Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 252 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

\| . ы\ прос!ряпггп, упорядоченных н	соотнегетннп с априорно на
вест мои с I ру и '1 у рои взаимодействия	их элементов.

Элементом пространства Л измеряемых параметров является векторная функция %.(t,T), определенная в некоторой пространст


венно-временной области наблюдения							t ^Л0,Т ) ,7 t ft, }			,
состоящей из отрезка				времени	(О, Т) и		части	R реального		трех
мерного		пространства.		13 частных		случаях это		может	быть	нсктор-
• мая	или	скалярная случайная			величина,		векторный		либо	скаляр
ный	дискретный		нлн	непрерывный		процессы.		Статистические ха
ра-чтериешки элементов пространства							измеряемых		параметров,
как	правило, или		неизвестны,		или	известны частично			с точностью

j\o произвольных параметров распределения вероятностей. Иначе


гоиори,	статистические			характеристики элементов					пространства		Д
т а к ж е	п р и н а д л е ж а т		этому пространству.
Параметры		).(1,Т)	кодируются			в	радиотехнических			сигналах
^ t , 7 ,	" I ^ t . T ' O ^ S			» которые		перелаются но			каналам	связи.
Здесь	сигналы	подвергаются			неизбежному			воздействию		мульти
пликативных и аддитивных помех. Пространство									/ / аддптппных
помех	состоит	i n реализаций			7Г(7,7)		нормальных		стационарных		и
однородных случайных				полей, имеющих				энергетический		спектр,
который значительно			ппфе		пространственно-временного					спектра

сигнала (7Н]. Это условие позволяет, как правило, полагать адди тивный пространственно-временной фон Петым шумом с нулевым средним значением и корреляционной функцией

где	Ay, —	матрица	спекiра.тьпых нлошосп'н мощности составляю
щих	белых	шумов,	а символы	и (ч- ^	означают статистическое
усреднение		и транспонирование^		г.гкюра	(ма1рииы) соотистст-
нен.чо.			/

Мультипликативные помехи м (,t ,"г*) f. ТА ' представляют со бой значительную опасность для сиси-м, использующих когерент ные сигналы большой длительности, Такие помехи вызнаны слу

чайными изменениями	комплексного	коэффициента	передачи
тракта распространения радиоволн [Щ, стохастическим			механиз
мом отражения радиоволн от обьекцон		сложной формы	[10, 92].
многолучевостыо канала	связи \72\~u д р у т м н причинами.		В ряде

случаев такие помехи могут быть созданы и искусственно. В боль шинстве практически интересных случаев мультипликативные по мехи можно полагать гауссовыми процессами, полиостью опреде

ляемыми своими средними		значениями и корреляционными функ
циями.
Элементы	пространства	У принимаемых	колебаний	являются
суперпозицией	элементов пространств A,S,		И и М.	В частности
этому пространству принадлежит векторная			функция	следующего
Вида:

•301

где S [ t j T . ^ l t . O ]	'	-Uinroiia.-ii.tfaji ciaipmta				pu \. mpni.i \		cm
~		налог.;
		среднее	значение		му . и . пш . шм! i ннпы.ч
		помех, характеризующее уровень m-
		флуктуирующей		части		cm нала	и t i n	ia
		дсржку	!i капа.к1		сил.mi,
	-	ценгрнронанпые		комплексные			припесч • i
		с корреляционной			м.ч	i рнм.-м

о/А- +- 'с- ",t ^

причем, символ ( ' ) означает комплексное "сопряжение. Статистические характеристики процессои y(t,7) определяю п-я

соответствующими характеристиками элементов пространств ат днтпвпi.iх и мультпплпка! пнных помех, видом регулярного сигнала, способом кодирования и статистическими свойствами npoik-Vca Х(/,7).

