книги из ГПНТБ / Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория

тельное допущение о

длине пути перемешивания. При­

мем, что длима пути

перемешивания не

зависит

от на­

правления . Очевидно,

что это допущение

можно

считать

Продольные

пульсации

скорости

w'x

определяются

так же, как и в методе

П р а н д т л я .

Если

жидкий

моль

попадает из точки А в точку В

(рис. 3-2,6), то

его

ско­

рость изменится

на величину

Двд* =

ш я в -

ш з д — sfby+sr

А?-

Расстояние между точками А и В Л по-прежнему

равно длине пути перемешивания .

Поскольку A// =

/ i sin и и Лг = /4 cos а, то

Лш*= '« (%:'-slnа c o s я ) •

Пульсация

скорости

w'x

численно равна

разности

скоростей

>\wx:

w'x = -

Люд- =

— /, (j^-

sin a-f^g-

cos

aj.

При определении

поперечных

пульсаций

скорости

т а к ж е воспользуемся гипотезой

П р а н д т л я

о

пропорцио­

нальности

между

продольными

и поперечными

пульса­

циями скорости, однако при этом учтем

особенности

пространственного

течения.

Д е л о

в том,

что

согласно

последней

зависимости

пульсация

скорости w'x

может

быть

представлена

в ви­

де суммы двух

слагаемых:

w'x

= w'xy +

w'xz

w'xy — — Iг - ^ - sina ;

w'xz

= —

cosaj .

коэффициенты, как и длину пути

перемешивания h,

можно считать зависящими от геометрии к а н а л а

и поло­

жения точки в канале .

В газовых

струях вне

границ

струи (как их . обычно

определяют)

поперечные

пульса­

цами струй с = 0 , что лишает

возможности

пользоваться

последними формулами . Это обстоятельство

необходимо

учитывать, в

частности

при

изучении

поля

температур

в струях.

Переходя

к определению

касательных

напряжений,

примем, что

осреднение

во

времени

может

быть заме ­

рости равновероятны во всех направлениях .

Исключения

составляют лишь области, непосредственно

примыкаю ­

щие к стеикам. Поэтому можно принять:

2

и

о

зависит только от геометрии канала и

положения

точки

в канале . Характер этой

зависимости

установлен

ниже.

Н. И. Булеев решал

поставленную

задачу исходя из

вихревой вязкости, и получил другие, существенно

более

сложные зависимости для %х у и т Х 2

[Л. 8].

3-3. ЗАКОН ДЛИНЫ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ

Гипотеза П р а н д т л я о связи пульсации скорости

с гра­

диентами скоростей осредненного

движения, в ы р а ж е н н а я

в виде зависимости (3-3), д о л ж н а

быть дополнена

гипо­

Д в у х м е р н ы е

т е ч е н и я .

З а д а ч а

о

длине пути

перемешивания

сравнительно

подробно

изучена

д л я

двухмерных течений.

П р а н д т л ь предположил,

что

вблизи

стенки

длина /

пропорциональна расстоянию до

стенки:

1 = ку.

(3-6)

Многочисленные

опыты

показали,

что

формулу

П р а н д т л я

(3-6)

можно

применять

на

сравнительно

не­

большом

удалении

от

стенки

до

расстояний

порядка

£//6 = 0,2^-0,25.

Было

т а к ж е установлено,

что

коэффи­

циент пропорциональности х

практически

не

зависит

ни

ления др/дх, и поэтому у. имеет

характер

универсальной

постоянной. П о данным различных исследований

вели­

чина

коэффициента х

колеблется в пределах

и =

0,36н-

0,4.

Н и ж е постоянная

П р а н д т л я

принята

равной

0,4:

у. = 0,4.

Это значение получено путем

сопоставления

опытных

обтекании

плоской стенки.

Недавно М. А. Гольдштнку и С. С. К у т а т е л а д з е

уда­

лось найти

теоретическое решение задачи о

постоянной

П р а н д т л я

% [Л. 25]. В основу решения задачи

был

поло­

В дальнейшем формула П р а и д т л я (3-6) будет

ис­

пользована в виде

.

( £ ) - . = * •

< " >

причем производная

берется на

границе вязкого

под­

слоя. П р а в д а , последняя оговорка

практически несуще-

Рмс. 3-7. К определению длины

пути

перемешивания.

