книги из ГПНТБ / Юзбашев М.М. Методы изучения динамики распределений и зависимостей

Наблюдаемая в 1958— 1971 гг. картина роста урожайно­ сти отвечает начальным этапам процесса интенсифика­ ции сельского хозяйства области; ведь только в эти годы и начался интенсивный подъем урожайности всех сель­ скохозяйственных культур.

Наблюдения над различными процессами развития как социально-экономическими, так и биологическими приводят к заключению, что возрастание абсолютной ве­ личины вариации в совокупности, проходящей начальные стадии развития (если оно связано с увеличением сред­ него размера варьирующего признака) является общим статистическим законом динамики распределений. Так,

например, дети в возрасте 6—7 лет гораздо больше варьируют по росту, чем новорожденные. На более позд­ них стадиях развития, когда рост среднего значения при­ знака замедляется, увеличение абсолютного размера ва­ риации сменяется его уменьшением, так как единицы со­ вокупности, несколько отставшие в росте на первых ста­ диях развития, позднее выравниваются, подтягиваются к среднему уровню, а развивавшиеся ранее быстрее, за­ медляют рост, подходя к предельному значению (обла­ сти предельных значений) признака. Если же такового предела в принципе не существует, то за стадией замедле­ ния роста, по мере накопления количественных, посте­ пенных изменений следует новый качественный скачок,

фа 1) с темпом роста среднего квадратического отклоне­

Он свидетельствует о том, что рост вариации в процессе развития совокупности в абсолютном выражении сопро­ вождается уменьшением ее относительного значения.

О последнем можно судить также и по темпам роста коэффициента вариации урожайности (графа 3). В двух случаях коэффициенты вариации существенно снизи­ лись.

Следовательно, совокупность совхозов в процессе ин­ тенсификации сельского хозяйства области в относи­ тельном выражении становится более однородной, т. е.

83

различия между уровнями урожайности передовых и от­ стающих групп хозяйств, хотя и возрастают по абсолют­ ной величине, составляют все меньшую долю по отно­ шению к среднему уровню урожайности.

Показатели граф 8 и 10 характеризуют колеблемость среднего квадратического отклонения урожайности. Ин­ тересно отметить, что коэффициенты колеблемости по всем группам культур почти одинаковы. Как видим, эти коэффициенты меньше соответствующих коэффициентов колеблемости средней урожайности (графа 3), кроме трав на сено, где они равны. Такое же соотношение на­ блюдается и по ряду иных распределений, изученных нами, что позволяет выдвинуть следующую гипотезу:

колеблемость среднего уровня признака в динамике, как правило, сильнее, чем колеблемость среднего квадрати­ ческого отклонения признака в совокупности. Иначе го­ воря, вариация признака в совокупности устойчивее к воздействию факторов, вызывающих колебания уров­ ней отдельных лет, чем величина самого признака. В за ­ висимости от благоприятных и неблагоприятных усло­ вий погоды распределение совхозов колеблется, несколь­ ко сжимаясь в неурожайные годы и растягиваясь в уро­ жайные, но в гораздо меньшей мере, чем колеблется центр этого распределения — средняя величина.

Автокорреляция колебаний среднего квадратического отклонения (графа 10) несущественна, все ее коэффицициенты статистически незначимо отличны от нуля. Это говорит о случайном характере колеблемости среднего квадратического отклонения, так же как случайным яв­ ляется и колебание самого среднего уровня. Между коле­ баниями среднего уровня и среднего квадратического отклонения существует статистически значимая прямая зависимость (см. графу 11). Но так как колебания сред­ него квадратического отклонения слабее, чем колебания средней урожайности, то между колеблемостью коэффи­ циента вариации и колеблемостью среднего уровня су­ ществует, как уже было отмечено ранее, обратная зави­

симость (гр. 12). В урожайные годы совокупность совхозов является относительно более однородной по урожайности, а в неурожайные годы относительно менее однородной. Такое соотношение колебаний полностью со­ ответствует соотношению тенденций: по мере роста сред­

84

ней урожайности коэффициент вариации имеет тенден­ цию к сокращению.

В заключение рассмотрим показатели асимметрии, эксцесса распределения и присущие им закономерности динамики. Прежде всего, нужно отметить, что по всем

этих показателей не исчислялись. Это говорит о том, что процесс развития совокупности может происходить и без изменения показателей асимметрии и эксцесса распреде­ ления.

По всем четырем группам культур обнаружена право­ сторонняя асимметрия распределения и положительный

заметить совершенно четкую прямую зависимость: боль­ шим показателям асимметрии отвечают и большие пока­ затели эксцесса. Связь эксцесса с асимметрией особо на­ глядно доказывается весьма высокими значениями ко­ эффициента корреляции между их колебаниями (гра­ фа 14). Сильная прямая зависимость между показателя­ ми асимметрии и эксцесса обнаружена и при изучении динамики ряда других распределений и, может быть, является довольно широко распространенной. Следует проверить на материале иных совокупностей и признаков следующую гипотезу: асимметрия и эксцесс статистиче­ ского распределения, как правило, имеют единые причи­ ны возникновения, поэтому между абсолютной величиной показателя асимметрии и абсолютной величиной показа теля эксцесса распределения существует тесная. прямая корреляционная зависимость.

