Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 283 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ГЛ А В А В Т О Р А Я

УР А В Н Е Н ИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

2-1. УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Л.ПРАНДТЛЯ

Ре ш е н ие уравнений движения в общем случае пред

ставляет задачу	большой	сложности	д а ж е для	лами
нарного течения	несжимаемой жидкости.
Р е ш а ю щ е е	упрощение	уравнений	движения	было

произведено в 1904 г. Прандтлем . Он использовал то обстоятельство, что влияние сил вязкости обычно про

является лишь вблизи обтекаемых поверхностей;	об
ласть, в которой влияние вязкости значительно,	полу

чила название пограничного слоя. На границе и вне

пограничного слоя				влиянием вязкости практически мож
но пренебречь. Толщина пограничного слоя б							обычно
мала	в	сравнении		с характерным	размером	/	обтекае
мого тела или поверхности:
Последнее неравенство и было использовано							Прандт
лем	для	оценки	порядка отдельных слагаемых,				входя
щих	в	уравнения		движения, что	позволило	отбросить
ряд	слагаемых,		не	о к а з ы в а ю щ и х	заметного	влияния на

количественные соотношения. Полученные уравнения

значительно	проще исходных, что облегчает решение
ряда практически в а ж н ы х задач .
Переходя	к выводу уравнений П р а н д т л я , ограничим

ся случаем установившегося плоскопараллельного ла минарного течения. Особенности турбулентного течения рассмотрены ниже.

Уравнения движения установившегося плоскбпараллельного течения получаются как частный случай урав

нений	(1-5) при условии
	dt
2	д Г
3	дх

(2-1)

дту

dwy

ду

dwv

dw.

dw,*

ду

дх

ду.

дх

Уравнение

неразрывности

(2-2)

(ри»») =

(2-3)

Переходим

к оценке

порядка

величин

отдельных

сла

гаемых.

Скорость

возрастает

пределах

пограничного

слоя

отдо*—0 « а стенке

(где 6 = 0 ) до wx

= wxm

на

гра

нице слоя. Следовательно, производная dwx/dy

д о л ж н а

быть порядка wxm/ym=wxm/§,

вторая

производная

порядка Wxmfd2. Уравнение неразрывности

позволяет

оценить

величину

производной

dwv/dy

самой

ско

рости

wy:

dw,,

dw,

w*m

ду "

-r\j. дх

Теперь легко

найти

порядок

остальных производных:

d2ws

dw,и

Г-

дх

d-Wy

d2Wv

Я>хт

dx2

ду2

и далее

установить

порядок

членов правой

части

урав

нений:

{(

dw*да

дх

dwv

дх

ду

(„

dw*

Ь2

ду

dwy

W,,

- д

г )

и так д а л е е

(

5 \ 2

Если

S <^

/, то ( — ) < 1 и, следовательно, в

правой

части

уравнения (2-1) из четырех

слагаемых,

зависящих

от \|А, о с т а е т с я только	о д н о — § j j ~ ( ^ ~ ^ r
(	dwx 1	dwx

Д а л е е П р а н д т л ь

принимает, что в

пограничном

слое

силы

вязкости

и силы

инерции имеют одинаковый поря

док.

Это

допущение

позволяет

дать

оценку

толщины

пограничного

слоя и,

кроме

того,

д о к а з а т ь

одно

из

в а ж

нейших

положений

теории

пограничного

слоя — о

по

стоянстве давления поперек слоя.

Поскольку

инерционные

члены

уравнения

(2-2)

(левой

части) имеют

порядок

рог

5//=,

силы

вязкости

V.wxm/!b,

то

р -

••

н, следовательно,

(2-5)

Очевидно, что производная др,'ду [в уравнении (2-2)]

должна	иметь	порядок			инерционных			членов,	т. е. pw2	8//2.
А так	как согласно			уравнению		(2-1)		производная		др/дх
должна	быть	порядка			рог JI,	то	отношение
			dp .	др
			ду '	дх
Д р у г и м и		словами,			градиент		давления		др/ду	мал
в сравнении с градиентом др/дх							и поэтому		можно	при
нимать	др/ду^О.
Полученный			результат имеет				большое		практическое
и теоретическое			значение.