я — развитое

турбулентное течение

в

канале;

б — погранич­

ный

слон па

стспке; в — турбулентная

струя;

/ — граница

струп; 2 — граница

пульсаций;

а — y.=tg a = 0 , 3 6 ; « _ / e = I;

б — v.=lg а=0,36;

Xi = lg а,=<0,18; в _ ^/о=1,2;

в — x.,=tg ai=»

«0,18; в ^ / в = !,5.

ственна,

поскольку

толщина

вязкого

подслоя

обычно

пренебрежимо мала .

1 = 1 {у)

При определении

закона

необходимо

разли­

чать три

случая: а) развитое

турбулентное течение

принятые обозначения

показаны на рис. 3-7.

В

случае

р а з в и т о г о т у р б у л е н т н о г о

т е ч е ­

н и я

(схема

а рис. 3-7) известны производные

dljdy на

обеих

границах турбулентного

ядра:

t g a ' = ( | - ) ^ = K ;

( ж \ ^ г ~ к

-

Поэтому

в простейшем случае можно принять:

l^ay'

+ czy'2

(у'=у—8в)

гласуется с законом 1 = 1{у),

рассчитанным по

опытному

распределению скоростей. Из

формулы (3-3)

находим:

величину

касательного

н а п р я ж е н и я на стенке

(то),

легко

найти

длину /.

Результаты

подобных

расчетов,

выполненных

по опытным

данным Никурадзе,

представ­

лены

на

рис.

3-8. Там

ж е

приведена

зависимость,

соот­

ния опытных и

расчетных

данных

принято

х =

0,36.

Д а л ь н е й ш е е

уточнение

закона

длины

пути

перемеши­

вания

возможно

только

с привлечением опытных дан­

ных. Так, например, если

вместо

(3-9)

принять:

7 =

x , f l

-

- f - ) [ l

- - f ) ]

(3-10)

и потребовать,

чтобы

на

оси

канала

/=0,14

(согласно

опытам Н и к у р а д з е ) ,

то при

у.=0,4

получаем

величину

постоянной

с = 0,6.

Легко

убедиться, что

формула

(3-10)

дает значения I , почти совпадающие с опытными данны ­

ми Никурадзе .

В дальнейшем при использовании упрощенной зави­

симости (3-9) будет приниматься

х = 0,36,

а для

зависи­

мости

(3-10)

и =

0,4.

Необходимо

отметить,

что попытка

теоретического

определения

длины

пути

перемешивания

принадлежит

Карману, предположившему,

что

пульсационные

движе -

а,1а

—

А.

С-

0,1¥

V

17,1г

Ц,!о

•—

0,08

?

1

G.OS

\

о.ог0,04

/

1

1

7

U

г

0,2

0,4 0,6

0,8

1,0

0,4

0,6

0,8

а)

0,10

1

о

0,Ю\

1

•

•

3

(

\

х Л

•

0,08

И'

0,08

£ о

< О

оN А

X

0,06

Д> *

0,06

{

\

А

• 1

¥

0,04.

(?

«у?

0,04

N

X

о.ог

0,02

а \1

V

f

1

0,2

0,4

0,5

0,8

1,0

О

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

б)

г)

Рнс. 3-8. Закон изменения длины пути перемешивания.

а—

в цилиндрической

трубе;

б, о

н г — в пограничном слое

на

стенке;

}

по опытам В. Г.ЧКал-

мыкова н Т. В.

Шуль

гиной

г — в

плоском

д и ф ф у з о р е

по данным

[Л. 67];

по

формуле (3-9) для

к—0,36;

расчет

по

опытному

распределению

скоростей

(по

данвым

Н н к у р а д з е ) ; — •

по формуле Кармана.

ная формула К а р м а н а

записывается

так:

7

<

dwx/dy

< —

— х

дгшх!дуг

'

Постоянная я

в формуле

К а р м а н а д о л ж н а

опреде­

ляться по опытным данным .

График

зависимости

1=1{у)

по

К а р м а н у для

течения

в цилиндрической

трубе,

представленной на рис. 3-8,

позволяет

заключить,

что

формула

К а р м а н а

не обла -

мулой (3-8). В

то ж е

время

применение формулы

Кар ­

мана

существенно затрудняет решение задачи.

