Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 287 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Следовательно,

-и в1

JL.M—

(3-21)

й...

Закон изменении длины пути перемешивания

вблизи

стенки

показан

на

рис.

3-13.

пределах

0 < j / < 6 D i

спра-

ведлива

формула

Л а н

д а у — Л е в и ч а

(3-20);

на

чиная

с у>6В1

можно

при

нимать

закон

П р а н д т л я

в виде (3-G), если, разу

меется,

рассматривается

только

пристеночная

об

ласть.

Если

точке

А,

соот

ветствующей границе

вяз

кого

подслоя,

провести

касательную

кривой

г,

, 1 0

1=Цу)>

о н а

составит

Рис.

3-13. Закон длины

пути

пере-

У Уг<->л

_ я - « + 0 - . .

мешнванпя в пристеночной

обла-

с о

ь ю

a — aicig x

стп.

отсечет

на

оси

отре

ьо

убедиться,

половине

зок

, равный, как лег-

толщины

вязкого

подслоя:

S B =

- ? T S m

ИЛИ

р в

24 - Р в ,

а>*8„

;

Рв1

Р а з м е р бп

можно рассматривать

как

толщину

вяз

кого подслоя в первом грубом приближении, в то время как бВ1 — толщина вязкого подслоя согласно уточненной схеме.

Теперь можно перейти к определению уточненного закона скоростей в вязком подслое. Д л я этой цели вос пользуемся законом касательных напряжений с учетом турбулентной слагаемой (формула П р а н д т л я ) :

Т, = [Аdw

и законом длины пути перемешивания (3-21).

К ак	и	прежде, переходя к безразмерным парамет
рам v и	р,	получаем:

(3-22) В этой формуле д л я краткости записи обозначено:


Напомним,			что			\|3П1 = 2(3В		и что,	следовательно, 6B i
зависит только			от		параметра			A/Re	(рис.	3-12).
Г р а ф и к зависимости							а = и(р, A/Re),			в ы р а ж а е м о й
формулой		(3-22),			представ
лен на	рис. 3-14.			Штриховая
линия	определяет					парамет
ры на	границе		вязкого под
слоя. И здесь наблюдается
заметное влияние					параметра
A/Re	на	величину				безраз
мерной	скорости			на		границе
вязкого подслоя. Так, увели
чению	A/Re от			нуля до			0,5
соответствует				возрастание
уВ1 от	10,5	до 17,8.


	Д л я		удобства			зависи
мость oB i='UB i(A/Re)							пред
ставлена на рис. 3-12						(штри
ховой		линией) .
v,	Сопоставление				значений
	полученных по				формуле
(3-22), с опытными					данными
Рейхардта				(течение		в ка
нале)		и		Л а у ф е р а		[Л.	51]
(течение			в трубе) ,		а т а к ж е
с	теоретическим				решением
Рейхардта				приведено			на

70 80

Рис. 3-14. Закон скоростей в пристеночной области (в вяз ком подслое и переходном уча стке) .

В — граница вязкого подслоя (со

гласно уточненной схеме); Я — гра ница переходного участка.

рис.	3-11.	При	сопоставлении	приняты	постоянные:
у. = 0,4 и .pB i=15. Хорошее совпадение опытных и						расчет
ных	данных	свидетельствует о		справедливости		закона
Л а н д а у — Левича,			выраженного	формулой	(3-20).

Формула		Ландау — Левича			может	быть уточнена,	если учесть
что точка	Л	является	точкой перегиба			и что, следовательно, в ней
дг11дуг—0.	Это позволяет			вместо	(3-20)	принять:
п наптн постоянную с3			из	условия		0. Такое	уточнение

может оказаться полезным при расчете тепювого пограничного слоя для очень больших чисел Рг.

Поскольку отношение -g- <^ I, то при определении закона 7 (•/))

для ядра течения приближенно можно принять граничное условие

что и было сделано ранее при выводе формулы ^З-Э).

