книги из ГПНТБ / Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория

струи и скорости

wm

по длине струи рассмотрена

ниже.

Расчет

скоростей

по ф о р м у л е

(4-76)

з а т р у д н я е т с я тем

обстоятельством,

что постоянная

с

(координата г\е) за­

ранее неизвестна.

Поэтому

з а д а ч у

приходится

решать

методом последовательных

приближений .

В первом

приближении

м о ж н о

принять,

что

безраз ­

мерная скорость

v m

не зависит

от

координаты

П с , если

г)е <?с1. Действительно, при условии т><С1 можно

принять

простые в ы р а ж е н и я

дл я I и т:

I ' =

- L « H - f

= x V =

0,36V;

7 с к 1 - ^ - V 2 .

П е р в а я

из

этих

ф о р м у л

очевидна;

она получается из

закона (3-14), если

принять т ) 2 ~ 0 и

ц3~0.

Вторая

формула

получается

из

общего

в ы р а ж е н и я

(4-74). При

малых

значениях

т]

третьим

слагаемым

в ф о р м у л е

(4-74)

м о ж н о пренебречь.

З а м е н я я ,

кроме

того,

Д а л е е исключим постоянную

с, использовав гранич­

ное условие дл я т)'=1.(т]=т1е)'г==0.

Тогда

При значении т|е порядка 0,1

вполне м о ж н о

принять

более .простой закон дл я т:

х~

1 —т)1 '2 .

(4-77)

Переход к последней ф о р м у л е сопровождается ошиб­

кой такого ж е порядка,

как и

вероятная погрешность

методики. Так, например,

если принять т | е = 0 , 1 , то макси ­

м а л ь н а я погрешность при о п р е д е л е н и и ! ^

составит

4%, а средняя — менее 2%.

лучаем

формулу,

у с т а н а в л и в а ю щ у ю

закон скоростей

в пристеночном пограничном

слое:

vm

— v = -

ln

1 + V\ — Y 8

-

у 2

•

(4-78)

Эта

ф о р м у л а

позволяет

найти

зависимость

между

числом

Рейнольдса

Re = oym 6/v

и безразмерной

скоро­

стью vm.

Согласно формуле

(4-78)

У т - У 0 . . = 4 " ( 1 П Х Г ~ 1

) = 5 ' 5 -

Повторяя выкладки, позволившие получить зависи­

мость (3-31), теперь

находим:

«.., = 5 , 7 5 I g - £ - - 0 , 3

н, следовательно,

y m

=

5,75 l g - £ ~ f 5,2.

(4-79)

По существу

ф о р м у л а

(4-79)

в ы р а ж а е т

закон

трения

при течении струи вдоль поверхности, поскольку

безраз ­

мерная

скорость

vm

однозначно

с в я з а н а

с

коэффициен­

том трения С/ .

Д л я

удобства

расчетов

на рис. 4-14

представлен вспо­

могательный

график

зависимости

коэффициента

с ш раз ­

ности скоростей ve—tii

от координаты ч\е.

Кроме

того, на

рис. (4-15)

и з о б р а ж е н а

графически

зависимость,

выра­

ж е н н а я

(4-79).

Методика

определения

скоростей

при известных вели­

чинах wm

и aii сводится

к

следующему .

Оценив

число Re = aym 6/v

(разумеется,

с последующим

уточнением),

по

рис. 4-15

находят

vm

и

вычисляют и( :

v t

=

(4-80)

З а т е м

по

разности

vm—vi

и рис. 4-14

находят

с и г\и

(напомним, что vm=ve).

З а к о н скоростей

находят

по за­

висимости

(4-76).

50

7

1

¥0

№

1

за

20

10,

Iffffe

/ 0,15 0.?.

ч

7

S

Я

Рис. 4-14. Вспомогательны!!

Рис. 4-15. Зависимость

максимальной

график для определения по­

безразмерной

скорости

vm

от

числа

стоянной с и

разности

ско­

Рейнольдса

для полузатопленной

ростей

0„—V\.

струи.

Поскольку

a>i = 0, ve—y1

= om =25; .по этому значению

и графику

рис. 4ч14 находим с = 140 и г)е =0,09.

Распределение скоростей в пристеночном пограничном слое на­

ходим с помощью формулы (4-78). Например, координате 11=0,045

соответствует:

,

71 _0,045

ц.

0,09

и согласно (4-78)

о = 25-

1

1 + V

1 — 0,5а

У 1 - О ,52

23,74;

0,35

0,5

v

23,74

• 0,95.

