книги из ГПНТБ / Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория

остаются прежними,

хотя

количественные

соотношения

оказываются

иными.

О п р е д е л е н и е

г р а н и ц

с т р у и

начнем со

слу­

чая з а т о п л е н н о й

с т р у и

(wi = Q).

Д л я

этой

цели

1,00

N

0,75

К А .

0,50

0,25

Ч >

А.Д.ОС6

Уа

^ \ Ч*»с1

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Рис. 4-21. Опытное и расчетное распределение скоро­

стей в основном участке осесимметричной

струи.

•

• • — г -

= 27

О О О — — = 35

опыты

Репхардта

[Л. I] ;

' о

wm

const

, . .. , 4

= ——

(4-111)

Л-

(х — расстояние до полюса

источника) .

струи.

Действительно,

поскольку

д л я осесимметричного те­

чения на оси (# = 0)

согласно

(4-109)

dw„

дт. \

1

dw„

dwx

wx

X

~~х '

j 4 _ V r 2 t g y

в

т а к ж е оказывается

одинаковым

дл я плоской и

осесим­

метричной

струй.

Опыты

подтверждают равенство углов ср д л я

плоской

и осесимметричной

струй.

w

: COnSt.

О

получаем формулу,

у с т а н а в л и в а ю щ у ю

зависимость меж­

ду шириной струи

в и избыточной

скоростью

Awm:

в- [до.ДДОда + О.БЗДдо^] = const.

(4-112)

Второе уравнение получим следующим образом:

\dyJy=o

U l A = o

2

— с -

в

(как и д л я плоской

струи Ci = —0,095).

С другой стороны,

Ым=

- Г * « "ЯГ = - 5 "

+А Ш -) V 2 -

П р и р а в н и в а я

оба в ы р а ж е н и я

д л я

производных, на­

ходим:

Й Д Ш т — 2 с ,

Д а ,2

б -

l 4 " U d )

/71

ной скорости Awm

вдоль оси струи:

х — х. =

-

5,255 _ / .

'mi

1 + Д«'п

• ЙДм\

Дг7?ш + 0,53Дгу;,

(4-114)

Ди\

Пример 4-3. Найти закон 'изменения максимальной

избыточной

скорости Л и т

и ширины

струн вдоль оси осесимметричион

струи

125,Дшт

1,00

Рис. 4-22. Изменение относптель-

0,75

\

ной

избыточной

скорости

вдоль

\

оси

круглой струи.

0,50

Д Д Д — по опытам

Лен диса

и

Шапи­

"л—

ро;

по формуле

(5-6).

Q25

X

So

10

20

30 ¥0 50 60

70

для

отношения

скоростей in—wl/wi=0<46

и

сравнить

результаты

с опытными данными Лендиса и Шапиро [Л. I].

•Принимаем, что в начале

основного участка ширина

струи при­

опытным данным принимаем xi/e0 =24.

Далее

вычисляем:

A f i ? M i =

^ = L = _ L _ I = = I , , 7

Т(1|_

in

'

И'

графическим интегрированием

определяем

зависимость

Ax/ei =

=f<(Awm)

согласно формуле (4-П4).

в

Аг 1

jr

Во

*

Рис. 4-23. Изменение ширины

круглой

t

струи

вдоль ее оси.

1

Д Д Д — по

опытам

Лендиса

и

Шапиро;

л

1

по

формуле

(5-7).

д \

1

X

Во

О

8

1В 24 32 40 48 56 64 72

кое же, как и в плоской струе,

при одинаковых

гранич­

ных условиях. Поэтому не составляет труда

получить

все зависимости дл я осесимметричной

струи

в

ограни­

ченном пространстве,

используя

метод,

разработанный

д л я течения плоской струи.

В качестве иллюстрации ограничимся изучением за­

кономерностей

течения

в области

выравнивания

потока

в цилиндрической камере смещения, пренебрегая,

как и

прежде, влиянием трения о стенки

камеры .