Ч т о бы не возвращаться к пристеночной			области,
найдем з а к о н	с к о р о с т е й в о б л а с т и ,		п р и м ы
к а ю щ е й к	в я з к о м у	п о д с л о ю . Д о	значений

г | < 0 , 1 без большой погрешности можно принять линей

ные законы изменениякасательных					напряжений				и дли
ны пути перемешивания:
1 +	КТ,	I =	к (У ~ 8Я) =		У. (у		-	^
что заметно упрощает определение скоростей.
Аналогично	предыдущему теперь				получим:
	z I-
			dz„						(3-23)
	z, =		2 x ( p
В частном	случае	при A/Re<Cl,				т. е.		при	малых
продольных градиентах давления,
			z2 +	] / i		+4
			«20 +	] / " •		+	4
			] / i	+	4	,	-

И т а к, формула

(3-23)

определяет

закон

скоростей

в области, примыкающей к вязкому

подслою, и справед

лива примерно до т ) ^ 0 , 1 .

Зависимость- (3-23)

т а к ж е сопоставлена

опытными

данными

при малых

продольных

градиентах

давления

на рис. 3-11 и 3-15. И здесь

наблюдается

хорошее

совпа

дение опытных и расчетных

данных.

«о

и° / — "

юг

103

104

Рис. 3-15. Универсальный закон

скоростей

в пристеночной

области

по

измерениям

Людвига и Тилмана

[Л. 51].

+ + +

—riJ-

2,8.|.10-з; О О О

— ^ £ .

= 5,15-10-3;

X X X

—'if- =

2.5')-ИГ*; Д Д Д

—CIf- =0.2-10-3;

•&0щ'* их

"oTTV " х

расчет но формуле (3-23).

В целях удобства вычислений разделим

пристеноч

ную область, примыкающую к вязкому

подслою, на два

участка. В первом участке,

условно

н а з ы в а е м о м

пере

ходным, молекулярные и молярные силы трения

одного

порядка, и поэтому вычисление скоростей

необходимо

производить

по формуле (3-23). Н а границе

переходного

участка,

характеризуемой

координатами

уп,

Ци и рп ,

силы молекулярного трения пренебрежимо малы и, сле довательно, при р>|3п их влиянием можно пренебрегать. Практически согласно опытным данным силы молеку

лярного	трения малы		уж е при р > 3 0 - ь 4 0 . Примем р п =
= lip B ,	что при малых		градиентах давления соответст
вует р п » 8 2 . Тогда максимальное значение				параметра г2 ,
до которых		целесообразно пользоваться		зависимостью
(3-23),	равно	6.

	Г р а ф ик зависимости	о = и(р,	A*/Re,)	в диапазоне
0<р<Ор\] представлен на рис. 3-14.
	Н а ч и н а я с \|3 —рп силами молекулярного			трения	мож
но	пренебречь. Математически это в ы р а ж а е т с я в				том,
что	в интеграле (3-23)	можно	принять:	l / 2 2 > d / z и
l / z ^ l / z 2 .
	Интеграл существенно	упрощается:

о — у„ = •			2 ) / 1 + А , . т , - 2 1 / 1 + А Л .
	In -jy	•			г- In						(3-24)
Итак, формула			(3-24) в ы р а ж а е т				закон		скоростей вне
переходного участка				и	справедлива		примерно			до	значе
ния Г \| : ^ 0 , 1 .
В целях удобства вычислений формулу (3-24)											пред
ставим	в виде
	v 9 , - v a =				f{kt)-F^y						(3-25)
приняв	верхний	предел			интегрирования			т) = 0,1;
f ( A , ) = —		2 V		1 +	0,1 A, -	In	V\ +		0.1А,, + 1
f ( A , ) = —		2 V		1 +	0,1 A, -	In	,
' v	*		2V	~		V\ + o , i л ! \| ; — 1
F			2V			• 1 п 1 _			R e ,
									Re*
(D0,I — безразмерная				скорость,		соответствующая rj = 0,1).
Функции /(А) .и ^(A . /Re)						изображены в				виде гра
фиков на рис. 3-16 и 3-17.
Д л я	очень	малых			значений- А* и			A/Re		функции
/(А) и F(A/Re*)			упрощаются:
f ( A * ) « : 4 - ( 2			+ 0 l l A » ~ l n S ^ ) ' е С Л И						А * < 0 - 2 -
V R e * y	х -						,	если ^ _ < 0 , 0 0 3 ,
V R e * y	х -					Re.
						Re.

