книги из ГПНТБ / Юзбашев М.М. Методы изучения динамики распределений и зависимостей

урожайности лишь как выборку из генеральной совокуп­ ности уровней, подчиняющейся тем же закономерностям динамики, имеющих ту же тенденцию и колеблемость В этом случае оценкой генерального среднего квадрати­ ческого отклонения фактических уровней от тренда яв­ ляется величина S y(t).

S (y -3 ’)2

п — k — l ’

где k — число параметров тренда, не считая средней ве­

Зная оценку генерального среднего квадратического от­ клонения и пользуясь таблицами вероятностей для нор­ мального распределения, можно определить вероятное предельное отклонение урожайности от тренда. С веро­ ятностью 0,95 отклонение не превзойдет 25, т. е. 40 ц/га. Если необходимо определить вероятность отклонений только одного знака, например неурожаев, то следует пользоваться «односторонним критерием». Вероятность того, что отрицательное отклонение от тренда не превзой­ дет по абсолютной величине —40 ц/га, равна 0,975. Или можно определить, что с вероятностью 0,95 неурожай не превзойдет— 1,645 5м(О* т- е- —33 ц/га. Исходя из этого,

тельным, крайне редким. Столь сильный неурожай в сред­ нем при существующих условиях производства и климата приходит один раз в 42 года.

Оценка генеральной средней величины колебания ис­ пользуется при определении средней ошибки среднегодо­ вого прироста (параметра Ь в уравнении тренда):

Величина среднегодового прироста в 4,5 раза превос­ ходит его среднюю ошибку, что говорит о полной надеж­

60

ности наличия тренда. С вероятностью 0,95 среднегодо­ вой прирост урожайности картофеля заключен в преде­ лах b ± 2mb{t) = 6,08 ± 2,66 ц/га в год.

Помимо средней ошибки среднегодового прироста сле­ дует при прогнозировании считаться со средней ошибкой другого параметра тренда, т. е. величины средней урожай­ ности а. Средняя ошибка средней выборочной величины, как известно, равна среднему квадратическому отклоне­ нию, деленному на корень из объема выборки, т. е. для колеблемости:

Параметры а и b независимы друг от друга, равно неза­ висимы (или в основном независимы) и их ошибки. По­ этому общая ошибка прогнозируемого уровня определяет­ ся по правилу сложения дисперсий:

т . м [ Ц = У т / [ Ц - \ - т ьг [г).

При этом надо иметь в виду, что ошибка среднегодового прироста: для расчета ошибки прогнозируемого уровня должна быть увеличена во столько раз, на сколько лет отстоит этот уровень от последнего года фактического ря­ да, лежащего в основе расчета тренда. Если это число лет обозначить через /, имеем:

,nMl [t] = y m*[t) + {lM )b*[t).

Например, для прогнозируемого уровня на пятилетие

(1972— 1976 гг.) имеем:

Предельная ошибка прогнозируемого среднего уровня на пятилетие с вероятностью 0,95 не превзойдет 2-9,8 л: 20 ц/га. Сам этот средний прогнозируемый уровень

составит: 104 + 6,08-9,5 ± 20 = 162 ± 20 ц/га. Точность прогноза, как видим, невелика, хотя, вероятно, и доста­ точна для ряда практических плановых расчетов. Если ограничиться меньшей надежностью, например 0,9, то предельная ошибка прогнозируемого уровня уменьшится

61

до 1,645 tnM{t), т. е. до ±16 ц/га. Дальнейшее снижение надежности уже нецелесообразно, необходимо прямо и честно признать, что в условиях значительной колеблемо­ сти средней урожайности картофеля в настоящее время более точный прогноз средней урожайности на следую­ щее пятилетие невозможен. Относительная точность про­ гноза составляет ±16 ц/га : 162 ц/га » ± 10%.

