книги из ГПНТБ / Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования

А = Л - * - < V к , ,

>

Л . к. = А к +• X

к с - Ь 1(

.

'

(,2 . 90 )

''Fge_ О.'— матрица,

обратная

//..,.

Физически реализуемый алгоритм дискретной фильтрации бу-

"дет отличаться от выражения

(2.90) лишь

верхним

пределом

сум­

мирования. Вместо п здесь будет к. Дисперсии

ошибок оценок

па­

раметров совпадают с диагональными элементами матрицы Q

'Рассмотрим задачу амплкгуднон демодуляции, когда

Функциональные

производные

имеют

вид

'/Зри

помехе т и п а ' б е л о г о ' ш у м а

получим

k

N0

J

'

ik-OT.

No

2 ke

- N v

* c '

-

^

• T„ -

Если ж е помеха

коррелированная, то оценка

величины Лу. зави­

с и т № з'НачеНИй

ла тех интервалах,

на

которых

П'р'й э1*Штиатрица

/ / 2

не диагональная

с

элементами

Я

= ( а г д - Г

'

(

coo t h

COS us0 t

d t

d<t.

(,2.46)

2

k t

'

•

Алгоритм

амплитудной

демодуляции

имеет

вид

выражения

. (2.90),

где

Функционал

(2.2)

имеет вид:

0 ч

Возвращаясь

к соотношениям (2.7), (2.8), найдем выражения

для функциональных

производных:

х \ А Ч з д { г ^ г ) - м ^ о * [ и в * + $ A \ { ) d i f ] ^ d S - d t

(.2.106)

t 't

0

*

A ( ^ l ( ) 5 L n [ u J + j

A U ) d E ]

d ? d j k .

(2.Ю7)

о

Положим для простоты,

чк1 аддпiинпын ш\м белый. При этом

вместо

cooiношений (2.10(>)

и (2.1ч7)

будем имен,

выражения:

^ , A № , i j t t ) } = ~ J

^ i m [ ^ J A \ x ) d x ) ^ ( c 3 ) -

0

t

,f

о

J sin [ щ в ? + j Л (X) d x ] d E

при t > * ,

.2 T

~~

j Sin [w o e + \ A I X ) d x ] dG"

п о и

Н

( [ T - » n a x ( t , * ) l d t d * .

В частности, если T=2T0

(fc,/=l,2)

и

о ц е н и в а ю т с я - з н а ч е н и я

частоты j \

, и A 2

на

подынтервалах,

то

матрица

Нг имеет в и д :

2

- И

3

г* о

Т 0

N .

2

3

Матрица

дисперсий

ошибок

будет

(.2. И

5)

1

г

Области

интегрирования

при

нахождений

изображены на

рис. 2.2. Величина

ц

является объемом

части

пирамиды,

пока-

• 'к

'43'

'

II

P l J i " .

'•' I. I ( . ' O M L ' T p i l ' l l Y K U H

till l"l'pMPl'l ПЦ11Я НСЛПЧ11НЫ

" j j f c f •

an.

ЛЛ1ШЧ1ТМЫ

ОПТИМАЛЬНОЙ о ц е н к и

ГАУССОВЫХ П Р О Ц Е С С О В

Л Tropinм оптимальной

оценки

гпуееонот процесса

получим,

цппиала

тт

г

г

о

0

Р а з л а г а я

второе слагаемое

п

рял (2.'>) и

оставляя с л а ш е м ы е

ло

квадратичного

включительно,

получим:

ГJ[[Т

^"^4

о

a

>

,

*" I "

A

K - { t . ^ A v , t ) ^ ^ [ A ^ - M - t ) ] d t d r -

где

функции

h . , { t ,Л.1Д)^ и

n . ^ t , t , X U ) , M t ) \ совпадаю: г пер­

выми двумя

функциональными

производными

фупкн.иоиала(2.2).

Введем,

как и

прежде,

функцию

и

обозначим

Группируя второе и третье слагаемые

и у р а п ш и п , . (2.118) и

используя

функцию L(l,x); определенную

уравнением

получим

два варианта измерителя:

т

т

О

Ci

[ A ^ J - ^ W l d e - ^ d t

(.2.120

^

л,

^2

icl*^}

+

W * V t , < 5 - ) [ % ) - A ^ ] d e - \ d r .

