Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1 I

Последнее

слагаемое

в формуле

(1.31 )• носит

название

(рунк

•цин неопределенности. Она обычно обозначается

через

где

Лис-tit,"^)

истинное значение обобщенного параметра, со

отвегствующее

фиксированной

реализации

y(t,"r).

вых

Рассмотрим

геперь два подпространства

У, и V a

М4

из

гауссо

случайных

векторов. Пусть

пространство i \

состоит

векто

ров

~у, характеризуемых

пулевым

средним

значением

корреля

ционной матрицей Л]. Положим

также, что векторы

из У а

.характе

ризуются средним значением

т .

корреляционной

матрицей

В работе [13| показано, что отношение гауссовых мер типа

будет конечным и в предельном случае контниуальпых пространен!, причем

Ы -*-<х> v Т Г

0 о к . о r

(.1.35)

а о

если
.Функционалы типа (1.34) используются				при	"решении	широкого
класса задач измерения параметров			флуктуирующих			с и г н а л о в ,
наблюдаемых па фоне белого гауссового				шума.	При этом часто"
оказывается, что	от	параметра X0(t,7)	зависит		корреляционная
функция
3 ряде случаев	(например, при оценке			энергетических		парамет
ров флуктуирующих		сигналов) это влечет		за собой зависимость от

параметра величины f .

При измерении случайных процессов для решения задач опти мизации могут быть использованы отношения вероятностных мер,

определенных как двумерные функционалы	плотности вероят
ности:
^ Ь ( Л , г ) а и , г ) )	-

as*?)

Функционал (1.37) представляет собой произведение двух функционалов отношении правдоподобия. Первый из них является

функционалом типа	(1.27). Конечность функционала отношения
правдоподобия	-

обуслов.'нпа тем		обстоятельством,			что нормирующий			множитель в
выражении	для	P { A t t , r ) }		совпадает		со	знаменателем		(1,38).
Конкретные задачи			синтеза	оптимальных			измерительных		сис
тем, приводимые		ниже,	используют		вероятностные			функционалы
отношения	правдоподобия (1.30),				(1.34), (1.37),' их частные ва
рианты, а	также	обобщения на случай				многомерного (многока
нального)	наблюдения.
При синтезе, измерительной				системы		с использованием соотно

шений теории статистических решений, приведенных а и. 1.2, и ве

роятностных функционалов (п. 1.3) не	делается	никаких допуще
ний относительно структуры системы,	оптимум	определяется в
классе всех возможных операторов.
		еч

Рассмо	трим	т а к ж е подход	к решению	задач, оптимизации изме
рительных	систем, опирающийся на методы стохастической ап-'
Гфоксимации,		развитый Я. 3.	Цыпкиным	(8,88,89].

М . С И Н Т Е З О Б У Ч А Ю Щ И Х С Я И А Д А П Т И Р У Ю Щ И Х С Я

ИЗ М Е Р И Т Е Л Ь Н Ы Х СИСТЕМ С ЧАСТИЧНО

ИЗ В Е С Т Н О Й СТРУКТУРОЙ


Вероятностные функционалы, определенные			в п. 1.3, для своего
построения	требуют большой априорной информации относитель
но плотностей распределения сигналов и помех. На				практике час
то встречаются ситуации, .чогда о сигналах и			помехах		имеются
весьма ограниченные		сведения. Например, могут быть			известны
ми корреляционные функции процессов k(t.~r) или помех					n(t,7),
нормальность которых		неочевидна. В этой ситуации		конструктив
ным оказывается подход к решению задачи синтеза				измерительной
системы, который опирается На допущение о частичной					опреде
ленности оператора обработки наблюдаемых колебании.					Предпо
лагается, что оператор		системы определен с точностью до вектора
с, который	и подлежит	определению в процессе	оптимизации. Кри

терий качества измерений определяется условным дисперсионным

функционалом вида
^ c ) = < { ^ 4 t , r ) - i [ - t , r , ^ t , r ) , - E ] \ 2 > ,•	0 . 3 9 )

где

J U A , Л £ Л . Ч

Усреднение в выражении (1.39) проводится

либо

в простран

стве параметров,

либо в пространстве

помех.

В отличие от классического подхода теории статистических ре

шений,

когда

минимизируется

функция

условного

риска,

здесь

функция потерь

(квадратичная)

непосредственно

зависит от

реа

лизации

принимаемых колебаний

y(tj)

благодаря

заданному

опе

ратору

Рёщение задачи синтеза

измерительной системы

обучением

с в о д и т с я ^ итерационному

нахождению

экстремума

случайного

функционала

(1.39), определенного на

векторном

пространстве

С £

Рассмотрим дл я иллюстрации данного подхода к оптимизации

систем

з а д а ч у

измерения процесса k(t)

при наблюдении

его в сме

си с шумом п(+)

при условии,

что известна функция

корреляции

помех.

