
0,8 |
0,57629 |
2,5 |
0,98758 |
4,2 |
0,9999733 |
0,9 |
0,63188 |
2,6 |
0,99068 |
4,3 |
0,9999829 |
1,0 |
0,68269 |
2,7 |
0,99307 |
4,4 |
0,9999892 |
1,1 |
0,72867 |
2,8 |
0,99489 |
4,5 |
0,99999320 |
1,2 |
0,76986 |
2,9 |
0,99627 |
4,6 |
0,99999578 |
1,3 |
0,80640 |
3,0 |
0,99730 |
4,7 |
0,99999740 |
1,4 |
0,83849 |
3,1 |
0,99806 |
4,8 |
0,99999841 |
1,5 |
0,86639 |
3,2 |
0,998626 |
4,9 |
0,999999042 |
1,6 |
0,89040 |
3,3 |
0,999033 |
5,0 |
0,999999427 |
4а — 0,9999367. Таким образом, вероятность отклонений, больших 2а, уже сравнительно мала, вероятность отклоне ний, больших За, очень мала, больших 4а — ничтожно мала, порядка 7-10-5.
§ 31. Теорема Муавра — Лапласа
При рассмотрении числа ш появлений события А в п испытаниях обычно бывает нужно найти вероятность того, что это число заключено между некоторыми значе ниями а и Ь. Если п велико и промежуток [а, Ъ] содержит
§ 31] |
ТЕОРЕМА МУАВРА - ЛАПЛАСА |
109 |
большое число единиц, то непосредственное использо вание биномиального распределения.
Рп И = -т\ (АЯЬ ^Г Рт^ т |
<2'118) |
требует громоздких вычислений; нужно суммировать боль шое число определенных по этой формуле вероятностей.
Поэтому целесообразно получить асимптотическое вы ражение для биномиального распределения при условии, что р фиксировано, а п ->■ оо. Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция
Используем для доказательства известную в анализе формулу Стирлинга
s! = У 2яssse~sA,
где 0 <) 0S -jt^- . При больших s величина 0Sочень мала, и приближенная формула Стирлинга, записанная в простом
виде, |
__ |
|
s! = |
У 2jtssse_s, |
(2.119) |
дает малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю, когда s - > o o .
Нас будут интересовать значения пг, не очень сильно отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда, при фикси
рованном р, условие п -> оо будет также |
означать, что |
т - > о о , п — т - > оо |
(2 .1 2 0 ) |
(в отличие от распределения Пуассона, где предполага лось, что р -> 0, а т конечно). Поэтому использование формулы Стирлинга (2.119) для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получим
* И “ [ т 5 м Ь = г Г (^ Г (^ Г ' (2Л21)
Используем также введенное ранее ((2.12)) отклонение от носительной частоты от наивероятнейшего значения
*«« = -£-— Р |
(2.122) |