Второй стороной исследования колеблемости, после изучения ее величины, является исследование типа, фор­ мы колебаний. Основных таких типов три. Первый тип — это маятниковая колеблемость. Она заключается в стро­ гом чередовании друг за другом отклонений то в одну, то в другую сторону от тренда. Маятниковая колебле­ мость возникает в том случае, если отклонение в одну сторону в один период с неизбежностью вызывает от­ клонение в другую сторону в следующий период. По от­ ношению к урожайности причиной маятниковой колебле­ мости могли бы быть нарушения баланса питательных веществ в почве: при хорошем урожае (выше тренда) из почвы с урожаем выносится больше таких веществ, чем создается и вносится. Плодородность падает, урожай следующего года снижается, уровень урожайности от­ клоняется вниз от тренда. В свою очередь этот понижен­ ный урожай оставляет в почве возросшее количество не­ использованных веществ, создаваемых природой и вноси­ мых человеком, и уровень урожайности опять подни­ мается выше тренда. Однако этот гипотетический меха­ низм возникновения маятниковой колеблемости не обес­ печивает ее поддержания: она затухает. Кроме того, сознательная деятельность человека и другие природные факторы колебания урожайности гораздо более сильные, чем описанный, «забивают» маятниковую колеблемость, если даже она и возникает.

Второй тип колеблемости — это циклическая колебле­ мость. Для нее характерно, что отклонения одного и того же знака идут последовательно друг за другом нарастая и ослабевая на протяжении одной половины цикла, затем они сменяются рядом отклонений другого знака, сначала нарастающих, а затем ослабевающих, после чего весь процесс повторяется. Циклические отклонения вызыва­ ются длительно влияющими факторами, период колеба­ ния которых превосходит период образования отдельного уровня изучаемого признака. По отношению к урожай­

62

ности причиной циклической колеблемости могло бы служить влияние 11-летнего цикла солнечной активности на метеорологические условия, если бы оно оказалось до­ статочно сильным. Многократные попытки статистиков обнаружить определенную цикличность в колебаниях урожайности не дали ясного положительного результата

[см. 20, 21, 33].

Третий тип колеблемости — это случайная, иррегуляр­ ная колеблемость без определенного порядка чередова­ ния отклонений одного и Другого знака. Случайная ко­ леблемость, распределенная по закону Гаусса — Лапла­ са, образуется, как показал А. М. Ляпунов, при сложении влияний множества независимых или в основном неза­ висимых друг от друга факторов. Поскольку на урожай­ ность влияет огромное число метеорологических, биологи­ ческих, физико-химических, социально-экономических факторов, есть очень солидные теоретические основания ожидать, что именно этот тип колеблемости урожайности преобладает.

Для статистического изучения типа колеблемости в динамике предложен ряд методов, из которых чаще все­ го применяют рассмотрение автокорреляции отклонений от тренда. Легко показать, что уже по коэффициенту автокорреляции отклонений первого порядка (т. е. со сдвигом на 1 год) можно уверенно установить преобла­ дающий тип колебаний. В самом деле, если колебания имеют характер маятниковых, то следующие друг за дру­ гом отклонения имеют противоположный знак и сумма их произведений (автоковариация) является отрицатель­ ной величиной. Чем строже соблюдается чередование знаков и пропорциональность абсолютных величин откло­ нений, тем ближе абсолютная величина автоковариации к величине суммы квадратов отклонений, а, следователь­ но, коэффициент автокорреляции первого порядка при маятниковой колеблемости стремится к — 1.

Если колебания имеют характер циклических, тогда несколько отклонений подряд имеют один и тот же знак,

63

мится к полусумме квадратов отклонений, а коэффициент автокорреляции первого порядка к +0,5. Если циклич­ ность не плавная, а скачкообразная, то он может дости­ гать и еще больших положительных значений, в пределе приближаясь к плюс единице.

Наконец, при случайной колеблемости отклонения как одного и того же знака, так и разных знаков имеют равную вероятность следовать друг за другом, а матема­ тическое ожидание суммы произведений следующих друг за другом отклонений, как независимо распределенных случайных величин, равно нулю. Следовательно, по мере увеличения длины динамического ряда и фактическая сумма произведений отклонений (автоковариация) стре­ мится к нулю. Так как на практике мы имеем дело с до­ вольно ограниченным по длине рядом, критерием преоб­ ладания случайной колеблемости является несуществен­ ность отличия коэффициента автокорреляции первого по­ рядка от нуля.

Для изучаемого нами динамического ряда средней урожайности картофеля в совхозах Ленинградской обла­ сти за 1958—1971 гг. коэффициент автокорреляции коле­ баний первого порядка составил +0,001. Эта величина, разумеется, несущественно отлична от нуля. Таким обра­ зом, можно считать установленным, что преобладающим характером колебаний является случайная колеблемость урожайности.