Опыты Людвига .и Тилмана, результаты которых представлены на рис. 3-15, имеют принципиальное зна чение. Согласно этим опытам до значений fi порядка 103 закон скоростей в пристеночной области не зависит от градиента давления . Это позволяет заключить, что ве личины и и (Зв т а к ж е не зависят от градиента давления

14 ГШ

12 w

8
6
4			i
			i
г	- - }	-.._	ii
			i	A*
о	20 40	ВО	80	100

Рис. 3-16. Вспомогательная функция

НА.) = I 2У\ +	0,1/1,-
Vl + 0.1А,	+1"

У\ + o . i/i . — i

24 HAjReJ

А*

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Рис. 3-17. Вспомогательная функ ция

—In V1


при	умеренных		его	значениях.	Н и ж е	будет	показано,
что	х и р п	не зависят		от чисел	Рейнольдса, если Re до
статочно велико			(например, Re>10 4 ) .
	Постоянство		величин % и (Зц позволяет рассматривать
их	как физические константы,				характеризующие турбу
лентные течения			в пристеночной		области.
	Все изложенное справедливо только при условии, что
внешний поток			невозмущеп, т. с. что в			нем отсутствуют
пульсации		скорости.
	Вопрос	о влиянии		турбулнзацни внешнего			потока на

характеристики пограничного слоя требует дополнитель ных исследований. ' "

5-105

3-5. РАЗВИТОЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ

ИКАНАЛАХ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ

На и б о л ее простыми объектами для исследования тур


булентного	течения являются цилиндрические				трубы
с прямолинейной		осью	и	плоские каналы постоянной
ширины, у которых		высота		существенно меньше ширины.
Помимо	чисто практического интереса, изучение те
чения в таких к а н а л а х			представляет большой		теорети-

Рис. 3-18. К определению закона ка сательных напряжении в кольцевом канале, образованном соосмымн ци линдрическими трубами.

ческий интерес, поскольку многочисленные надежные опытные данные позволяют оценить точность теории. Это тем более справедливо, что для таких каналов из

вестен	закон	касательных		напряжений			т = т ( £ / ) ,		и	по
этому исключается погрешность, связанная с									неточ
ностью определения зависимости						х=х{у).
Ц и л и н д р и ч е с к а я				т р у б а .		Д л я		определения
скоростей в трубе необходимо					прежде всего			найти	закон
т = т(г/).
Переходя		к	определению		зависимости			т = т ( г / ) ,		рас
смотрим течение в кольцевом канале,							образованном
двумя	соосными		цилиндрическими			трубами		(рис.	3-18).

Выделим элементарный объем, ограниченный нормаль

ными	плоскостями	/ и 2	и	цилиндрическими	поверхно
стями	радиуса г и	r + dr,	и	определим силы,	действую
щие на этот объем		в направлении оси х,
fifi

Р а з н о с ть давления	dp/dx	дает силу
dFv	= ——-	dx2nr	dr,
а касательные 'Напряжения
dF	= 2 * ^ -		drdx

уравновешивают действие сил давления, поскольку из

менение количества движения	отсутствует:
dFp-\-dF=Q.
После подстановок и сокращений получим:
±_d_p_=dp_			( 3 _ 2 6
г dr	dx	4	'
Д л я обычной цилиндрической трубы формула			(3-26)

