книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

Действительно, если в разложении (11) данного определителя (10) все элементы

что и утверждает сформулированная теорема.

Эти теоремы позволяют прийти к заключению, что свойства

Применяя последовательно, имеем

Такие определители называются диагональными определите­ лями. Следовательно, диагональный определитель равен произ­ ведению элементов, стоящих по его главной диагонали.

Таким образом, заданный определитель может быть легко вычислен, если его удастся преобразовать к диагональному опре­

делителю, либо добиться того, чтобы все элементы, кроме одного, какой-либо горизонтали или вертикали оказались равными нулю, так как непосредственное разложение по формуле (11) обычно связано с громоздкими вычислениями. Для этого прежде всего необходимо пользоваться свойствами определителей (§ 7).

Пример 1. Вычислить определитель пятого порядка

Р е ш е н и е . Замечаем, что в третьей вертикали два элемента равны нулю. Известно также, что определитель не изменится, если к элементам какой-либо горизонтали (вертикали) прибавить элементы другой горизонтали (вертикали), умноженные на про­ извольное одно и то же число (§ 7). На основании этого данный определитель можно заменить таким, у которого все элементы третьей вертикали, кроме последнего, будут нули. Для этого все элементы пятой горизонтали умножим на 3, а затем на —4 и при­ бавим соответственно к элементам второй, а затем четвертой горизонтали. Получим

так как элементы второй горизонтали имеют общий множитель 2, а элементы третьей горизонтали — множитель 3.

Складывая элементы первой горизонтали с элементами вто­ рой и третьей, а затем, вычитая удвоенную третью вертикаль из второй, получим

Р е ш е н и е . Последнюю горизонталь вычтем из всех преды­ дущих, полученный определитель будет диагональный, следова­ тельно,

а О О О

О ß О О

О 0 у О = °Фг-

1 1 1 1

Пример 3. Вычислить определитель п-го порядка

a b 0 . .. 0 0

0 a b . .0 0

0 0 0 .. . a b

b 0 0 . .0 a

Р е ш е н и е. Разлагая заданный определитель по элементам первой вертикали, имеем

=аап~1+ (— l)n+I bbn~x — ап + (— 1)n+lbn,

так как оба определителя, которые получили в результате ука­ занного разложения, являются диагональными.

Пример 4. Вычислить определитель

a b e d b a d e

с d a b d с b а

Р е ш е н и е . Замечаем, что числа а, Ь, с, d входят в каждую горизонталь и в каждую вертикаль, поэтому 'к первой вертикали прибавим все остальные. Имеем

а + b -\- с + d b с d а + b 4- с -f d a d с а 4- b 4- с 4- d d a b а 4- b 4- с 4- d с b а

Затем определитель вычисляем так: 1 b c d

0 a — b d — с c — d

0 d — a a — d b — c

0 c — d b — a a — b

a — b d — c c —d (a + b + c + d) d — a a — d b — c c — d b — a a —b

Пример 6. Вычислить определитель 1 а а2 а3

1 b Ь2 Ь3

D —

1 с с2 с3

1 d d2 d3

Р е ш е н и е. Данный определитель удобно преобразовать так, чтобы в первой вертикали все элементы, кроме одного, были нули. Для этого первую горизонталь будем вычитать из всех последующих и общий множитель из каждой горизонтали будем выносить за знак определителя.

О d — b (d— b)(a-\-c + d)

1 a + b + c = ( b - a ) ( c - a ) ( d - a ) ( c — b ) ( d - b ) 1 a + b + d

= {b — a)(c — a) (d — a)(c — b) (d — b) {d — c).

Рассмотренный определитель является частным случаем оп­ ределителя Вандермонда.

Пример 7. Вычислить определитель д-го порядка

Р е ш е н и е . Складывая первую горизонталь со всеми ос­ тальными, получим диагональный определитель

1 1 1 . . 1 1

0 1 2 . . 2 2

0 0 1 . . 2 2

0 0 0 . . 1 2

0 0 0 - . 0 1

Очевидно, что D n = Д,_і = ... = Da = 1. 3. Определитель

называется симметрическим, если элементы, занимающие сим­ метрическое положение относительно главной диагонали, равны между собой, т. е., если при всех возможных значениях индексов і и у имеет место равенство а1} = о,-,.

Например, симметрические определители второго и третьего порядков соответственно будут:

а X у

а с

0 . = с b = ab — с2, D3 X b г abc+2xyz — û22— Ьу%— схг.

уz с

4.Определитель, в котором при всех без исключения значе­ ниях индексов і и ; имеет место соотношение

аи = 0.

Таким образом, в косом симметрическом определителе все элементы, расположенные по главной диагонали, равны нулю; элементы же, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны по абсолютной величине, но имеют противо­ положные знаки.

Покажем, например, на примере определителя пятого поряд­ ка, что всякий косой симметрический определитель нечетного по­

—с — е — /

=— a( — cdf + bef — ар) 4 b (be2— cde — aef) —

—c( — adf - f bde — cd2) =

= a2p + b2e2+ c2d? 4 2acdf— 2abef — 2bcde =

= (a f — be 4- cdf.

Задачи

54.1 a bc