Для сравнения: коэффициент автокорреляции колеба­ ний средней урожайности картофеля в совхозах Калинин­ градской области за тот же период составил —0,075, а по совхозам ЭССР за 1961—1971 гг. он составил —0,072. Все эти показатели незначимо отличаются от нуля. Уста­ новление случайного характера колеблемости служит и обоснованием правомерности применения к этим колеба­ ниям вероятностных оценок, что уже было авансом сде­ лано ранее.

Иной метод определения случайного характера коле­ баний предложен Юлом и Кендэлом [44, с. 708—709]. Он основан на подсчете «поворотных точек», т. е. отклонений, больших или меньших, чем оба соседние. Среднее число

64

16-14 _29_ у2 Д7 ~ } 4 7 _ фактическое число «поворот90

ных точек» составило 7, таким образом, оно несуществен- -цо отлично от ожидаемого при случайной колеблемости, и этот метод также подтверждает ранее полученный ре­

зультат.

Так называемые «структурные средние» — медиана и мода за большую часть лет отличаются от средней ве­ личины урожайности незначительно. Вряд ли целесо­ образно проводить полный анализ динамики каждой из этих величин. Если такая необходимость возникнет, мето­ дика анализа динамики медианы и моды будет той же самой, что и методика анализа средней величины. Соот­ ношение между средней, медианой и модой характеризу­ ет форму распределения, его асимметрию, в данном слу­

ковы. Таким образом, имеются существенные колебания' асимметрии.

Большое значение в анализе динамики распределения имеет изучение тенденции и колеблемости показателей вариации: среднего квадратического отклонения призна­ ка в совокупности и коэффициента вариации. Прежде всего необходимо обратить внимание читателей на недо­ пустимость смешения характеристик вариации признака в совокупности, т. е. в пространстве, с одной стороны, и характеристик колеблемости признака в динамике, т. е. между разными интервалами либо моментами времени—: с другой. Возможность смешения этих совершенно раз­ ных по природе показателей заложена в том, что как те, так и другие выражаются в единой математической форме — в форме среднего квадратического отклонения и в форме коэффициента вариации. Однако содержание, роль и практическое значение показателей пространствен­ ной вариации признака и показателей его колеблемости в динамике различны. Так, например, показатели про­ странственной вариации урожайности измеряют степень различия в объективных условиях выращивания данной сельскохозяйственной культуры и различий в организа­ ции и уровне агротехники отдельных совхозов области. Большое значение коэффициента вариации говорит о не­

однородности совокупности хозяйств в данном отноше­ нии, о том, что плохо решается задача подтягивания отстающих хозяйств и передачи передового опыта.

Совсем об ином говорят показатели колеблемости урожайности в динамике. Как было показано, они выра­ жают прежде всего степень влияния переменных метео­ рологических факторов на урожайность. Это не значит, что величина показателей колеблемости не зависит от уровня агротехники или почвенных условий, напротив, одной из задач в процессе интенсификации производства и повышения агротехнического уровня земледелия как раз и является задача сокращения колебаний урожайно­ сти. В передовых хозяйствах эти колебания значительно меньше, чем в отстающих.

Даже беглый взгляд на динамический ряд показате­ лей среднего квадратического отклонения (табл. 9) обна­ руживает черты динамики: наличие общей тенден­ ции к увеличению и заметную колеблемость. Из этого следует, что единая средняя за весь изучаемый период характеристика вариации при анализе и для прогнозиро­ вания явилась бы огульной, фиктивной величиной. Не­ обходимо, применив метод аналитического выравнивания, измерить, с одной стороны, общую тенденцию динамики среднего квадратического отклонения, с другой — его колеблемость. Методика аналитического выравнивания ничем не отличается от обычной, поэтому соответствую­ щие расчёты нет надобности воспроизводить здесь. Ана­ лиз показал, что тенденция динамики достаточно хоро­ шо выражается уравнением прямой линии, имеющим следующий вид:

~ ’= 2 9 ,6 + 1 ,lt.

Номера лет t по-прежнему отсчитываются от середины ряда. Это уравнение свидетельствует о возрастании сред­ него квадратического отклонения в среднем на «1 ,1 ц/га в год. За весь период в 13 лет оно возросло на 14,3 ц/га, или на 64% к уровню 1958 г. Возрастание среднего квад­ ратического отклонения урожайности есть иное выраже­ ние уже установленной в предыдущем параграфе тенден­ ции «растягивания» рядов распределения совхозов по урожайности в процессе развития совокупности. Теперь получено количественное выражение этой тенденции.