В графе 13 приведены коэффициенты корреляции между колебаниями средней урожайности и колебания­

ми асимметрии. Эти данные подтверждают ранее выска­ занное предположение о существовании обратной зави­ симости вследствие важной роли фактора односторон­ ней ограниченности величины признака в образовании асимметрии распределения. В неурожайные годы асим­ метрия имеет тенденцию возрастать, а в урожайные —

85

сокращаться, так как распределение удаляется от нижнего предела урожайности. Гипотеза нуждается в дальнейшей проверке.

§ 4. Общая характеристика статистических закономерностей одномерного распределения и его динамики

От изучения динамики отдельных показателей рас­ пределения и на базе этого изучения необходимо вер­ нуться к распределению в целом и его динамике. Одной из важнейших обобщающих характеристик распределе­ ния является закономерность, связывающая частоту со значением варьирующего признака. Эта закономерность может быть выражена в двух формах: а) в форме ве­ роятности того, что значение варьирующего признака превосходит заданную величину (менее заданной вели­ чины или заключено в заданном пределе значений). Та­ кая форма выражения зависимости между значением признака и частотой называется интегральным законом распределения или интегральной функцией распределе­ ния; б) в форме вероятности заданного значения призна­ ка. Такая форма выражения зависимости между значе­ нием признака и частотой для непрерывно варьирующих признаков называется дифференциальным законом (или функцией) распределения. Ее также называют функцией,

описывающей плотность вероятности.

Распределения реальных совокупностей, так называе­ мые эмпирические распределения, как правило, не от­ вечают точно никакой элементарной функции плотности распределения вероятности. При этом надо иметь в виду, что любое эмпирическое распределение совокупности, состоящей из я единиц, может быть абсолютно точно опи­ сано кривой, имеющей не более чем я параметров. Од­ нако такое описание ровно ничего не дает для углубления нашего знания о распределении. Замена я отдельных значений признака сводным уравнением плотности ве­ роятности, содержащим те же я параметров, явилась бы ярчайшим образцом математического формализма и ни­ чего более. Законы реального мира гармоничны и просты, таковы же и законы статистических распределений явле­ ний этого мира. Поэтому цель исследователя не в том,

86

чтобы подобрать к эмпирическому распределению функ­ цию, точно его выражающую, а в том, чтобы установить,

ккакому из достаточно элементарных, уже установлен­ ных наукой дифференциальных и интегральных законов распределения наиболее близко данное эмпирическое распределение. Реже, значительно реже речь может пой­ ти и о том, что анализ реального распределения приведет

кустановлению нового, опять же достаточно простого и обобщенного закона распределения.

Эмпирическое распределение отклоняется от теоре­

тического закона распределения вследствие случайно­ стей, не устранимых в диалектическом процессе разви­ тия совокупности. Поэтому для выявления функции, наи­ лучшим образом описывающей данное распределение, не­ обходимо свести к минимуму влияние случайных откло­ нений на характер распределения. Какими методами эта цель может достигаться? В. Т. Евдокимов по этому по­ воду пишет:

«Более полному выявлению закономерности кон­ кретного распределения способствует построение ва­ риационного ряда с равными интервалами, а также пере­ ход от мелких размеров интервалов к более крупным,'что равносильно уменьшению количества групп ряда. Одна­ ко следует заметить, что при слишком малом количестве групп (3—4) характерные особенности распределения также затушевываются. Наиболее надежный путь выяв­ ления закономерности распределения— увеличение ко­ личества наблюдаемых случаев» [8, с. 179]. Что касает­ ся равенства интервалов признака, то это элементарное условие построения вариационного ряда, без которого нельзя приступить к установлению закономерностей рас­

ний в исследовании социально-экономических процессов и совокупностей далеко не всегда возможно. Как прави­ ло, расширение объекта исследования сопровождается возрастанием неоднородности совокупности. Недопусти­ мо, например, с целью лучшего выявления закономерно­ сти распределения совхозов по урожайности картофеля

87

присоединить к совхозам Ленинградской области, отли­ чающимся значительно более высоким средним уровнем интенсификации производства, совхозы Новгородской, Псковской и Вологодской областей, где уровень интен­ сификации производства ниже, а поэтому и распределе­ ние по урожайности и его динамика носят иной харак­ тер.

Нахождение теоретических кривых, описывающих рас­ пределение, выражающих его закономерность, означает, что исследователь абстрагируется от случайных особен­ ностей, флюктуаций реального распределения, вызван­ ных влиянием случайных факторов на величину призна­ ка у отдельных единиц совокупности. Однако при этом не происходит абстрагирования от случайных особенно­ стей. присущих тому периоду или моменту времени, к которому относится эмпирическое распределение. И нет никакой гарантии, что теоретическое распределение, построенное на основе данных только одного случайно выбранного периода, действительно отражает типиче­ ские черты, закономерности распределения, присущие со­ вокупности в процессе всего ее развития или на опреде­ ленном его этапе. Напротив, достаточно обратиться-к дан­ ным табл. 4—8 и 13, чтобы понять: присущие динамике распределений колебания приводят к значительным раз­ личиям в характере эмпирических распределений за от­ дельные годы.