Система обработки Л прежде всего осуществляет процесс при

нятия решения (в условиях полной	или частичной	неопределенно
стн) относительно процессои h(t,7).	В рамках такой	модели изме

рительный комплекс, по существу, является системой связи, систе мой передачи сообщений. Сообщениями в данном случае могут служить параметры движения того или иного объекта (дальность, скорость, ускорение), что имеет место в радиолокационных и ра дионавигационных' системах траекторных измерений, рельеф и по ляризационные характеристики сложной цели в системах радио видения и радиолокационного обзора земной поверхности, реали зации изменения йо времени значении единиц времени и частоты,

воспроизводимых метрологическими		службами, входящими			»	со
став - системы единою времени.
Класс измерительных задач значительно расширяется, если их
понимать ка« оценку	параметров	распределении	вероятностей			в
Функциональном пространстве принимаемых колебании.				В '	такой
трактовке е ш па.м.м	с гужи г принимаемое колебание,		а	измеряемы

ми параметрами — параметры континуальных распределении ве


роятностен, определенных		в	пространстве		У.	Это	позволяет	фор
мализовать решение ряда сугубо измерительных							задач, а или .-то:
•— задач статистической			аттестации	трасе		распространения		ра
диоволн	(радиоканалов),	т.	е. оценки	статистических характерис
тик аддитивных и быстрых			мультипликативных				помех, оценки
процессов	медленных чу.ТЫ ни тикат пнных				флуктуации;

I I

з а д ач сгятнстпчл'С/сон аттестации иысокостябильных мер час тоты (времени), т. (>. оценки флуктуациопных характеристик квазигармоиических колебаний, включая процессы систематических из

менений

частоты (фазы) и е т а т с т и ч е е к н е

характеристики

ампли-.

ТУДных,

фазовых,

амплитудно-фазовых

частотных

флуктуации;

— задач статистической

аттестации

прецизионной

аппаратуры

для измерения частотных и временных

интервалов,

т. е.

оценки

статистических

характеристик

аддитивных

и мультипликативных'

помех, присутствующих в каналах измерителей,

оценки

фазовой

или групповой з а д е р ж к и сигнала в ирнемо-мзмерителыюм

тракте.

Таким образом,

в статистическую

модель

измерительной

систе-

, мы

или

комплекса

следует

ввести

пространство

решений

о пара

метрах-сообщениях

$.(i,r),

а т а к ж е

пространство

решений

о ха

рактеристиках

помех в каналах

связи, в том числе

в каналах

прие-

мо-н.чмернтелыюй

аппаратуры .

Измерение

статистических характеристик

помех

и процессов

М ' . г ) " принципе позволяет оценивать реальные точностные .харак теристики той или иной системы н измерительного комплекса в целом. Пространство решений о качестве измерительного комплек са содержит статистические характеристики ошибок измерений па


раметров		распределении"		вероятности		обобщенного		сигнала
j K t "г)	V	пключпя	статистические		характеристики			процессов
Элементы		пространеть		решений .о	параметрах ~к((,Т),			о стати
стических	характеристиках			Помех в	радиоканалах,		о	качествен
ных показателях измерительного комплекса в целом							в_дальнейшем
обычно используются			для	формирования		сигналов U ( , t , " г ) U			,
необходимых		для управления процессом				передачи	сообщений		(в

информационных системах с управляющей обратной связью), дл я


коррекции вторичных эталонов, образцовых мер						частоты н			време.-':
ни	(в системе единого времени), для управления					движением			объек
тов	(в системах радиоуправления) .			Пространство				управляющих
сигналов		з а м ы к а е т	структурную схему,		придавая		измерительному
комплексу		активный, динамический		характер .
	Д л я реализации		процесса принятия		решений		в	системе	обра

ботки принимаемых колебаний необходимо наличие соответствую


щего	эталона .		Формирование		такого	эталона в		измерительных
комплексах высокой точности аадяется нетривиальной									процедурой.
Синтез		алгоритме»? оптимального эгалопирования,						реализуемых
эталонной системой Э , является					самостоятельной			задачей, тре -
оующг-й специально»о исследовании.
Следует отметить, что измерительный комплекс отличается от
измерительной системы большей					сложностью:		система		Л	ока tw-
иаете» распределенной п пространства отдельные								измерительные
системы		осуществляют лини»		обработку		радиотехнических гнгна-
.чо»\	т а л ь н е й ш а я		обработка	результатов		чтих	итмереннй			произво
дится	и	коордйиаииопио-пычнедителмюгч				центре, где и фпрмпру-

ются в конечном итоге элементы-пространств решении и простран ства управляющих сигналов.

