книги из ГПНТБ / Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования

0 0

0

поскольку

в

данном

случае

*

^ч.М9)

Первое

слагаемое

в

выражении

(4.119)

характеризует

потен­

циальную

точность измерения

времени

прихода

сигнала

при

ис­

пользовании фазы заполнения. Второе

слагаемое

указывает

на

точность оценки

т 0 по огибающей импульса

при

отсутствии

мульти­

пликативных

помех

( & = 0 ) .

Последнее

слагаемое

свидетельствует

о возможности

оценки

то при

н о = 0

с ошибкой,

дисперсия

которой

•равна

Алгоритм оптимального измерителя времени прихода

сигнала

определяется

соотношением

^ ( A ) U t - O d t *

т

т

5

т

г.

У1.1241

Если /Ч-о"Т"0,то в качестве квазиоптимального варианта

нсполь-1

зуют линейное

устройство

вида

т

'

—

. о

При этом дисперсия оценки То будет

Рассмотрим теперь" импульсные сигналы с большой

базой, в

частности, с использованием линейной и квадратичной

частотной

модуляции. Пусть

ч2-

причем

г

TV. J

Полагая

для

простоты,

что uo = 0,

получим

<3"

tn* Wf р>Т

Где

т . = ^

if

t u

—

коэффициент сжатия

импульса, зави­

сящий от скорости ^

изменения

частоты.

Сравнивая

со

случаем

отсутствия

частотной

модуляции при

одной

и той ж е величине <с а находим,

что

г

г

^ в

_

(.4.(26)

а «г!

<s-2

at

При

т .

i

имеем

J—

& ] „ { ± ~ х Л1

W 9 =

Т а ^

ггт «

2 ft

(AIM)

Аналогично предыдущему

получим соотношение для дисперсии

опенки

нремеии

прихода

такого сигнала:

а.

f 4

Чг

^ \ \ ^ 2 Л г - п г 5 )

При

имеем

v

г

( A M )

4.8. О П Т И М А Л Ь Н Ы Й О Ц Е Н К И СТАТИСТИЧЕСКИХ

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К ,

С Л У Ч А Й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В ПРИ Н А Л И Ч И И ПОМЕХ

Вопросы опенки статистических характеристик случайных про­

цессов

широко обсуждаются в литературе на

протяжении послед­

них лет,

однако

' р •> "ЛЦП 'Л1'Лй_М -ПО и <• гле а о и.ч и и ft ДО£П_Я_п i PI i о

ОПТИ-

Minaiiit

a n

мри

i мини,! чо/к.й-ния I ; I K I I \ O I K U I O K

при наличии

помех.

Рассмотрим вначале простейший случай оценки дисперсии пор

мальиой

с.т\чанной величины X, наблюдаемой на

фоне

аддитивного

б е т о ю

шума:

u i t )

-

Л Ь * Л * 0

V

. U ( , 0 , T )

,

1.4.«5")

лрмчем.

< Д > - < * т Л ^ > - < у - ^ > - о ;

Д л я

использования

метода

максимального

правдоподобия

за­

пишем

корреляционную функцию

процесса y(l)

н- ей

обратную

СЧ.437)

А 3\

о

2 < э \ Т

1

^

'

^

м г Л ^ 0

Дли

нахождения

структуры

оптимального,

измерителя

занн-

»м«>м уравнение

правдоподобия

т т

122

«5 0

N

Подставляя""в соотношение (4.138) выражения

(4.137), полу

ним явный вид. нско.юн

оценки:

т

(.4.119)

Д л я условной

дисперсии

этой

оценки

найдем

выражение

2 (Г

п р и

k. > > L ;

2 Т а

~ 1

с-'

при

\-

2 Т ;

Таким образом, при к Л

i

оценка дисперсии' несостоятельна

Состоятельную

оценку можно

получить,

рассматривая

ансамбль

независимых реальзаннй

(4 135). В

этом

случае

будем

иметь

I

2

N

О

l-t

г г

2 » ,

А

2N

-Т'

к,

<^ I .

2 N Т"

<Л.1ч2)

Рассмотрим

теперь

более

сложную

задачу .

При наблюдении

реализации

^ )

-ИЛ")

* п Л Л }

оценим величину дисперсии стационарного процесса K(t),

корреля ­

ционная функция

которого

имеет

вид

г

е

- M t - t l

<AM)

&> (Л,тп = <

^

Оптимальный

измеритель

формирует

функцию

т

т

e

* t " 8 ^ ; d . i i i j )

0 ?

liiuir|'icn:i

имоиной

оценки параметра

б* ^

равна"

5 - a _ ^ H ^ U ^ b k ) $

2T

яри

к

L •

САМ)

at

при

к

- L .