66

Сравнивая скорость изменения показателя вариации урожайности со скоростью изменения средней урожайно­ сти, приходим к выводу о том, что средняя урожайность растет примерно вдвое более высоким темпом (на 123% за 13 лет), чем среднее квадратическое отклонение уро­ жайности.

Тенденция среднего квадратического, отклонения яв­ ляется статистически надежной. Средняя ошибка средне­ годового прироста составляет 0,27; таким образом, вели­ чина прироста вчетверо превышает среднюю ошибку.

Колеблемость среднего квадратического отклонения измеряется обычным методом, однако при этом возника­ ют новые показатели: «среднее квадратическое отклоне­ ние фактических величин среднего квадратического от­ клонения урожайности в отдельные годы от его вырав­ ненных уровней» и т. п. Ввиду этого, а также в целях дальнейшего анализа колеблемости вариации урожайно­ сти приводим расчетную таблицу, необходимую для ис­ числения ряда излагаемых далее характеристик колебле­ мости.

Т а б л и ц а 10

Расчет показателей для анализа колеблемости среднего квадратического отклонения урожайности картофеля

Обозначения: у,-— фактические уровни средней урожайности;

у — выравненные уровни средней урожайности;

<7: — фактические средние квадратические отклонения;

тического отклонения от его тренда.

Показатель колеблемости среднего квадратического отклонения определяется так:

Коэффициент колеблемости среднего квадратического отклонения составляет:

Сравнивая эту величину с коэффициентом колеблемости средней урожайности, приходим к выводу, что колебле­ мость вариации урожайности заметно слабее, чем колеб­ лемость средней урожайности. Это означает, что условия, порождающие вариацию урожайности в совокупности совхозов, довольно устойчивы и менее подвержены влия­ нию переменных метеорологических факторов, ответст­ венных за колебания распределения совхозов по урожай­ ности, чем средняя урожайность.

Для ответа на вопрос о характере колеблемости сред­ него квадратического отклонения рассчитаем коэффици­ ент автокорреляции отклонений 1-го порядка:

Отличие коэффициента от нуля не является значимым, и, следовательно, колеблемость среднего квадратического отклонения является случайной переменной величиной. Во избежание недоразумений необходимо подчеркнуть, что незначимой является лишь автокорреляция колеба­ ний, сами же колебания показателя вариации урожайно­ сти являются существенно отличной от нуля величиной. Тот же вывод получается и по критерию числа «поворот­ ных точек» Юла и Кендэла.

68

Определенный интерес представляет вопрос о взаимо­ связи колебаний среднего квадратического отклонения с колебаниями самой средней урожайности. Для ответа на него рассчитаем по данным табл. 10 коэффициент кор­ реляции между колебаниями средней урожайности и ко­ лебаниями среднего квадратического отклонения:

Величина коэффициента достаточно велика и статис­ тически значима. Наличие существенной связи указыва­ ет на то, что одной из основных причин колебаний сред­ него квадратического отклонения является колебание средней урожайности, т. е. в конечном счете влияние ме­ теорологических факторов. В годы благоприятные для выращивания картофеля, как, например, 1960, 1965, 1970 г., передовые хозяйства лучше используют благопри­ ятные условия, в большей мере повышают урожайность, и распределение вытягивается в сторону высоких значе­ ний урожайности. В годы неблагоприятные для картофе­ ля, как, например, 1962-, 1966, 1969 гг., распределение сжимается. Хотя и в эти годы отдельные передовые хо­ зяйства добиваются достаточно высокого уровня урожай­ ности, основная масса хозяйств еще не имеет условий или умения удержать урожайность на прежнем уровне и откатывается к низким уровням урожайности.

Сравнение темпов изменения средней урожайности с темпами изменения среднего квадратического отклоне­ ния (меры пространственной вариации) показало, что средний уровень возрастает значительно быстрее. Это соотношение темпов приводит к уменьшению относитель­ ной меры вариации урожайности — коэффициента вариа­ ции. О динамике коэффициента можно судить двумя спо­ собами. Первый способ состоит в том, чтобы сопоставить уже полученные ранее (см. табл. 10) выравненные ряды значений среднего квадратического отклонения и средней урожайности. В этом случае выравненный коэффициент вариации исчисляется по формуле:

v

V

69