1.2.ПОСТАНОВКА З А Д А Ч О П Т И М И З А Ц И И Р А Д И О Т Е Х Н И Ч Е С К И Х

И З М Е Р И Т Е Л Ь Н Ы Х ' С И С Т Е М И К О М П Л Е К С О В , ОБ1ЦМП М Е Т О Д ИХ Р Е Ш Е Н И Я

Рассмотрим обобщенную статистическую моде-ib		измеритель
Hoii системы (рис. 1.2).	состоящую m пространства	обобщенных
S.	Л

Рис.

\ 1. Омоощппыч

1.1 :i11к ги'11.чК.Г1

ми.и-лг.

II JЧ1. 1111 I11.11' • М I м; н- IIJ

сигналов

5о = У, пространства сообщенных

параметров Л. ^ Л . ,

си:

темы обработки А и пространства

решении

к0-

Элементами

про

странства

S0 с л у ж а т

случайные функции T/(t,T). Элемент ироогран

ства Л . 0 может быть случайной пли детерминированной

(но

неиз

вестной)

функцией

нреме-нного", пространственного

или • прос'тран-

, ственпо-времепного

аргумента.

ч а с т о с т и ,

детерминированными

будут

статистпческиел характерпс1 пки

помех

в радиоканалах

Эле

менты пространства

Л 0

суть

всегда

случайные

функции *$, 'Ч,гм*и\е

З а д а ч а оптимального

статистическою

измерения

сводится л

наилучшему (в смысле метрики

пространства

Л 0

Л ч

приближе

нию к истинному значению обобщенного параметра

h,(i,T) резуль

тата

преобразования

обобщенного

сигнала

оператором

А { ^) (Л , г ) \

Оптимальная

измерительная

система

нахо

дится

из

условия:

где символ	11-11 Л		* \ -	означает норму в функционал! ном прост
ранстве;	'	^ °	°
\ ^	'Л	> г	) ^	~" оператор оптимальной		измерительной
системы.	. *			'	•
Обычно	в качества			критерия оптимальности измерений исполь
зуется средний		риск 110] при квадратичной			функции,потерь

Учитывая детерминированность оператора				/1,	интегрирование
по пространству	л 0	можно заменить	интегрированием по			прост
ранству Sn. так	что	выражение среднего	риска	(1.4)	примет	вид:

, p ^ t , f ) | l o l t , r ) \ p ^ V t , f ) } d A 0 d f

0 . 5 )

выражен,in

(1.5)

фигурирует

м п р т р п ы н

функционал

плот

ности

вероятности

процесса

Ko('l.7)

и фуг'шнонал

правдоподобия

Оценка

^ в

^ . г )

" ^ o l ^ ^ i ^ " ^ ,

полеченная

минимизацией

среднего

риска

(1.5),

маЗШТГётТГн

банесовон.

Средний

риск

(Г.5)

можно

выразит ь_ через

функционал а посте-

риорнои

вероятности

P { I o ; i ; J !

