Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Одной из важных задач теории струй является определение границ струн. В классической теории эта задача решается на осно ве гипотезы Л. Прандтля, предложившего, что утолщение струи (скорость нарастания толщины пограничного слоя струи) пропорцио нально поперечной пульсационной скорости:

йв	•
щ-	- ш »•
Гипотеза Прандтля хорошо	подтверждается опытами .по иссле

дованию спутных потоков, однако противоречит опытам по исследо ванию встречных потоков.

Одной из особенностей предлагаемого «иже метода расчета струй является отказ от каких-либо дополнительных гипотез и решение за дачи на основе теории пограничного слоя (интегрального уравне ния Кармана). В связи с этим необходимо отметить, что интеграль ное уравнение Кармана находит применение при решении задачи о границах струи. В частности, можно отметить работу Л. Н. Ухановой [Л. 65], в которой решается задача о ширине следа в условиях градиентного потока.

Поскольку методы решения плоских и осеспмметричных задач одинаковы, в § 4-2—4-10 дается подробное изложение задач о плоско

параллельных течениях, а в § 4-11 и 4-<12 кратко рассматриваются особенности осеспмметричных течений.

4-2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ СТРУИ

О б щ и е законы сохранения, рассмотренные в главах первой и второй, применимы к расчету пограничного слоя струй. Однако при решении большинства зада ч о тече нии струй можно пренебречь влиянием молекулярного трения и молекулярной теплопроводности, что связано с отсутствием твердых границ. Кроме того, в большинст ве случаев течение можно рассматривать ка к изобариче ское.

Все это существенно упрощает соответствующие фор

мулы, в ы р а ж а ю щ и е законы сохранения.
П л о с к о п а р а л л е л ь н ы е	т е ч е н и я .	Уравнение
неразрывности сохраняет свой	вид:
* ь . + * * . _ ! < > .		( « )

Уравнения движени я в энергии заметно упрощаются:

dwx	,	dwx	,	dwx	I dp	, .
ГдП,	dP	,	dT •	dP ,	dP ,	dP
				dt		-г^-^Г-г^-ду--
						(4-6)

141

Н а и б о л е е простую форму эти уравнения принимаю! для изобарических течений:

dwx .		dwx	i	dwx	0	W
" I T	+	" * " 5 Г	+	~ду- =	° ;	W
-5r	+	w*-dir +	w	v - b T = 0 -		(4"8)

Последним двум уравнениям соответствуют следую щие уравнения пограничного слоя, записанные для осредненных величин (знаки осреднения опускаются) с от брасыванием м а л ы х слагаемых:

			dwx .	dwx		—;		г-			,.
		Wx~дх	+ ш»	~ #	=	- ш	* w	У'			(4"Э)
		* * - \| г + « у - ^ ==-•-- « У " 7 -									(4-Ю)
З а к о н ы		с о х р а н е н и я				к о л и ч е с т в а				д в и ж е
н и я и и з б ы т о ч н о г о т е п л о с о д е р ж а н и я .											Д л я
изобарических струн общее количество движения											сохра
няется неизменным для всех сечений							струи:
			f
			j раЛ// =		const						(4-H)
			о
(/ — площадь		сечения струи) .
Особенно		удобно применение уравнения (4-11)									в тех
случаях,	когда		профиль	скоростей			в	струе		универса
лен.
Д л я струй		без подвода		тепла		сохраняется избыточное
теплосодержание			струи:
			f
			[pay (Г — 7 , 1 )d/ = const,								(4-12)
Т — текущее		значение температуры,					а	Т-х	— температура
спутного	потока.
Применение интегральных					уравнений				(4-11)	и	(4-12)

в ряде случаев позволяет установить простую зависи

мость м е ж д у шириной струи и максимальной		скоростью
(на оси струи), а т а к ж е между	шириной струи	и	макси
мальной разностью температур	в сечениях струи		Тщ—7\,

142

4-3. ПЛОСКИЙ ИСТОЧНИК

Одним из наиболее изученных теоретических и экспе риментально является течение плоской струи в покоя щейся жидкости (затопленная струя) . Н а некотором уда лении от сопла заканчивается перестройка поля скоро стей и, начиная с этого сечения, поля скоростей во всех последующих сечениях подобны, а границы струи пря молинейны. Этот участок струи принято называть ос новным.