Д а в л е н и е	в п о г р а и и ч н о м	с л о е м о ж и о
с ч и т а т ь п о с т о я н н ы м п о н а п р а в л е н и ю			н о р
м а л и и р а в н ы м д а в л е н и ю рт		в н е ш н е г о п о
т о к а .
Условие др/ду	= 0 заменяет уравнение ' (2-2)		и, сле

довательно, уравнения пограничного слоя записываются так:

' ( * - Й Ч - * 4 ^ ) - * - - & + £ ( " 5 г ) : )

(2-6)

При выводе второго равенства (2-6) предполагалось,

что	массовая сила Y имеет	такой ж	е порядок, как и дру
гие	силы; практически это	условие	всегда выполняется,
если	б / / < 1 .

Уравнение неразрывности остается прежним, а урав нение энергии упрощается. Производя оценку порядка величин отдельных слагаемых уравнения (1-10) и от брасывая малые слагаемые, получаем для установив шегося ламинарного плоскопараллельного течения сле дующее уравнение энергии:

di , di dp i

Аналогичным образом из (1-13) получаем:

pWx Л ' о I „ „ . д'о _ у . „ . I д / , дТ

2-2. УРАВНЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

П е р е х о дя к уравнениям турбулентного пограничного слоя, необходимо д а т ь оценку порядка производных до бавочных напряжений, определяемых зависимостями (1-18).

Пульсации скорости w'x и w'y, как показывают эксперименты, одного порядка, что позволяет принять w'xw'y~w'2x.

П уль сации плотности, как правило, существенно меньше пульсации скорости, однако при больших сверх звуковых скоростях, а т а к ж е при интенсивном теплооб мене пульсации плотности и скорости соизмеримы. По этому в общем случае можно принять:

' 2 _ р _

Следовательно в первом из уравнений (1-17) можно принять:

дадх

dz.•хУ .						р	па
~3у~	~~ду~1р	W'xW'y		+	Р'™'"!'
Во втором	из уравнений			(1-17):
	дау	д		г~гт2л	Р	wx2
	ду	ду
		дх		Р wx
		дх
Отбрасывая	слагаемые			порядка	р		получаем
уравнения турбулентного			пограничного			слоя в	виде
		-w		= Х		др
	дх	-w		= Х		дх
	дх	у	ду			дх
	Г dtc.	•р W'xW'y				дй-	\ (2-9)
ду	ду	•р W'xW'y					\ (2-9)
ду	ду
	_ (	р +	Р	ш -) =	0.

Последнее уравнение показывает, что при значитель ных пульсациях скорости давление изменяется по тол

щине пограничного		слоя.
Оценка порядка величин позволяет установить связь
между	толщиной пограничного			слоя	и величиной	пуль
саций	скорости. Действительно,			поскольку инерционные
члены уравнения (2-9) порядка				pw2x,	а дополнительные?
слагаемые —pw'2 x /8, то при одинаковом порядке						инер
ционных и дополнительных			слагаемых		получаем:
	:-2	' 2		„	' 2
		• '"Nj р	или		_ 0

Выражение ]/~w 2jwx называют степенью турбулент ности и обозначают через е:

v 4

Таким образом, толщина турбулентного пограничного слоя порядка квадрата степени турбулентности:

Легко	убедиться, что			уравнения			энергии		д л я	турбу
лентного	пограничного		слоя примут				следующий			вид:
						х	дх	1
		дТ				1 — т		di	I
		ди
		fdwx		у	•	(дш'х\*				(2-10)
		\ду				)~*~\ду)				(2-10)
		\ду				)~*~\ду)
	+	1 дТ				TZZT		д'о
		I	ду	)	^{ду	)	+

Последнее уравнение записано без учета возможных пульсаций коэффициента вязкости.

2-3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КАРМАНА

Уравнения пограничного слоя П р а н д т л я существенно проще исходных уравнений движения и позволяют ре шить ряд частных задач с простыми граничными усло виями. Однако в общем случае решение задачи остается очень сложным с вычислительной стороны.

Следующий решающий шаг в теории пограничного слоя сделан К а р м а н о м , предложившим интегральное со-

отношение д л я	пограничного слоя. Сущность предложе
ния К а р м а н а	заключается в отказе от точного удовле

творения дифференциальных уравнений движения и переходе к удовлетворению уравнений движения в сред

нем д л я	пограничного слоя и выполнению			граничных
условий на стенке и внешней границе слоя.
Д л я	вывода уравнения	К а р м а н а	выделим	в	потоке
(рис. 2-1) контур A CD FA,		границами	которого		с л у ж а т
	С	V

	Рис. 2-1. Контрольные сечения (к выводу
	интегрального			уравнения	Кармана).
участок	стенки	AF, длина		которого	равна dx, прямая CD,
п а р а л л е л ь н а я		стенке,	и	нормали	АС	и DF.	Р а з м е р /
выбран	таким	образом,	чтобы он		был	больше	толщины