25

условие т = 0 на г р а н и ц е

пристеночного слоя не очевидно.

Р а н ь ш е

это условие было, следствием наличия

максиму ­

ма

скорости. А

теперь

м о ж н о

л и ш ь у т в е р ж д а т ь что

в точке

В (в которой з а к а н ч и в а е т с я начальный

участок

струи)

dw/dy=0

и тг=0. По - видимому, эти условия бу­

дут

сохраняться

еще на

некотором расстоянии

от точки

В вдоль границы

пристеночного

слоя.

го с л о я

начиная с точки В следует

рассматривать как

допущение, облегчающее решение задачи .

В целях удобства расчетов з а к о н

касательных напря­

жений

можно выразить отдельно д л я пристеночного по­

т , ' = 0 ;

т =

т „ ( 7 = 1 ) и

~Й~ = 0

(_ ЙГ = = °):

соответствует

такой

ж е закон

касательных напряжений,

как и дл я пограничного слоя

на стенке

при отсутстви.ч-

Av = v - v u = — V - i ^

s-d-f{

х

'In

~ Ы

+

+ ('+*•'. ) №

-

Т

<' +

2 ^ ) т ]

(4-81)

Соответственно

м а к с и м а л ь н а я

разность

скоростей

равна:

-

"... =

- г ( J n - o X -

1

-25)

= 4 , 9 .

Последняя

зависимость

позволяет

установить

связь

м е ж д у

vm и Re:

vm

=

5,75 l g - ^ - +

4,6.

(4-82)

Эта

зависимость

.представлена

в

виде

графика на

рис. 4-15. Сопоставляя зависимости

w m = wm (Re)

д л я

случаев

о)2>Ш1 и

а у 2 < ш ь

приведенные

на

рис. 4-15,

у б е ж д а е м с я , что р а в н ы м числам Re

при Wz<C.Wi

соответ­

ствует

несколько

меньшая

величина

vm

и,

следователь­

ентов скорости, и, как следствие, возрастание

касатель ­

ных напряжений .

З а к о н касательных напряжений

д л я всякого

погра­

ничного слоя

д о л ж е н быть

определен

с учетом

двух до­

полнительных

условий:

на

внешней

границе слоя

(для

У —6) и т = 0

и

дх/ду — 0.

Ц р о с т е й ш а я

функция,

удовлет­

в о р я ю щ а я всем

шести граничным

условиям, записывает ­

ся так:

7 = ( l - V ) ' [ l - ( ^ ) , ] e .

(4-83)

Принятой зависимости

соответствует закон скоростей:

3

О - Ч * )

А ° =

V

~

V » = J

0,36, - О , W

+ 0-125,'

•

( 4 " 8 4 )

О т н о ш е н и е

с к о р о с т е й

wjwz

зависит

от

ширш-

ны струи или, точнее говоря, от отношения в/во.

Зависи -

мость м е ж д у wjw2

и

в/в0 устанавливается с помощью

теоремы количеств

д в

и ж е н и я .

толщина пристеночного

пограничного

слоя

полагается

равной нулю.

в сечениях В-Е

0-Ох равны:

Количества д в и ж е н и я

и

Количество

д в и ж е н и я ,

отданное пристеночному

по­

граничному слою:

х

dx.

о

Количество

движения,

полученное от спутного

по ­

тока:

х

1.

в

[ wdt\

dx.

I n

1'.

1

1

^Wd-f\===^(Wi~\-Aw)dri==W„(\

— Tie) + да* " ' ~ " а Д .

dx я«

до2ср8

j

W(if]

о

=ь t 0 5

C p S

1с?2Ср — среднее

значение

скорости

w2

между

начальным

и рассматриваемым

сечениями.

После соответствующих подстановок и преобразова ­

ний получаем

уравнение:

В1

(до, — до,) (2до2 —до,)-f-

— ' ^ 2 ) "

w-i(ш1

— ^а) —

=

-Це К + (tW, - ДОП) Л3 ] (ДО, - ДОгср)

- f (1 -

Т(е) (ДО, -ДОг)ДОа,

(4-85)

позволяющее

найти

безразмерную

координату г ) е = б / в .

В уравнении (4-85)

обозначено:

В,

=

-

~ ; В,

л?

Множител и

В) и 5 2

однозначно

определяются

вели­

чиной т|е ; множитель

Л 3

зависит

только

от числа

Re =

и вычисляется в ы р а ж е н и е ~р w2(Wi—до2).