Итак, принимаемое колебание имеет вид

< ^ t ) = A l t )

K C t ) ,

VM)

п р и ч е м '

<( t t ( > t ) ' ) = = 0 ;

< * 0 : У

гг( . Ь«0>

R K

W .

ЧЛ2)

качестве

оператора обработки

колебаний

можно

использо

вать

вариант,

реализуемый

многоканальной

системой

перемен

ным

усилением в

каждом

канале:

я.

где

«* |Г?

Вводя

векторные

функции

" k \ t ) - { k H d ) , . . . , k ^ \ ,

( u s )

запишем функционал

(1.39)

виде

оо

(1Л6)

Итерационный

процесс

поиска

экстремума

о п р е д е л я й с я ре

куррентным

соотношением

гяе jT(i).

—

матрица

коэффициентов

преобразования

градиента в

итерационном

процессе,

функционал

*J • определен

выраже

нием

(1.4G).

При

соблюдении

определенных

условий

[89], итерационный

процесс

сходится,

т.

с.

существует

предел

Структурная схема алгоритма		измерительной		системы	прнве
дена. на	рис. 1.3.
Аналогичная задача может быть решена			и для случая,		«огда
известна	корреляционная функция	процесса	b(t)	при неизвестных

статистических характеристиках помех. При нелинейном кодиробаиии процесса в регулярном с и г н а л е ' з а д а ч а сводится к пре-

дыдущей, если принимаемые колебания подвергнуть воздействию
оператора «, - < ^T LJ(_-(- j 1 . } так чтобы	•

Оператор 5 > ' { t , у ( \ ) \ ,			в частности,	отвечает идеальному		детек
тированию	сигнала.
	. _! KlaCiia top j				блок
	. _! KlaCiia top j				nun tpoou-
					nun tpoou-
					гнтй
		i	Uj/reipa -	или*
		i	Uj/reipa -	перемните
				перемните
\1аггегри -	1 rr г	I	C(i	1) ,	MlilfWVtlkiU
\1аггегри -	I \/ю\	I	C(i	1) ,
A					ГА**
				fijfOh
				такт
Pm.'. 1.3. Aarosnn л о б у к п о и и ik'n				jf.iMi-\|>inv.-iMifui CIICTI-JI-I
	с частично заданной структурой.
Процесс	обучения	системы заключается в - итерационной				мини

«Газации функционала (1.39) при использовании априорной инфор мации н вновь поступающих данных в виде реализации у(1). Если статистические характеристики помех (или процесса 1(1)) медленно

изменяются		(по сравнению с		быстродействием измерительной		спс- *
т е м ы ) , то, осуществляя измерение текущей					корреляционной	фуик-
тцтги,	можно	получить	систему	измерения с	обучением и адапта
цией.	Это позволяет		о ряде случаев синтезироьа'ть систему,			при

б л и ж а ю щ е й с я по своим качественным показателям к байесовому оптамальному варианту.

В рамках рассматриваемого подхода самостоятельный интерес тТ'р'едставляет задача поиска алгоритмов оптимального обучения, которая сводится к нахождению итерационной процедуры с наи большей скоростью сходимости.

Итерационная процедура м о ж ' т оказаться целесообразной при ^ах'ожденин экстремумов нелинейных вероятност*ных функциона лов, если они не допускают в достаточно широкой окрестности ис комой оценки %(f). квадратичной аппроксимации. Дальнейшее из ложение касается оптимизации измерительных систем высокой •точности, которые характеризуются высокими энергетическими превышениями сигнала над помехами. При таком допущении .квад ратичная аппроксимация вероятностных функционалов Позволяет

эффективно определить оптимальные алгоритмы обработки прини маемых колебании в измерительных системах, алгоритмы в т о р и т ной обработки информации в измерительных комплексах. Именно это направление н развивается в данной книге.

Г Л А В А 2

СТАТИСТИЧЕСКИЙ

СИНТЕЗ

ОПТИМАЛЬНЫХ

ИЗМЕРИТЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ

ПРОЦЕССОВ

2.1.

ПОСТАНОВКА

З А Д А Ч И С И Н Т Е З А СИСТЕМЫ

О Ц Е Н К И

Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В И М Е Т О Д Р Е Ш Е Н И Я

З а д а ч а 'синтеза

системы

измерения

непрерывного

процесса

м о

жет б ы т ь

сформулирована

следующим

образом. Пусть

н а отрезке

времени t t ( , 0 , T )

наблюдается колебание

М < Л ) - * ^ t

+ > i U ) .

U - П

где

—

сигнал

известной

формы,

содержащий

оцени

ваемый n a p a M c i p

функцию

k(t)\

—

аддитивный п и х т о в ы й шум с нулевым средним

значенном

и корреляционной функцией

Л(1,г).

Требуется

НО. П р и н я т о й

}К-!1 •иивнии ( 2 ! )

у К Н з а т ь

оценку

Х(1)

процесса

к(0

найти

еч« диеперсию

или

средчекийдратическую

ошибку. Г:сли рнкк-ип?лыш лренкчтл.