З а к о н

скоростей на участке

выравнивания

потока вы­

р а ж а е т с я

интегралом

(4-67);

результаты

вычисления

представлены

в табл . 4-5.

З а к о н

изменения д а в л е н и я

вдоль

камеры

смешения

находится

с помощью

теоремы

количеств

д в и ж е н и я :

или

о

1

р =

с — 2 j"

w\dt\.

р = paf - 0,0б6рДог\

(4-116)

вышение давления,

достигаемое при

полном

выравнива ­

нии

потока

и

без

учета

влияния

трения о

стенки,

при-

V.

200

ц

Л -

150

¥л \

Рис. 4-24. Поля

скоростей

в двух

сечениях

13,

цилиндрической камеры

смешения.

100

% О — по опытам

Г. Н. Абрамовича

[Л. 11;

расчет.

50

7 0,25

0,5

0,75

1

"

~~

мерно

равно

13%

кинетической

энергии,

подсчитанной

по" максимальной

разности

скорости

в

начале

участка

выравнивания .

м/с

300

\

Рис. 4-25. Распределение

ско­

250

с \

V

рости

на

оси цилиндрической

\ ч

камеры

смешения.

200

ч

О О О

— по опытам

Г. Н. Абрамо ­

вича

[Л. 1):

расчет.

150

X

100.

2бп

3

4

5

8

3

10

2

Определение

закона

изменения

разности

скоростей

Ааут о

производится

таким

ж е образом,

ка к

и в

§

4-7.

Р а з н и ц а

лишь

в том, что теперь

Awi

0,286Р -

Awi

, ду )v=~

\df\

Л = о г

^

В

в

Н е т р у д но убедиться в справедливости следующей за ­

висимости:

S - C r =

3,5

""ер

AwmT

1.2 l g Aw„

(4-117)

Awm

Г Л А В А П Я Т А Я

Т Е П Л О В ОЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

НЕСЖИМАЕМОЙ Ж И Д К О С Т И

5-1. ГИПОТЕЗА О ЗАКОНЕ ТУРБУЛЕНТНОГО

ТЕПЛООБМЕНА

Теория

турбулентного теплового пограничного слоя

П р а н д т л я

и Тейлора основывается на законе

теплопере­

дачи при турбулентном

перемешивании:

q=

— 9Cpw'yV.

(5-1)

П у л ь с а ц и я температуры по предложению

П р а н д т л я

Г

= const

(5-2)

Д л и н а пути перемешивания

/' т , так ж е как и

длина

пути

перемешивания

определяется

опытно;

очевидно

только что она д о л ж н а

быть пропорциональна

линейно­

му

размеру. Так, дл я свободной

струи

П р а н д т л ь

прини­

мает:

/'т=const • в

(в

— половина

ширины

струи) .

П у л ь с а ц и я скорости w'v принимается пропорциональ­

ной

градиенту

осредненной во

времени

скорости:

w'y — const /

.

(5-3)

После

подстановок

закон

теплообмена

принимает

вид:

Д л и н а

/ т равна произведению / V

и

включает

т а к ж е

З а к о н теплообмена в виде (5-4) используется

при ре­

шении з а д а ч о теплообмене в трубах и газовых

струях.

использовании

закона

(5-4),

изложена

в

ряде

работ;

в частности,

м о ж н о отметить книги

С. С.

К у т а т е л а д з е

[Л. 25] и Г. Н. Абрамовича

[Л. 1].

З а к о н теплообмена

(5-4)

обеспечивает

удовлетвори­

тельное совпадение опытных и расчетных

данных

по по­

л я м температур . Однако этот

закон о б л а д а е т

серьезным

г - г ,

. о о 1

И

ш-ш,

Р

'тт-

••

к

-

ш

.*

оо

о

•

о

°

•

•

о

•

0

э 0

0о

•

,У/Ус

0

• г

1

1

1

1

1

1 1

МЭ -о<-

-

2

-

1

О

1

2

Рис. 5-1. Поля, скоростей и

температур в

плоской

струе

по

измерениям

Рейхардта

[Л. I].