? , > | Ц{Х, г

) )

и функционал плот

ности

вероятности

процесса

у(1,7):

А . ,

Необходимым и достаточным условием минимума

среднего

рис

ка является минимум

так

называемого

условною риска

М иним изац ия	функционала (1.7) относительно h,(t,	О ирино
дпт к известному	результату [10, 42\|,^соглаено которому	оптималь

ный алгоритм обработки колебаний у(г,г) совпадает с алгоритмом оценки условного математического ожидания . Иначе говоря

Из соотношения

следует, что если в окрестности выброса функционала правдопо добия априорное распределение можно полагать равномерным (в частности, при измерении детерминированных неизвестных парамет ров распределении), то оптимальная оценка совпадает с -центров тяжести'функционала отношения правдоподобия

Л т

- Л _

* Ш

? ) \ ^ ^

(МО)

? Ц 1 \ М

При

условии

симметрии

функционалов

(!.!>)

(1П>)

относи

т е л ы ю

центра тяжести оптимальная оценка совпадает с

«точкой/-

максимума

этих

функционалов.

Iiccrn обозначить

через ">.п(/,7)

б-юнку

параметра

но

мею.тл

максимума

апостерио|)ного

функционала,

а через

£>('/,~)

оцен

ки максимального правдоподобия, г- можно

записать

основные

уравнения

для

их

нахождения:

<3*ad P

f ^ t

t / r

^ U ^

= 0

t u t ) .

^ a a d P { c J ( . t , f ) | 5 0 U , ^ ) } = 0 . .

(1.12)

Эти уравнения дают лишь необходимое условие

экстремума соот

ветствующего фуи-чниопала.

При

проектировании

оптимальных

измерительных систем необходимо

т а к ж е

тщательное

изучение до

статочных условий существовании экстремума, иогко.тьку оно по-

Эиолит	y6c.nnt.oi в корректности за чачи				в целом	[t't\|.
Таким образом, для решения задач					Л.-пп не! ичеекого		е п п . е з з
оптимальных		и з м е р и к л ь п ы х	систем	(комплексов)		необходимо:.
учесть	конкретизировать функциональные				пространства $ 0		; - А 0 ,	Л . 0 ,
	апрнор	ппеетньч-	((.••"•>п они	пмгюи-я) uepovi nmci пые				ме
ры в	-лих м И1 >с ' па нет i'-а X"

— определить в пространстве So условные вероятностные функ

ционалы		(1.9)	или	(110);
— решить функциональные уравнения (1.11) или (1.12), убе
диться	в	выполнении достаточных			условий существования		экстре
мума	для	данных		функционалов;
- -	указать		непрерывные или дискретные			алгоритмы для реа
лизации о п т и м а л ь н о ю оператора					обработки	поступающей	инфор
мации	(элементов			пространства	Sn);
— оцепить			качество измерений,		соответствующее оптимально

му оператору, характеризуемое величиной среднего или условного риска.

1.9. Г А У С С О В Ы Е У С Л О В Н Ы Е В Е Р О Я Т Н О С Т Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы В З А Д А Ч А Х С И Н Т Е З А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х

ИЗ М Е Р И Т Е Л Ь Н Ы Х СИСТЕМ

Внастоящее время теория ьероятпостиой моры в функциональ

ных пространствах случайных процессов находится	еще в началь
ной стадии своего развития. Л и ш ь » конечномерных	(векторных)

пространствах случайных величин некоторых классов определены плотности вероятности для элементов этих пространств. В частно сти, в пространстве гауссогых величии плотность вероятности век

тора

у определяется

Известным

соотношением:

/ Г 1 [ t j

- ^ w ,

l b

C«.i3)

гае

in. * * £ ч ^

—

среднее значение

(математическое

ожидание)

вектора

//;

—

.корреляционная

матрица

вектора

у,

причем

—

обратная

матрица,

определяемая

уравнением

—

единичная

матрица;

—

размерность

векторного

пространства.

