книги из ГПНТБ / Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие

90 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА [ГЛ. 2

что есть математическое ожидание числа рекомбинаций за время t. Хотя каждый электрон может рекомбиниро­ ваться только один раз, это не значит, что а должно быть меньше единицы, а имеет смысл математического ожида­ ния числа возможностей рекомбинироваться за время t.

В таком случае, согласно распределению Пуассона, вероятность того, что за время t электрон не рекомбини­ руется,

е~“ == —-—

1 + У.Г

Искомая вероятность / (t) dt того, что рекомбинация элек­ трона произойдет в промежутке времени [if, t + dt], равна произведению вероятности того, что рекомбинация не произойдет за время t, на вероятность того, что после этого она произойдет за время dt. Таким образом,

/<,>л = н Ь н - п г л = (

§ 24. Вероятностная трактовка некоторых физических понятий

Введение понятия вероятности события позволяет правильнее определять некоторые физические явления. Например, понятие постоянства плотности газа в про­ странстве неверно формулировать буквально, считая, что молекулы расположены как солдаты в строю и все рас­ стояния между соседними молекулами равны между со­ бой. Так как молекулы газа непрерывно движутся, эти условия не могут выполняться строго, хотя плотность га­ за в макроскопическом смысле слова будет оставаться по­ стоянной.

Условимся говорить, что плотность газа постоянна в пространстве, если вероятность встретить хотя бы одну молекулу газа в некоторой области пространства зависит только от объема этой области и не зависит от формы об­ ласти и ее месторасположения. При таком определении тождественность фактически реализуемых положений в различных местах пространства заменяется тождествен­ ностью условий, характеризуемых вероятностями.

Очевидно, чем меньше объем рассматриваемой области, тем меньше вероятность встретить в пей хотя бы одну мо­

5 24] ВЕРОЯТНОСТНАЯ ТРАКТОВКА НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙ 9]

лекулу и когда объем области стремится к нулю, то ве­ роятность встретить в ней хотя бы одну молекулу также стремиться к нулю.

В пространстве, где плотность газа всюду одинакова, рассмотрим некоторую малую область объема 2v, состоя­ щую из двух частей, каждую объемом v. Вероятность встретить хотя бы одну молекулу в каждом из объемов v обозначим р. Тогда согласно теореме сложения вероят­ ность встретить хотя бы одну молекулу в объеме 2v равна р + р — рг. Если рассматриваемые объемы бесконечно малы, то бесконечно мала и вероятность р, поэтому квад­ ратом ее можно пренебречь и, следовательно, вероятность встретить хотя бы одну молекулу в объеме 2v равна 2р. Таким образом, для бесконечно малых объемов увеличе­ ние объемов вдвое ведет к увеличению вдвое вероятности встретить в объеме хотя бы одну молекулу. Поскольку рассмотренные объемы являются произвольными (при условии их бесконечной малости), то доказанное утвер­ ждение равносильно утверждению, что для бесконечно малых объемов вероятность встретить хотя бы одну мо­ лекулу пропорциональна величине объема. Следователь­ но, условие постоянства плотности равносильно усло­ вию, что вероятность встретить хотя бы одну молекулу в объеме dv равна К dv, где постоянный коэффициент про­ порциональности Я характеризует величину плотности.

Вероятность встретить хотя бы одну молекулу в объ­ еме dv равна вероятности встретить точно одну молекулу в этом объеме, а также равна математическому ожиданию числа молекул в этом объеме. В самом деле, математиче­ ское ожидание числа молекул в бесконечно малом объеме есть бесконечно малая величина. Обозначим ее h. Тогда согласно формуле распределения Пуассона вероятность встретить ровно тп молекул в этом объеме равна hm/m\, поскольку е~ь = 1. Следовательно, вероятность встре­ тить точно одну молекулу равна h. Очевидно также, что вероятность встретить в этом объеме две молекулы или

порядка в сравнении с h. Следовательно, вероятность встретить точно одну молекулу в объеме dv равна вероят­ ности встретить там хотя бы одну молекулу.

Если плотность газа в пространстве является некото­ рой функцией положения точки, то каждая из трех вели­ чин: вероятность встретить хотя бы одну молекулу, веро­ ятность встретить точно одну молекулу и математическое ожидание числа молекул в объеме dv равны X dv, где X является фукцией координат и описывает закон распре­ деления молекул в пространстве.

§25. Флуктуации физических величин

Взаполняющем пространство газе мысленно выделим некоторый объем. Пусть математическое ожидание числа

молекул в нем равно а- Действительное число молекул в объеме будет вследствие случайности непрерывно из­ меняться. Поэтому, хотя условия неизменны и макро­ скопически плотность газа все время постоянна, точно определяемая плотность, равная числу частиц, деленному на объем, все время меняется. Непрерывно меняется, сле­ довательно, и давление.