# — температура;

О — скорость.

недостатком, четко

о б н а р у ж и в а е м ы м

при

изучении теп­

лообмена

в струях.

Д е л о

в том, что согласно опытам

толщина

теплового

этого вне динамического пограничного слоя

dwx/dy

= Q,

а градиент температур и соответственно передача

тепла

существуют. Иллюстрацией

м о ж е т

служить

рис. 5-1, на

котором приведены опытные

поля

скоростей

и темпера­

9 = 0

(т. е.

дТ/ду)=0).

Отмеченный недостаток вызван применением зависи­

мости

(5-3),

согласно которой вне динамического

слоя

пульсации скорости отсутствуют, что противоречит

опыт­

ным д а н н ы м .

Ч т о б ы получить закон теплообмена, лишенный

ука­

г

4

W'I

(5-5)

—-Лг=—- =

Constcons —з-=

аТ

dw.

ду

ду

Д а л е е перейдем

от

производных

дТ/ду

и dwjdy к ко­

нечным разностям

AT

и

ДОУ:

=

и'

-;

(5-6)

AT

const -г-2

Aw

Aw =

wx

\

течения

л

стенки;

АТ =

Т 0

- Т

\ для

вблизи

J

ДОУ = wm

— ш 1

струи.

AT =

„

„

)

Для

Tm

— Т

Д л я струй 7 т

и

ш т - — с о о т в е т с т в е н н о

т е м п е р а т у р а и

скорость на оси струи.

Aw остается конечной

Поскольку разность

скоростей

висимость (5-6) не теряет смысла

вне динамического

слоя.

Итак, вместо зависимости м е ж д у пульсациями темпе­

ратуры и скорости, выраженной (5-5)

и соответствующей

Зависимость (5-6), как

и (4-102),

следует рассматри ­

вать к а к

гипотезу, н у ж д а ю щ у ю с я в

экспериментальной

проверке.

С учетом зависимости

(5-6)

закон

турбулентного

теп­

лообмена

принимает следующий

вид:

Aw f,

дТ\*

,г ~

Формула (5-7) аналогична

ф о р м у л е П р а н д т л я

для

касательных напряжений:

14—106

209

С учетом

молекулярного

теплообмена

, дТ

,

Дш

/.

дТу-

(5-8)

Вопрос о длине пути перемешивания

7 Т

рассмотрен

ниже.

В § 5-3—5-5 закон теплообмена

(5-8)

применен к

ре­

шению

з а д а ч о тепловом

пограничном слое

на

стенке и

в струе. П о к а з а н о хорошее

совпадение

опытных и

рас­

четных данных, что служит косвенным

подтверждением

справедливости закона

(5-8).

5-2. ЗАКОН ДЛИНЫ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ

ДЛЯ ТЕПЛОВОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Подобие явлений переноса тепла и импульса

предоп-

пределяет подобие законов

длины

пути

перемешивания

/ и / т .

Согласно

решению

Л .

П р а н д т л я

/ т = / [Л. 39]. Д а л е е

убедимся, что решение

П р а н д т л я справедливо

д л я

раз ­

витых

турбулентных

течений

в

к а н а л а х

при

условии

Р г = 1 .

Согласно

решению

Тейлора

1^ = ]/"21.

Н и ж е показано,

что решение

Тейлора справедливо

д л я турбулентного те­

чения в струях, т. е. при отсутствии

твердых

границ.

П р я м ы е

эксперименты,

позволяющие

установить

за­

висимость 1т = 1т(у), отсутствуют. Поэтому

принято

пред­

положение

о подобии

зависимостей

1 — 1 (у)

и

/ т = /т(#)>

ператур подтверждает

справедливость такого

подобия.

По аналогии с длиной пути

перемешивания I д л я

определения / т приняты

следующие

в ы р а ж е н и я :

а) д л я развитого турбулентного

течения в

канале:

(5-9)

в — половина ширины

к а н а л а ;

•у

"в