книги из ГПНТБ / Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования

ма имеем

теперь

уравнение

Вольтерра.

на^-ос.) по­

Заменяя

нижний

предел

в соотношении (5.19)

ручим

М

* * —

<•"»

При этом функция

Q ^ i o - ) , как и

Нд'ца)

имеет полюсы только в

верхней

полуплоскости ш.

Таким

образом,

соотношения (5.20), (5.17), (5.15),. (5.12)

дают

решение

задачи синтеза

физически реализуемой системы

оценки

процесса

при т — =-э :

г

-

Т

п

'•

Оценка

процесса

k(t)

характеризуется

дисперсией

коррелиро­

ванной

составляющей

^ »

—

j

— = ~

t i m .

\о

5 —

V.J*C^

AW

Нг 0

\\\

.

Г / \ a t - t ) = K V 4 i - t ) + r 4 , . - B ^ - t \ i * * ;

Рассмотрим некоторые

частные случаи.

6.8. ОПТИМАЛЬНЫЕ

АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ ПРОЦЕССА

Д Л Я НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЕВ КОНКРЕТИЗАЦИИ

КОРРЕЛЯЦИОННЫХ

ФУНКЦИИ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ

SKI**,-

- ^

"

°

(

•

п.

- г

.

И

в-.'

kz.\

k

(5.33)

•При

^ -

- • • • = <з\г =

<r

имеем

среднее

арифметическое;

.

S e t - * } •

CS.'lO

h.

Д л я

коэффициента эффективности в случае (5.31) имеем вы­

ражение

Пусть теперь коррелированная составляющая

шумов

представ­

л я е т

собой n-мерный стационарный процесс с

полной

.корреля­

цией,

когда

К СО) =

-

(5.56)

•

V

^

"

г- 2

Используя

соотношения (5.12) и

(5.13),

получим

г

где

(5.Ь8)

к,е=ч

w.e

. Функция Н\Ц—т), необходимая

при решении

уравнения (5.19).

имеет следующее изображение

по

Фурье:

Н1 t i w ) =

2 < С 0

£

С1+ a") ( a *

j c o f 0

)

причем 1

кд,)Л=г *1

и

В соответствии

с

(5.20) получим

Не

С5.М)

Таким

образом,

2б

Если компоненты

процесса

n(t)

некоррелнрованы м е ж д у

cow

Сой и

.

'

то

ч5ЛЭ)

14 u»t,vт

1 ;

1.5 Л V)

Прй~этом

Ко

Рассмотрим также случай,

когда "v/О —

многомерный

вине-

ровский

процесс

первого порядки

с-полной

корреляцией

-4

d = S

К

> Г а Т к / ( о •

15.50

мощности, то при

К

= ~=— §

получим

Величина Я?,

зависи . от времени, поскольку

дисперсия

вине-

ровского процесс? первого порядка, определяющая

погрешность

оценки процесса

при

единственной реализации,

равна

В • t.

В рассмотренных

з а д а ч а х при групповой оценке процесса

основ­

реализаций . Л и н е й н а я . фильтрация

учитывает

корреляционные,

свойства помете. Представляет интерес

обсудить

вопросы, связан ­

Л о г а р и ф м

функции правдоподобия векторного

параметра

^ +

• • • •> л w "\ ' при наблюдении аддитивной смеси

(5,0 имеет

вид

J

1

0

"l

I,к.енPH

6

т т

rt

X = ф " 1

• V .

1.5.58)

В простейшем случае, когда

допустимо полагать

>,(Д)v x „ струк­

тура обработки

определится

соотношением"

\ \

£' к

U , t ) 1 W d t d t

Т Т

п-

15.S9)

0

Дисперсия

оценки

среднегоравна

ч

J t 4

« H ^ d t

-г

«

^ о = - " 1 - ^

Г 5 — ^

J

\

- Т

S N ;

^

у ' 1

• цен

*

I

1 (

г

<*f * -

И ^;; Ct,Tr)dt cjt

(5Л5)

-J

i t

u .