Температура газа в объеме зависит от скорости молекул. Скорости молекул не одинаковы, они распределены по максвелловскому закону. В данный объем вследствие случайностей могут залетать преимущественно более бы­ стрые или преимущественно менее быстрые молекулы, из-за чего средняя квадратическая скорость молекул, оп­ ределяющая температуру газа, непрерывно меняется.

Отклонения физических величин от своего среднего значения, вызываемые случайностью, называются флук­ туациями этих величин.

Если число частиц в некотором объеме равно т , то флуктуацией числа частиц мы назовем величину m — ш,

где ш — математическое ожидание числа частиц в этом объеме. Согласно закону Пуассона с ростом по абсолют­

ной величине (при том же знаке) т — m вероятность дан­ ного значения т и, следовательно, данного значения флук­ туации уменьшается. Таким образом, чем больше по аб­ солютной величине (при том же знаке) флуктуация, тем меньше вероятность ее появления. Для того чтобы оце­ нить среднюю величину флуктуаций, нужно определить среднюю квадратичную величину флуктуации. Если рас­ сматривается число частиц в некотором объеме, то средняя

04 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА £гл. 2

Так как плотность в данном объеме пропорциональна числу молекул в этом объеме, то относительные средне­ квадратичные флуктуации плотности в рассмотренных объ­ емах равны соответственно тем же числам 1,929-10"10 и 0,1929.

З а д а ч а 51. Бесконечное пространство равномерно заполнено непрерывно распределенной светящейся мате­ рией, единица объема которой излучает г) единиц энергии в единичном телесном угле в единицу времени. В этом же пространств равномерно с естественными флуктуациями распределены темные облака с коэффициентом прозрач­ ности q (коэффициентом прозрачности облака называется отношение энергии вышедшего из блока излучения к энергии вошедшего излучения). Вероятность встретить темное облако на пути ds равна и ds. Определить распре­ деление поверхностной яркости X, наблюдаемое из про­

некоторое произвольное направление из точки наблюде­ ния О (рис. 9). Вероятность пронаблюдать в этом направ­ лении поверхностную яркость, не превышающую х, рав­ на F (х). Рассмотрим точку О' , отстоящую от точки О на

As

Рис. 9.

As в направлении наблюдения. Так как физические усло­ вия в точке О' совершенно такие же, как и в точке О, то вероятность пронаблюдать из точки О' в том же направ­ лении поверхностную ^яркость, не превосходящую х, также равна F (х). Наблюдения из точек О я О' не незави­ симы. Для того чтобы поверхностная яркость при наблю­ дении из точки О не превосходила х, необходимо, что­ бы произошло одно их двух следующих не совместных событий.

1) Наблюдаемая поверхностная яркость из точки О' не превосходит х — rjAs, а между точками О и О' нет тем­

умножения вероятность этого события равна

F (х — tjA s) (1 — xAs).

2) Наблюдаемая из точки О' поверхностная яркость не превосходит xfq, а между точками О жО' имеется тем­ ная туманность. Тогда на пути As поверхностная яркость ослабеет в q раз и при наблюдении из точки О не будет пре­ восходить х. Вероятность события 2) равна

г ( т ) * 4 *'

События 1) и 2) несовместны, вероятность, что про­ изойдет одно из них, равна сумме их вероятностей, и это равно вероятности того, что поверхностная яркость, наблюдаемая из точки О, не превзойдет х. Следователь­ но, можно написать уравнение

в ряд Тэйлора и пренебрегая членами второго и более вы­ сокого порядка малости относительно As (мы это уже де­ лали, пренебрегая увеличением излучения за счет светлой материи в вероятности события 2)), находим после элемен­ тарных упрощений уравнение для искомой функции F (х)

Решать это функционально-дифференциальное уравне­ ние сложно. Если продифференцировать его по х, то полу­ чим уравнение для плотности вероятностей / (х),

Г1/' (*) + X/ (х) - - |- / J-y-J == о,

которое решать также сложно. Покажем, что легко найти, используя это уравнение, соотношение между моментами функции распределения F (х). Помножим для этого каж­ дый член уравнения на х" dx и проинтегрируем по всем возможным поверхностным яркостям, т. е. от 0 до -j-oo.

Случайную величину, плотность вероятности которой есть нормальная функция, называют нормально распре­ деленной случайной величиной.

Если плотность вероятности X имеет вид (2.84), а слу­ чайная величина Z есть

Таким образом, плотность вероятности Z также есть нор­ мальная функция со стандартом, равным аа, и средним значением Z = аХ".