П у с т ь векторное

пространство

порождается

гауссовым

полем

n(t,

r)=n(t. х,

у,

нулевым средним значением и корреляцнон-'

ной

функцией

^ n . ^ ^ t g , " ^ , ^ ^ .'Рассмотрим

вектор,

СГн

характеризуется

корреляционной

матрицей

элементами

Обозначив элемент матрицы	через С,	р	за
пишем вместо-соотношения (1.13)	l J	^ ^ P S	'

Введем вспомогательную матрицу

где u t , дос , л у ,Л г	— шаг	дискретизации	области наблюдения
S2'^t t (.0,т)ЛЧ(?\	по осям /, х, у, г		соответственно. При
»том ( I . I ' I ) перепишется в		виде

Кроме toi'o, из определения обратной матрицы следует, что

		At US	ML
Выполняя	предельный	переход при ut—"0, U X - * Q , U IJ~-Q , ьг—Ъ,
N-*.во, вместо	(1.16) и	(1.17)	получим:

т т

i че

t'ii11

- о .

ы '

дх

- 0 .

ДО,

-' 0 ,

a 2

(l-c'0',1

ClooTiioineiilit

( 1.18)

• дскч

апалп i нчсскyio

j a i n u

ф у н к ц н о н а д : '

плотноеin

Mi'|><)!i i ноет и

гауссоногп

поля

n(t.f)

при

к ( t , r

)

=• U .

Нормирующий м и о ж и ю л ь и

U>)

iif.

J i i i i n i H I

o r

конкретной

реа

лизации вектора

it. '-Jта закономерность

coxpanvieicsi

пречедь

иом

случае

бесконечномерною

upoc i р а н е т а .

Однако нормирую

щий

множитель

при

переходе

пре.челу

о б р а щ а е и н

либо

пуль,

либо п бесконечное!к. В э ю м

можно убедиться

на п р о с т м

примере.

Рассмотрим

плотность

иероя H I O C I и

ne.viopa

гауссоных

ш-заииси-

Mbix

случайных

величии, порожденною

белым

полосе

частот

(0,1') шумом

сп

спектральной ii.Toi иоегыо

мощноеI п

Л',к

При

атом

[ d e t A - ( 2 F N 0 ) r t

где

N=<?FT

P'a-t-Aiejinocib

некюрн

//";

I - N • А.

-у

ч.тпчетыюсп,

ишернал а

наблюдения

причем

— ~ -

шаг

дискретизации

отрезка

{(>./')

( Г

11сноль.|\я

eooi ношения

|1'21).

получим

iKHM

образом,

где

C u n ( . AlrFNo - )

( I ? / , )

Из иослечнего

соогиоин пня

г .те.чует;

что

при

4-ft FN

—

а а ? П

t ^

при

V t t F N Q

< 1 .

1;с,тн рассмотрен,

подпространства

векторов

одинаковой

кор

реляционной

матрицей,

но

различными

средними

значениями

Содпо из которых М 0 4 К И . О положить рапным пулю), то отношение пероятпосIпых мер оеташ-тся конечным п п предельном с.т\чае.

,18

Допстпичсльно iii/iio.'ii,)\я соотношения (I КО. помучим при фиксп рованпоп величине m.

	1
				m ,	т
i пк 'iго
Г	т г
						11.87)'
При фиксированной реаличацин //(/J соотношение					(1.27) явля
ется функционалом	относительно	my (,f>	и	называется		функцио
налом отношения	правдоподобия
Функционалы типа (1.27) находит широкие применение в ча-
дачах синтеза измерительных систем, когда				наблюдаемся		регуляр
ные сигналы на фоне i ауссопыч		помех. Так,		если

то при		с к а , р	- о .
				(.(.29-)
При	ч г о м	ф \ i l K m i o i K K i	о н ю н п п п н п р а в д о п о д о б и я	П р и м е т в и д ,
aiia/ioi	II ч 111tiii	(\'J7)	г т

~~ Л и н е й н ы м о г п о с п т е ч Ь П о	tilt,?) ф у п к и п о П а л ' p H n d { y ( t ! F ) U r t i F ) \
п р е д с т а в л я е т с о б о й с л \ ч а Г т \ 1 о в е л и ч и н у , д л и к о т о р о й
t T	-1
0 0 R Щ. т т
0 0RR	И)

<<< < Предыдущая 12 / 252 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