заметно упрощается . Действительно, производя интегри рование, находим:

. , dp r 2 — r\

Но так как на оси трубы /"i = 0, то

г dp

хT l x '

Отсчитывая, как и прежде, расстояние			от стенки, т. е.
з а м е н я я
	г =	у—гг
и обозначая r\=ylrz	(/'г — радиус трубы),		получаем:
Т	= ^ = 1 -	т , .	(3-27)

З а к о н скоростей в турбулентном ядре находится птсредством совместного решения зависимостей:

— ,	у	2	W
т = 1 -	т); h = y-;	\ = pw • о =	—

Окончательно получаем:

d-ц. (3-28)

0,671

l — J -

Результаты

расчетов

по

формуле

(3-28)

дл я

к = 0,4

представлены на

рис. 3-19 и, кроме

того,

приведены

ни

же, где vm

б е з р а з м е р н а я

скорость

на оси

трубы.

7) . . 0,025 0,05

0,1

0,2 0

0,4 0,5

0,6

0,7

0,8

0,0

vm—v

0,9

7,97

6,13 4,27 3,16 2,3-М ,69 1,16 0,73 0,39 0,12 0

Н а

рис. 3-19

приведено сопоставление расчетных зна

чений

скоростей с опытными данными

Л а у ф е р а

[Л. 51].

U M

- V

tt-ч

							Ы
	0.01 ОМ		0,05		0,1	0,2	0,5 1
	Рис. 3-19. Универсальный закон изме
	нения	скоростей			в	цилиндрической
				трубе.
	О О О — по опытам				Л а у ф е р а ;		— п о
		формуле		(3-28) для Х.-0.1.
Можно отметить		вполне		удовлетворительное				совпадение
опытных и расчетных данных .
З а к о н	скоростей в		пристеночной				области	был най
ден ранее	и в ы р а ж а е т с я			ф о р м у л а м и			(3-22) и	(3-23).

Чтобы полученными формулами можно было поль зоваться практически, необходимо установить зависи мость между числом Рейнольдса и коэффициентом по

терь	X. К а к показано ниже, по К легко вычислить	сред
нюю	безразмерную скорость vcp, от которой легко	перей

ти к vm и найти распределение скоростей. .

Зависимость м е ж д у Re и <к устанавливается следую щим образом .

Касательное напряжение		па	стенке (/'и=	г2) соглас
но формуле (3-26) равно:
0	— '	2	dx'
С другой стороны, производная dp/dx				может быть
найдена по формуле Д а р е н :
d_P_^		X р ™%
dx		2га	2 '
Следовательно,		К	о
		К	о
Но так как xo=pwzt,	то

Формула (3-29) устанавливает зависимость межд у

безразмерной скоростью vcp

и коэффициентом

X. Д а л е е ,

следуя

по пути,

указанному

П р а н д т л е м

(для более

про

стой модели течения) [Л. 39], можно установить

непо

средственную связь между

Re и vcp.

С этой

целью

вна

чале 'найдем скорость на оси трубы vm,

записав

дл я ее

определения

следующее выражение:

»,n= u B i +

(wo.i—wB i) + (vт—

v0,i).

(3-30)

Б е з р а з м е р н а я

скорость

u B i

была

определена

ранее

( У в ^ Ю . б ) .

Скорость

voti,

соответствующая

координате

г) = 0,1,

приближенно

может

быть

найдена

по

формуле

(3-23). После соответствующих

подстановок

(3-23) и

в ы ч и сл е и и й н а ходи м:

у о,, -

f в, — 5,75

lg (2Re У I)

15,5.

(3-31)

При

получении формулы

(3-21)

учтена

зависимость

(3-29)

и, кроме того,

принято:

г а =

2хр -

хр, А. 2хр =

2x7, g -

( R e

= ^

j . •

Разность скоростей vm—va,i

согласно

формуле

(3-28)

равна 6,13.

" 69

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 287 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