Д а л е е прини­

мается ря д значений г)е , вычисляются

соответствующие

величины Wz, В и В2

и А3. Полученные значения подстав­

ляются в уравнение

(4-85) и проверяется существование

равенство

(4-85)

удовлетворяется .

в вдоль

З а к о н

и з м е н е н и я ш и р и н ы

с т р у и

стенки находится

с помощью

интегрального

уравнения

К а р м а н а ,

записанного дл я всего .пограничного

слоя. Рас ­

чет оказывается

весьма громоздким и выполняется гра­

фоаналитическим

методом.

Предварительно

д о л ж н ы

быть установлены зависимости r\e=fi(e/eo)

и

w2—f2(eleo)

и вычислены толщины вытеснения i6* и потери

импульса

б**.

4-9. ПЛОСКИЙ СЛЕД ЗА ТЕЛОМ

З а д а ч а о плоском следе за телом

принципиально ни­

чем

не отличается от з а д а ч и

о

струе

в «путном потоке.

Поэтому закон

скоростей

по - прежнему в ы р а ж а е т с я фор­

мулой (4-29):

=

= 1 - А \ | А Г , 1 - 7 1 ' , rf-q:

ш , — w2

J

о

' — (в'в~) V

e^je

Отличие

заключается

лишь

в том, что

отношение

дл я следа

оказывается

существенно больше, чем

д л я

струй.

Поверочные

р а с ч е т ы позволяют

заключить,

что дл я следа

за телом в„I'в = 2,2.

Увеличение ширины зоны пульсаций в следе за телом

по

сравнению

со струей

легко

объясняется

физически.

зован, и поэтому

у ж е вблизи тела область

пульсаций

оказывается значительно больше следа. Д а л ь н е й ш е е на­

растание

ширины

области пульсаций

и следа

происхо­

дит таким

образом, что их отношение

остается постоян­

ным.

Изменение отношения б „ / е почти

не сказывается на

закон изменения ширины следа

вдоль оси.

Aw,

З н а ч е н и я безразмерных избыточных

скоростей

подсчитанные по ф о р м у л е

(4-29) д л я в^/в = 2,2,

состав­

ляют:

7] . . О 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

АШ . 1 0,995 0,863 0,746 0.624 0,475 0,338 0,210 0,107 0,03

0

С о п о с т а в л яя

эти д а н н ы е

с д а н н ы м и расчета

по фор­

муле (4-26)

дл я Л =2,27,

у б е ж д а е м с я , что распределение

относительного провала скорости в следе почти

не отли­

чается от распределения

скоростей в струях

со

спутным

потоком.

А дл я следа несколько больше,

П о с т о я н н а я

чем дл я

струй: А«2,49

(вместо

2,27 дл я с т р у й ) .

Постоянная

Ci

д л я следа

существенно

больше, чем дл я струй: —0,244

(вместо —0,1).

Увеличение постоянной.Ci сказывается и иа

з а к о н а х

изменения

ширины

следа и п р о в а л а

скоростей

в

следе.

Формула

(4-34)

остается практически

без изменений:

_ в _ =

Айд 1 +0.74АЙ%„ _

Дгй +

0.74Д1Р2

1 -4- Lwm

_ _ 0,244Дгу2

(4-86)

* _ * 1 = =

* Z I * J -

=

_4,1X

Дсст

X

f

А " " - +

° - 7 4 Д 1 -

' + A

f »

rfA*m.

(4-87)

Н а

большом

удалении от обтекаемого тела можн о при­

нять

Л*й»то<с1,

что позволяет

получить

простую

зависи­

мость

м е ж д у

Д?7;т

и х ; а т а к ж е

м е ж д у е и х:

ЬлОт

^

1

;

(4-88)

1 /

- Л - + ^ ^ 0 , 4 8 8

г * £ — = |

/

" Л - + 0 , 4 8 8 ^ = ^ - .

(4-89)

Д л я

очень

больших

расстояний

м о ж н о пренебречь

первым с л а г а е м ы м под корнем и тогда

Дй?т

«

1,43

(4-90)

в ^

0,7 j / e , A w m i j e .

(4-91)

Произведение

Awmix

м о ж е т быть в ы р а ж е н о

через ко­

эффициент лобового сопротивления

обтекаемого

тела сх.

Сила

лобового сопротивления

тела

Г

1

1

1х—в ш 0 Д ш т J" Av>d-(\ - j - Д о £ j ДадА^Т1

или

—1

—1

I x =

[Да>т +

0,74ДШ^].