Здесь

имеет

место состоятельность

оценки,

поскольку

боль­

шая '

v s. ^ реализация

наблюдаемой

смеси

эквивалентна

нали­

этом

параметра

р\ а также величины

к - — — • При

.ходится оценка

•г

^

г

lb JV

к г

т

ж

при к «А-1 ;

т>Гк"

•при

к ъ. > J, .

Аналогично

выражению

{$.45) найдем, что

три

к <-с I -t

при

к ^ >^ 1

2Na

Jb4k

'1;г'11м

обра зим,

при совместной

оценке

«арамеч-ром

\> г и j

матрица

Фишера

имеет

вид

Определитель ее равен нулю, что

указывает

на невозможность

совместной оценки параметров

Р н

<з-* при

k i > i . .

Приведенные соотношения

могут

быть использованы, если на­

ловии,

что

период

повторения

i выборочных

точек значительно

меньше

радиуса корреляции

х- • Структура

алгоритма обработ­

к и данних

при этом

имеет вид

N

~з. т.

а<з-:

Т * N ,

> Ц Т к

N

к 2 Т

Ц =>

—

;

ы - 1 .

Го — период

повторения

ныборочных данных.

Подставляя

выражение

(4.154)

в .4.153), получим уравнения

для нахождения

искомых оценок

<s5 и ft:

N

_

5.1. О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

О Ц Е Н К И П Р О Ц Е С С А

П Р И М Н О Г О К А Н А Л Ь Н О М Н А Б Л Ю Д Е Н И И

Пусть в многоканальной измерительной системе

наблюдается

векторный

процесс

у(Д)

= А.<Л) е

+ гТ(Л") .

«.О

где

—

измеряемый

процесс;

'

— вектор-столбец аддитивных шумов.

Аддитивные

шумы,

вообще

говоря, содержат

составляющие,

отличающиеся

корреляционными своЛствамн. Полагаем, что

net")

V + ^( . t)

(52^

C K M ) d ^ £

,в)у$A*)de

;

15.4)

При

T — - o o

.,j с л у ч г ; стационарного

процессе

л(7)

решение

(5.10)

будет

зависеть

от

разностного

аргумента, т а к

что

искомый

фильтр

с характеристикой

ACV^-t)

относится к классу

систем с

постоянными

параметрами .

Выполняя

замену переменных

t - т

--»ос ; i - <» - ^

и вновь

вво»

дя прежние

обозначения

для переменных

интегрирования,

пере­

пишем

уравнение

(5.7)

в

более

удобной

форме для

дальнейшего

ft работах

(95, 102] предложен ряд эффективных методов реше­

ния

матричных интегральных

уравнений

иа

полупрямой

с ядром,

зависящим

Ът

разностного

аргумента

и

нмеюшим

дробно-рацио­

нальный спектр. Наиболее

конструктивным, по-видимому, являет­

ся

метод

неопределенных

коэффициентов,

при котором

решение

уравнения

(5.11) находится

в спектральной

форме:

ч»<

к

м

(5.12)

Ст1

где

I -

—

нули d e t ^ T

+ -

«

-

i

в

верхней

плоскости

w;

Ь к

—

неопределенные "коэффициенты,

определяющиеся

из

Ч

системы алгебраических

уравнений'

°е

—

полюсы функции

xV.iW) в верхней полуплоскости ы;

0

—

матрица, состоящая из нулевых элементов;

—

преобразование

Фурье

корреляционной

матрицы

/С(т),

аппроксимированное

дробно-рациональной функцией.

В работе [16J показана возможность применения

данного мето­

да к з а д а ч а м , когда процесс ~n(t)

имеет

нестационарную

состав­

л я ю щ у ю

винеровского тина,

спектральная

матрица

которой

содер-

= О

1Л - п

где р — порядок .кратности полюса в нуле.

Обозначим

через

К,"1

элемент матрицы К 0

и запишем

функцию

0 \ i

а

к

-\

fcKt-*) -

£

( t - 1 ) =

\

^ t - t ) H ^ - 8 ) d t

= Sit-a") ,

.

15.(6)

J t

, T

будем искать

в виде

«>

н 0

и 0

Подстаиляя

уравнения

(5.15)

н

(5.17) в

соотношение

(5Л6)»

получим для искомой функции Qi(t—т)

интегральное уравнение

t

H O

C!

• * t - T

или !в предельном случае,

когда

T — *o .

^ o ^ Q , W H ^ ^ - l ? ) d t +

Q , U ) -

H , U V ,

t ^ Q . .

• C5.«;

Поскольку

H, ( Д - O - Q

при

t

«• t

то верхний

предел

в соотно­

шении (5.I9)

следует заменить

на

/.

Вместо

уравнения

Фредголь-