пограничного слоя в выделенном участке: / > б г . Р а з м е р

в направлении,	перпендикулярном	плоскости	чертежа,
принят равным	единице. '
Применим к	выделенному объему	теорему	количеств

движения, согласно которой изменение количества дви

жения при переходе от одного сечения			к другому	равно
сумме всех внешних сил, приложенных			к потоку	между
этими сечениями.
Количество	движения	секундной	массы жидкости
в сечении АС в направлении		оси х равно:
	/ = Г рву2 du.
Изменение количества движения при переходе от се-
чения АС к EF	равно:
	г	'

К р о ме того, необходимо учесть, что в пограничный слой вносится количество движения из внешнего потока. Масса этой жидкости определяется как разность расхо дов в сечениях DF и СА:

г• i

dm =

m, — т.=

—>—

dx,

j" pWxdy

а количество

движения

• i

= wxmdtn

wxm

dx.

Разность

давлений

• p, = ^r-

дает

силу

dFv-.

klx.

Р а н ь ш е

было

установлено,

что производная

нормаль

ного

н а п р я ж е н и я

дах/дх

мала

сравнении

производ

ной касательного

н а п р я ж е н и я - дхху/ду.

Однако в

инте

гральном

уравнении

К а р м а н а

оба н а п р я ж е н и я

д а ю т

слагаемые

одного порядка,

что

будет

показано

ниже .

Поэтому необходимо т а к ж е

учесть силу,

вызванную до

бавочным

нормальным напряжением:

=• дх

axdy

dx=

•

дх

jpte/2 dy

- о

Id or(Pwx')cPdx.

Силы трения действуют только на поверхности AF, поскольку поверхность CD находится вне пограничного слоя:

	dFTp =		—xodx;
здесь	То — касательное	напряжение		на стенке (направ
ленное	против д в и ж е н и я ) .
Теорема количеств движения дл я установившегося
движения запишется так:
	dll = dl3 +	dFp	+ dFa -\-	dF.

или после подстановок
(	i
'чк~ j wldy - wxm	A - 1	Pwxdy	+
+ 0 ^ + ^ - K 2 ) =		- V	(2-12)

К а к было установлено ранее, давление в ламинарном пограничном слое молено принимать постоянным вдоль нормалей . Однако в турбулентном пограничном слое давление может значительно изменяться, что в ы н у ж д а е т под р подразумевать среднюю по нормали величину:

Pop = -у- J1 pdy.

Но согласно второму из уравнений (2-9) можно при нять:

и соответственно

Рср=Рт - —^pw'y2dy

= pm - ( р о / 2 ) с р .

Кроме того, вне пограничного слоя можно восполь зоваться уравнением Елрнулли, чтобы исключить давле ние рт-

		дх	Р т	т	дх
и							f
I дрт		,	dw,„			dw„,	f
I дрт		,	dw,„			dw„,	Г	,
							О
П о д с т а в л я я	полученные в ы р а ж е н и я в							(2-12),	полу
чаем интегральное		уравнение в виде
	d	i
	d
	dx \|	(pw2x — pwmwx)			dy	- j	-
	б	i
		i
1	dx	оj (pwx — p,„wm)				dy -
		оj (pwx — p,„wm)				dy -
=	~4x~	((pOCP -		(P«Ocp] I -				V	(2-13)

Поделив обе части

равенства

на

рт^т

и в в е д я в рас

чет толщину вытеснения 8* и толщину

потери

импульса

§**:

Pm»'m

ч_

J '

окончательно

получим:

_ J

J ^

(2 - I -

H -

NT)

5**

Ш„,

(IX

[

И р

( p O cp! - f ~ V

(2-14)

n w

(IX

•

n w

В этом уравнении

обозначено:

а — скорость

звука

<1?т

rfpm

dp„,

<М„

~ dPm

—

a 2

т Ш т

rfx

З а м е т и м т а к ж е , что вместо касательного н а п р я ж е ния на стенке обычно вводят в расчет коэффициент местного трения

Первое слагаемое правой части интегрального урав нения (2-14), учитывающее особенности турбулентного течения, впервые было найдено Д . Россом [Л. 42] (для течения несжимаемой жидкости) . У ж е отмечалось, что пульсации скорости w'x и w'y близки по абсолютной ве личине. Поэтому влияние этого слагаемого обычно не велико. Однако при приближении к точке отрыва по граничного слоя влияние этого слагаемого становится значительным и его .необходимо учитывать.

<<< < Предыдущая 1 23 / 283 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