	В основном участке струя ведет себя			таким ж е обра
зом, как если бы она вытекала из бесконечно						узкой щели.
	Решение задачи о плоском источнике				принадлежит
Тол ми ну.
	Рассмотрим з а д а ч у о плоском источнике,					использовав
как	строгий, так и приближенный методы				расчета.
Рис.	4-1. К выводу		уравнений
движения в полярной системе
	координат.
	Р е ш е н и е	на	о с н о в е у р а в н е н и й	д в и ж е н и я. По
скольку границы		струп прямолинейны, у р а в н е н и я				д в и ж е н и я

удобно записать в полярных координатах. Для этой цели рассмот рим элементарную фигуру, ограниченную двумя лучами, составляю щими угол da, и двумя дугами окружности (рис. 4-1). В качестве координат выбраны расстояние до полюса s и угол а (полярные координаты).

Принимая размер в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, равным единице, примеи"м к выделенному элементу законы

сохранения.
Согласно закону	сохранения	массы
д	,	д	da = 0
-^г	(s dawrf) dr	(?dswa)	da = 0
или
	^ (РЯ».) + ST (P*a) =		°-	( 4 " 1 3 )

Теорему количеств движения запишем в лредполол<ении посто янства давления во всей области и отрицательного градиента ско рости (dwjda<0):

д	9	д	дт
"57	(Sfwr	da) ds + ^ - (psaiatt>,) da =	— ^ - dads

143

или								ih
	д	,			д
	ж м		+ m				= - ыг-		^14>
Путем простых преобразовании уравнение (4-14) может быть
приведено	(с использованием			уравнения			сохранения массы) к			виду
	sws	dws			dws		I	'dz	(4-15)
		-г— +		w„ ъ — =		- p		"a—•
		OS		a	dct			oa	v	'
Теперь	установим	з а к о н			и з м е н е		и и я с к о р о с т и н а			о с и
с т р у и wm	вдоль струн.		Для		этого	запишем условие			сохранения

общего количества движения струи, справедливого ввиду отсутствия внешних сил:

2	j" pis^sds = const.			(4-16)
Последнее выражение приближенное; предполагазтсл, что соз а=*=
=3^1 и wa sin a/ws <^ 1.
Принимая плотность	газа	постоянной,	переписав	зависимость
(4-16) в виде
2 ? 8 B L s a a	j	<*т] =	const;	(4-17)
	и
учитывая, что

'в что ввиду сохранения подобия скоростей интеграл постоянен для всех сечений, находим закон изменения скорости на оси струи:

const

№ , m = F T '		( 4 " 1 8 )
Соответственно скорость ws выразится формулой
m		(4-19)
		(4-19)
в которой ш— постоянная для данной	струи;	F(r\) — функция от
Ц = а/ав (подлежащая определению).
Независимость произведения ws V s	от s	(для несжимаемой

жидкости) позволяет предельно упростить уравнение движения. Действительно, в этом случае первое слагаемое в формуле (4-15) пропадает и, следовательно,

fwaw, = — х.

(4-20)

144

Закон изменения скорости wa будем искать в виде

а У s

где /(т|) —функция от т|.

Уравнение неразрывности (4-13) мость между функциями F(f\) и 1(ц):

П-П),

(4-21)

позволяет установить зависи

F(i)) =-^-V

ft)-

Таким образом, проекции скорости wa и ws выражаются сле дующим образом:

^=7=f(-i); ». = -7==-^-Г(ч).