Эффективность групповой

обработки

при этом характеризуется

выражением

.

„

•

т т

•

\

~

JJ £ . Л ( t ^ d t d t

($.6Ь)

а 0

у

н

, ц

3 j

П \ - . 4 t , x ) d i d r

:B

простейшем

частном

V o

iJ

(5.63) Я з " * 1 •

случае

процесса. Ис­

Рассмотрим

теперь

задачу оценки нормального

пользуя выражения

(2.4) и (5.1), запишем слагаемые

логарифма

функционала отношения правдоподобия,

зависящие от

\(t):

тт

т т

- ; ^ ( . r ) ] d t d t - \ \ \ - b t & f t

*&)\ ^

d't .

0 0

Структура алгоритма оптимальной оценки процесса

определит­

ся

выражением

,

= j № ^ ) d t

+ 5

X

„ (t/t) u (*) dt

,

(5.68)

• о

-

o

.w,««V

< C

C

• H < A , * v i i ' ^ c H t - * ) .

w >

При этом соотношения

(2J32) и (2.133) примут следующий

вид:

^ ^ • O - ' ^ N U t t o

•,

^

t5.1V)

т

2 • J u (Л (&Л (5,®) d? + L (,i,<*) - V СЛ.»),

( д а

где"

*

'

Л

При

единственной

реализации

У ..It)- W

+ П . Д Ц , -

(5Л7)

«огда

< a , <Д) п. д*)

> -

\ .

8. U

- О

,

CS.7&)

ошибка

оценки нормального

tfpeaecca равна

a

t

<*.(Д) - V C t Л " ) " \ ^ , ^ Ж ^ Л )

d < c

>

^.79)

0

_

_ -

' Де

^3- ( . t . ' t ' )

является

решением

уравнения

J U C t , ^ 4 ^ O d ^ + V n M i l . t » = M U , f ) ,

15.80)

деляется

соотношением

г Э

1 Д 1 Д )

П о л о ж и м

Д Л Я

примера,

что

—

вннеровский

процесс пер­

вого

порядка

с корреляционной функцией

Ж * Л ) - В • m i n C . t . ' c )

Д Ш )

Интересуясь

стационарным

решением уравнения (5.75),

найдем

частотную

характеристику

оптимального

фильтра

•

Т.1К

Ч Т О

И

случае

фильтрации К(() по

единственной реализации

ч.(Л)

. л ь .

о

^

имеем

Исполь.«уя урапнения (5.81) и (5.85),

получим

11с л и

то

J

1-1

N t

Ut-'l)

При

Y: = 4

= const

имеем

q

= >Га .

45.88)

d t

где f f f )

—

некоторая непрерывная

функцн

m(t)

—

6елы»и шум, д л я . которого

CS.90)

Уравнение

(5.89)

определяет диффузионный

марковский про

цесс; если_к_тому ж е белый шум — гауссовып,

то процесс

будет

нормальным

и м а р к о в с к и м .

Д л я вннёровского

процесса

первого

порядка

с корреляционной

пункцией

вида (5.82)

уравнение

(5.89)

выглядит

наиболее

просто;

1 \ Ъ

= { W , 0 , . . - , o \ •

1542)

Запишем для него дифференциально - матричное

уравнение

d t

В данном примере (5.91)

f C t ) - 0 , < i r \ C t ) f r \ ' f ^ O > = Q C - t ) S ( > t - ' c ) - B l - § ( , t - t ) ,

где / — матрица, и м е ю щ а я

элементами

нули,

за исключением

единицы в левом диагональном углу.

Ансамбль н а б л ю д а е м ы х

реализаций

в соответствии с уравне ­

нием (5.92) перепишем в виде

№ = * H . =

1»

о , . • • , о

* , о ,

- •

(,5.96)

* n(t)

— белый шум.

о

Используя интегральное

уравнение

Винера — Хопфа, вид фи­

зически

реализуемого

оператора

фильтрации, а т а к ж е уравнение