Итак, в дополнение к имеющимся в литературе ука­ заниям нужно иметь в виду, что для нахождения закона распределения, в том числе и функции плотности вероят­ ности, необходимо абстрагироваться не только от стати­ ческих случайностей, присущих эмпирическому распреде­ лению в каждый отдельный период, но и от~динамических случайных колебаний распределения. Недооценка динамики, игнорирование неизбежных в процессе разви­ тия колебаний под влиянием побочных факторов, не свя­ занных с причинами, обуславливающими прогрессивное развитие совокупности, проявляется и в данной пробле­ ме— в методике выявления закономерностей распреде ления. Необходимо ясно представлять себе, что отыска­ ние закономерности распределения по одномоментным данным, данным одного периода может быть допустимо только в случае исследования весьма стабильной сово­ купности, а также для расчетов и прогнозов в условиях,

88

аналогичных тому специфическому периоду или момен­ ту, который послужил исходным для определения зако­ номерностей распределения. В большинстве же случаев для исследования законов распределения является не­ обходимым привлечение и анализ данных о динамике распределения, отделение случайных его особенностей в результате колебаний в отдельные периоды от типиче­ ских черт, устойчиво присущих распределению в сред­ нем, в тенденции на протяжении целого длительного этапа развития. Строго говоря, именно только эти послед­ ние и можно называть закономерностями распределения.

Исследование динамики распределения позволяет решить две познавательные задачи: во-первых, сгладить, выровнять колебания эмпирического распределения в отдельные годы под влиянием переменных во времени факторов (это позволяет надежнее установить типические черты закономерности распределения, его интегральной и дифференциальной функций); во-вторых, выявить эво­ люцию самой закономерности распределения, постепен­ но приводящую к качественному изменению типа инте­ гральной и дифференциальной функций, которым соот­ ветствует данное распределение. Смена одного типа за­ кономерности распределения совокупности другим дол­ жна иметь серьезные причины в материальных факторах динамики совокупности, она должна быть объяснена ими, т. е. раскрыта с точки зрения тех конкретных наук, ко­ торые изучают развитие данной совокупности (экономи­ ки сельского хозяйства и агрономии, например, если речь идет о динамике распределения сельскохозяйствен­ ных предприятий по урожайности).

Рассмотрим результаты исследования динамики рас­ пределения совхозов Ленинградской области по урожай­ ности картофеля (табл. 4 и 9). Проверке подвергнута прежде всего гипотеза о том, что данное распределение является нормальным (несущественно отличным от нор­ мального). Выбор данной гипотезы для проверки обос­ новывается большой распространенностью нормального распределения, его особо важной ролью в математиче­ ской статистике и, в частности, тем, что соответствие рас­ пределения совокупности нормальному закону является, по мнению ряда ученых, предпосылкой применения к этому признаку метода корреляционного анализа. Вто­ рая гипотеза, подвергнутая проверке, — гипотеза о лога­

89

рифмически нормальном законе распределения. Она из­ брана потому, что, как уже отмечалось ранее, некоторые статистики считают: достаточно быстро развивающаяся совокупность подчиняется именно логарифмически нор­ мальному закону распределения.

в отдельности и установить, происходит или не происхо­ дит процесс перехода от одной закономерности распреде­ ления к другой; к какой из проверяемых гипотез чаще и лучше подходит эмпирическое распределение. Проверка, как было отмечено в § 1, произведена по двум крите­ риям: «хи-квадрат» К. Пирсона и «лямбда» А. Н. Кол­ могорова. Распределение считается соответствующим данной гипотезе лишь в том случае, когда по одному и по другому критерию предположение о соответствии не опровергается при уровне вероятности 0,05. Если вероят­ ность, соответствующая тому или другому критерию, ока­ зывается менее 0,05, эмпирическое распределение счи­ тается не соответствующим проверяемой гипотезе.

всего оказалось, что в большой части случаев за 6 лет обе гипотезы не отвергаются, т. е. эмпирическое распре­ деление соответствует как нормальному, так и логариф- мически-нормальному закону. За 4 года распределение не подходит к нормальному закону, но соответствует ло- гарифмически-нормальному. Два раза (в 1970 и 1971 гг.) распределение, наоборот, не подходит к логарифмически-

к другому закону; обе гипотезы отвергаются.

Второй важный вывод заключается в том, что все без исключения случаи, когда та или другая гипотеза была отвергнута, объясняются низким значением вероятности критерия х2. В то же время по критерию К обе гипотезы удовлетворяются на протяжении всех 14 лет с большим запасом надежности. Это свидетельствует о том, что «ин­ тегральный характер» распределения, частота в широких пределах весьма близко соответствует теоретическим

90