(4-22)

Подставляя найденные выражения в уравнение (4-20), а также учитывая закон трения Прандтля, получаем дифференциальное уравнение, позволяющее найти функцию f(r\), а следовательно, и

закон скоростей:

			а!"		(-4) = -		V-fW		f М -	(4-23)
В этом		уравнении		обозначено:
Уравнение (4-23) должно решаться при следующих граничных
условиях:
1.	а = 0 ; ws=wsm.			Следовательно,
					If	Й)]ч =о =		- Н
2)	а =	0; а>а =	0;	[/(i))]4 B = 0 = 0;
5)	« =	«„,; ю , ^ 0 ;			[ / ' W k i ^ O .
Численное решение дифференциального уравнения (4-23) при
условии в^/в='\,5			дает		величину
					- , /	2	"1	й ~ .
и значения скоростей, приведенные в табл. 4-1.
Если принять,			что согласно				опытам		угловой	коэффициент луча,

на котором скорость равна половине максимальной, примерно равен

0,1, то при этом <xD — 0,185	и xi =0,17.
П р и б л и ж е н н о е	р е ш е н и е . Схема струи и основ

ные обозначения представлены на рис. 4-2.

10—106

145

					Т а б л и ц а		4-1
Значения	скоростей ws и waB		плоском	источнике для		в~/в=1,5
		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
		0,970	0,897	0,794	0,677	0,552
9	Ш		0,19G	0,281	0,354	0,410
^	а	0,1	0,19G	0,281	0,354	0,410
				Продолжение		табл.	4-1
		0,6	0,7	0,8	0,9	1
Warn		0,424	0,298	0,180	0,077	0
Warn
2	«»„	0,465	0,50!	0,525	0,538	0,541
а п	W.m	0,465	0,50!	0,525	0,538	0,541
а п	W.m
Поскольку		профиль скорости		симметричен		относи
тельно оси х,		справедлива	зависимость

*у = — (т) _ у .

Кроме того, на оси и на границах струн т = 0.

Рис. 4-2. Схема основного участка струи.

146

Соответственно

этим

условиям

выразим

зависимость

т =х(у)

виде

трехчлена:

ч =

-1Г=с1т1-\-са1('

— (с1-{-с3)ц'.

(4-24)

рсо2

Приняв, кроме того, на границе струи очевидное усло

вие дт/ду = 0, окончательно

получим:

т = с щ ( 1 — г , 2 ) 2

(4-25)

)

Постоянная

определена

ниже .

Р е ш а я

уравнение

(4-25)

совместно

формулой

П р а н д т л я

(3-5) и используя

закон

длины

пути

переме

шивания

(4-3),

получаем

закон

скоростей

виде

\ v ~ ,

I~Л.

*»•

(4-26)

Д л я

краткости

записи

(4-26)

обозначено:

(4-27,

Графическое интегрирование уравнения (4-26) позво ляет найти величину комплекса А: А— 2,27 и распреде ление скоростей:

т) . .	.	..0,1	0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
w/wz	.	. 0,960 0,873 0,763 0,637 0,503 0,367 0,237 0,120 0,033 0

В приближенном решении нет необходимости пола гать границы струи прямыми линиями; это следует из самого решения. Чтобы убедиться в этом, а т а к ж е чтобы установить связь между углом конусности струи и по стоянной xi , воспользуемся уравнением движения, запи сав его дл я параметров на оси струи:

Ю*

147

П р о и з в о д н ую

dwzldx

определим

с помощью

получен

ной ранее зависимости

(4-18)

(полагая

x=s):

~дх

2х~'

Переходя д а л е е к безразмерным величинам, полу

чаем:

дТ

__ _

дг\

,/i]=o

Т Г 1

Ф — угол между

границей

и осью струи

(рис. 4-2).

Поскольку, с

другой

стороны,

согласно

зависимости

(4-25)

4 =0

то

- ~ t & ' < P

и, следовательно,

Л=

^ 2

{ е '

Если принять

б _ / в = 1 , 5

tgcp^0,2

[при

этом отно

шение

( ^ - о 5 / - £ = 0 , 1 ] ,

то

найденному значению

Л =

2,27

соответствует xi^O.185.