В

случае

т у р б у л е н т н о г о

п о г р а н и ч н о г о

с л о я н а с т е н к е

возникает вопрос

о величине длины

пути

перемешивания и ее производной на внешней

гра­

нице

слоя. К сожалению, этот вопрос не изучен

д а ж е

д л я

случая

невозмущенного

внешнего потока

(при от­

сутствии турбулентности внешнего потока) .

Н и ж е приводятся

некоторые

соображения

автора

о характере

зависимости

1(ц)

для

пограничного

слоя па

стенке. Но, поскольку они основаны на анализе

данных

по исследованию течения в струях, целесообразно

вна­

чале

остановиться

на

законе

длины

пути

перемешива­

ния для струй.

Особенно

остро

стоит

вопрос

о

з а к о н е

д л и н ы

п у т и п е р е м е ш и в а н и я в т е о р и и

т у р б у л е н т ­

н ы х

с т р у й .

Отсутствие

твердых

границ

дало

основа­

ние

Л . П р а н д т л ю

предположить,

что

длина пути

пере­

П р а н д т л ю

закон

длины

пути

перемешивания

для

струп

в ы р а ж а е т с я линейной зависимостью

1=св

(3-11)

в - половина ширины

струи;

постоянная

с

(коэффи­

циент структуры

струи)

находится из опытных

данных.

З а к о н

(3-11)

используется

в теории струй

при ре­

шении задач как в строгой постановке Толмииом,

Шлих -

тингом [Л. 56], так и в приближенной постановке

Гинев-

кона (3-11)

существенно

упрощает

решение

задач

о газовых струях.

Формула (3-11) обладает

двумя существенными не­

достатками . Во-первых, постоянная с не является

уни­

версальной

константой;

для

плоскопараллельного

следа

за

плохо обтекаемым

телом

величина

с вдвое больше,

чем

дл я плоских и осесимметричных затопленных

струй.

1

о— I

1

О

X

о

"> г-, Q ^

i

*

0

Iy/X

nf т г*

э в в с 1

Q

(* 9 •

—>—

% я<*91

в »

в а

I1

г/х

1——!*-

8

п I

I

I

1

1

X

1

-0,1

О

9

0,1

Характерно, что длина пути

перемешивания

/* оста­

ется практически постоянной;

кривая ly=f(y/x)

зани­

Основываясь на опытах Илизаровой, а т а к ж е

прини­

мая

во внимание, что толщина теплового турбулентного

слоя

струи больше толщины

слоя динамического, мож­

но п р е д л о ж и т ь следующую

модель струи и соответст­

вующий ей закон длины пути

перемешивания .

Турбулизация потока, вызванная струей, не заканчи­

вается

на границах струи, если под границей подразу­

мевать

линию (поверхность),

за которой скорость тече­

ния

близка к скорости невозмущенного течения

(напри­

мер,

отличается « а 1%). З а

счет сил вязкости

длина

пути

перемешивания вне струи уменьшается и достигает

*

Обозначения х и у те же, что и на рис. 3-6.

значения 1 — 0

на расстоянии

л_ >п.

Производная

у.\ —

— dl/dij

на границах

турбулентной

области,

т. е.

при

У —

в дальнейшем

будет называться второй

постоян­

ной П р а н д т л я .

Итак, вводится

новая

постоянная

(3-12)

и отношение

ширины

области

пульсаций к

ширине

струи

вЦв.

Графической

иллюстрацией

к

изложенному

служит

Отношение

ширины области пульсаций

в_

к

ширине

струи в

принимается:

в „ / в « 1 , 5

для

основного

участка

струи;

в^/в

— 2,2

для

следа за

плохо

обтекаемым

телом и,

кроме того, принимается xi~0,18 .

Ц и ф р ы получены в результате

поверочных

расчетов

и сопоставления опытных и расчетных

характеристик

струй.

Выбор закона длины пути перемешивания

оказывает

малое влияние на распределение скоростей

в

струе,

однако существенно влияет на закон изменения

ширины

струи вдоль оси (угол конусности струи) .

длины

пути

перемешивания (для

основного

участка

струи)

в виде

(3-13)

По - прежнему ц = у/в, но

теперь

координата

у о т ч и ­

тывается от оси струи.

Принятую

схему струи

следует

рассматривать как

чественные соотношения.

•

Однако расчеты показывают, что использование этой

схемы струи и трех

опытных

коэффициентов

(xi = 0,18

и двух отношений

eje для

струи и следа)

позволяет

увеличить точность

определения характеристик

струй и