Если

разложение

(2.115) осуществляется

в окрестности

средне­

го значения процессов, то оба варианта алгоритмов

д а ю т

- 4

t

) + f

U t / O - k \ * , Ч * ) \

d ^

{глт

о

Имеется

и еще

одна

возможность

для получения

разновидности

алгоритма оценки процесса. Если

в т о р о е . с л а г а е м о е

выражения

(2.1.14) разлагать в точке максимально правдоподобного

значения,

полагая

X(i)

— Л (А) > то вместо

вы ра жени ft (2.120)

и

(2.121)

получим:

A 0:) = <Kt) + \ Lv t,*) dt ^ H фр)

[I (S) - 0 (tf)] dor.

_o

0

В поля функции

1 1

"^П",®*)

•пишем

соотношение

(2.124) u

нидс

Л U) ~ A (X)

v ^ X 4 tч

-

dt ,

0

A ( t ) - 4 t ) * ] N J t f , * ) [ A ( * ) - H O ] cl t -

Алгоритм (4.121)

н а з ы в а ю т следящим,

если

п о л о ж и т ь

> (г) =

-•A* (<'*-) • " а

(>eiioiU"

Же

алгоритма

(4,120)

п р о щ е

всего

построить

т с п а Ц н о П п Ь ш

HiMepK тел ь, п о л о ж и в

Д ^ • ! {П , , (Н-)

•

\ ^ ) { \ [ 0 ' , v . , l o ]

*'

т

,

+

о

Л.Ч10|)цтм

123)

Наиболее прост

1-го называют

неслодйШНМ,

псскольку нрпипя части HP зависит oi

предшествующих

оценок.

Алгоритмы

(2.12-1)

т а к ж е

пеелсд и том»

'ii.n.'i, указывающие,

что оп­

тимальна*,!

оценка

может

быть подучена

л и н е й н о й ,

фильтрацией

оценок • максимального

правдоподобия.

Д л я

оценки

точности' измерения

процесса вычислим

функцию

j M t , T 0 - < , [ A \ t ) - A ^ y L A \ - i ! V - A ^ > .

Ксли

положить

^(т.)

— -лч О .

то ич вь1раженпя

(2Л20)

непо-

средстьеппо

получим:

=

\ \ U ( . t , o - ) L az.pH

d a d j +

о о

т т

тт

e-J, (to

=

L U . t ) .

(2.12ч)

Такие ж е

потенциальные

возможности

имеет и

измеритель, постро

енный

на

основе aj

орнтма

(2.121).

Действительно,

т т

с о

т т .

D Q

Т

О Q

T

-

2 JJ

\\{J5,x)\f{K,*)

d e d x .

12.128)

Здесь

учтено,

что

Заметим, что из

уравнений (2.117)

и

( 2 . i H )

следует,

что

J U (Д,<0

H( . t, з-4)dLt-t J Lvt , * ) V f

\

* d t

= £ < 2 0 . V i . l i O )

• u

Умножая

это

равенство

на Yl (.<?,•()

и интегрируя

по о,

получим;

j J U ^ , t ) H C t , t J ) W ^ ^ ; d t d e T = Y ^ U )

- L ( . t , ) P

•

ч2ДМ)

о <з

Подставляя

соотношение

(2.13!)

в

выражение

(2.128), имеем

т т

j b ^ ^ ^ U ^ + S J ^ ^ ^ L ^ ^ ^ H ^ ^ d e d ^

+

.

0 0

HJ

о

равенства (2.131) получим интегральное уравнение

относитель­

н о

функции /. ( Л т ) :

т

J L(4 t,-c)a3-(,'r;^)d'r: + U( s t,Q) = ^ \Х,<3).

(2.<ЗЬ)

Рассмотрим неследяшип

измеритель, реализующий

алгоритм

(2.124). Учитывая, что

'

с

> 1 L

J

(2.140 1

(2.141) содержит быстрооецплллрующее слагаемое,

которое Прн

последующем

интегрировании

в выражении

(2.133)

дает резуль­

тат,

.близкий

к

нулю .

В

частности,

если

то вместо выражении (2. МО)

и (2,133) будем

И Меть

т

^

Такие же уримненпя характеризуют измеритель процесса

при фа-

зоной

демодуляции

(2.101),

Различие

измерителен^

обусловлено

л и uiii

характером

формирования

функции

"k4

{t, ^WTV 1

Рассмотрим случпй

частотной

демодуляции,

когда

елравеллн-

оо соотношение (2.109). Используя

алгоритм

типа

(2.121), по*

лучим::

+ f

L ( Д Л ) { Ц L*. A U

+ ™ (li

A \ t ) « * <Д)

) l

- 4<?)]dG'} clT ,

С2ЛЦ5)