Ранее, исходя

из

обеспечения у с л о в и я ( у ) - =

0 5

/ х =

0,1

было

получено

значение

y.i = 0,17.

Таким

образом,

при

одном

значении

x t

(например, x i = 0,18)

строгое

при

ближенные решения д а ю т достаточно близкие значения

угла	( а ) й = о 5 - Так,		например, д л я			xi=0,18 получаем:
согласно		строгому	решению		—=— =		0,112;
						(у)-_
согласно		приближенному		решению		— ш ~ 0	, 5 = 0,095.
Н а	рис. 4-3 приведено			сопоставление			скоростей	в пло
ской струе согласно строгому					и	приближенному		реше

ниям . П о оси абсцисс отложено, как это обычно принима ют, отношение ординаты у к ординате ус, соответствую щей точке, где скорость вдвое меньше максимальной .

w				\	s
w
						1
			— — —			-
				-•
			— —
	о						V
							Ла
-Z	-1,6	-1,2 -0,8	-0,4	0 0,4		0,8 1,2	1,6 Z,0
Рис. 4-3.		Распределение		скоростей		в плоской	затоп
			ленной струе.
О О О	— по	опытам	Рейхардта;			строгое	решение;
			приближенное		решение.

Хорошее совпадение скоростей показывает, что прибли женные методы расчета струй обеспечивают достаточную точность.

Т а м ж е на рис. 4-3 приведены опытные значения ско ростей, полученные Рейхардтом [Л. 61]. Рисунок 4-3 сви детельствует о хорошем согласии теории и эксперимента.

4-4. ПЛОСКАЯ СТРУЯ В СПУТНОМ ПОТОКЕ
Струя >в епутн'ом	потоке имеет криволинейные грани
цы, что затрудняет	применение строгого метода расчета.

Поэтому рассмотрим решение задачи о струе в спутном

потоке		приближенным • методом.
	Обозначим скорость в струе через ш, скорость спут-
ного		потока Wi и введем					в	расчет	избыточную		ско
рость		Aw:
				Aw = w—Wu			Awm	— w2—W\.
	Поскольку граничные условия д л я касательных на
пряжений			струи в спутном				потоке и		затопленной		струи
одинаковы,				то ф о р м у л а		(4-25)		остается		справедливой и
д л я	струи		в	спутном	потоке:
					Р Д ю т
	Легко		убедиться,		что	и	закон скоростей (4-26) так
ж е	остается			прежним, если			под w и		wm	подразумевать

149

избыточные скорости:

(4-29)

По - прежнему
Л = 1 ^ - Т Г ~ 2 - 2 7 ;	= - 0 . 0 9 5 ,

однако зависимость между коэффициентом ci и углом

расширения

струи

в ы р а ж а е т с я более сложным

образом .

Итак, ноля избыточных скоростей в основном участке

затопленной

струи

подобны.

Переходя

к о п р е д е л е н и ю

г р а н и ц

с т р у и ,

вос

пользуемся

уравнением

движения

dw,

другой

стороны,

д- \

_ (

)

A w ' " = с

р^''"

Следовательно,

( Д Ю т

)

= С 1

(4-30)

полученном

уравнении

две

неизвестных

величины

(Дгс'щ

и в)

и поэтому его необходимо дополнить

еще

одним

уравнением .

Второе уравнение получим из условия сохранения об щего количества движения потока. Выделим в потоке

контрольные		сечения	ab	и	ей и	приравняем количества
д в и ж е н и я	в	этих сечениях:
					в
		Kcd	=	2	}pw2dy.
					о
Количество движения				в	сечении аЪ складывается из
количества	д в и ж е н и я		собственно			струи
					в, •
		Каь,	=	2	f p2o>2 dy
					о

150

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