Я(П 1шг

никакой

априорной

информации,

го

ял и реикжня

.-ЗЙДДЧИ;

вудт

пользоваться

Функ

ционалом

отношении

правдоподобии

т т

В многоканальных системах часто в с т р е ч а е т с я с и т у а ц и я , когда наблюдается векторная с м е с ь

в которой все сигналы		являются		носителем информации		об одном
и том ж е процессе	Я(г). а		помехи в каналах могут		быть	взаимно
Коррелированными	так,	что	они	характеризуются	корреляционной
матрицей A (t, тО. Функционал (2.2) при этом имеет					вид
	.	т т

При наблюдении флуктуирующего сигнала		для	составления
функционала отношения	правдоподобия выбираются		вероятност
ные меры для процессов,	имеющих одинаковые	корреляционные

функции, но различные средние значения. Существенным прн этом является допущение нормальности распределений д л я аддитивны? шумов н мультипликативных флуктуации сигнала.

Что	касается измеряемого процесса		то	статистические ха
рактернстики его могут быть различными			Если	МО	— нормальный
случайный процесс со средним значением			v(t)	и	.чоррелянионной
функцией W(t, т ) , т о		в качестве функционала отношения правдопо
добия	целесообразно	выбрать отношение	мер

т т

о о

где величина

			т т
не зависит от параметра X(t),				а определяется принимаемой реали
зацией, формой сигнала и видом корреляционной функции									помехи.
Хотя	ниже обсуждаются,			главным	образом,	задачи			синтеза
системы	оценки		процесса прн	неизвестных сТаТнстическнх					характе
ристиках	его, а		т а к ж е задачи	синтеза	системы оценки			гауссового
процесса с использованием соотношений .(2.2), (2.3), (2.4)									и нх мо
дификаций,		рассматриваемые		приемы	могут быть	использованы_-и
в более общих случаях. От функционалов отношения							правдоподо
бия требуется нх днфференцируемость по
Метод решения задач оценки процессов сводится к							нахождению
$*\стремали		функционалов отношения			правдоподобия		н	оиределе-

L>7

нию ее простейших статистических характеристик .(среднего зна чения и корреляционной функции).

2.2. Р А З Л О Ж Е Н И Е		М А К Л О Р Е Н Л Ф У Н К Ц И О Н А Л О В
	О Т Н О Ш Е Н И Я П Р А В Д О П О Д О Б И Я
Пусть	— бесконечно дифференцируемый		функцио
нал D пространстве непрерывных функций. При этом он			допускает
в окрестности	«точки» \(t)	разложение

т т .

где k	, \ T _	K U \	и	k 2 { t ,	* ; Л1Д). - К * ^	_ „ в р в а я »
•торая	функциональные		производные,		вычисленные в	« т о ч к е Д ( / ) ,
о п р е д е л е н и е		соотношениями

		т	т
d V " '	~ 0	о	о

3 . 0 ( 0 — произвольная функция, принадлежащая пространству л -
Заметим, что соотношения			(2.7) и (2.8) определяют слабые

производные (производные Гзто) фун-кинопала, однако, если они

непрерывны	по \ ( ( )	в окрестности			«точки»	$<Л) , то имеет			место
сильная дифференцнруе.мость (по					Фреше), причем сильная			и	сда-
бая производные равны между				собой [Г>\|]. Поскольку			функционал
Т f Л сt) }	нелинеен относительно X(t),					то функциональный			про
изводные сами являются функционалами,						зависящими от		времени
И от принимаемой		реализации		y(t)-
В дальнейшем будем интересоваться лишь теми случаями,									когда
имеет место	квадратичная		аппроксимация			логарифма	функционала
отношения	правдоподобия. Г.сли, в частности, в качестве							«точки*
выбрать экстремаль функционала, т. е. фуц.чнию							A c t ) ,	при ко
торой	i>41")}	ж» cj ,	то	квадратичный отрезок ряда					(2.0)
запишется	в виде

2(1

Используя с(кпношения (2.2), (2.7) двух функциональных производных or ношения правдоподобия:

и (2 8), найдем явный	ни;,
JIOI арн\|\|>ма функционала	oi

_ _	i	i Л ( + ir-X	»— • »
		T
где производные or		сигнальной функции	по параметру имеют еле
дующий	см и с т :
	ds{t,Am\	d s j V ^ ^

" " " "

d l

A ^ - J U t l - ( 2 И 2 )

Обе функциональные производные представляют собой случайные

функции	времени,	поскольку		содержат	принимаемое колебание
uh).
З а м е т и м ,	что их средние		значения по ансамблю принимаемых реа
лизаций	равны:
	< S ( t f t : , ^ t ) , M - t ) , y i - t ) } >				=
	'	6.1	A	4 t , t )	dA
		6.1		4	dA
Очевидно	т а к ж е ,	что

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