книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

Действительно, определитель D можно представить так:

D — ап (а22+ Ь2) Озз -+- й13а21 (а32-}- Ь3) + (аІ2 -Т b^) а23а31—

—сі13 (а22+ Ь2) а31— (а12-)- Ьг) а.21а33 — о-1ха~г3 (а32 + Ь3) =

Таким образом, свойство IV доказано.

Очевидно, что это свойство справедливо ие только для случая двух слагаемых, но его можно распространить на случай любого числа слагаемых. Например,

Этим свойством пользуемся также и в том случае, когда в определителе все элементы какой-либо горизонтали или верти­ кали будут числа комплексные. Например, для определителя третьего порядка имеем

С л е д с т в и е . Определитель D не меняет своего значения, если ко всем элементам какой-либо вертикали прибавить соответ­ ствующие элементы другой вертикали, умноженные на одно и то же число.

С1\у ^12 ^13

D = #21 #22 ^23

#зі #32 #зз

все элементы, например, второй вертикали умножим на некоторое число !г{кфО) и, прибавив к соответствующим элементам третьей вертикали, имеем определитель

Яц Яі2 ^13 ~Ь hciyt

Д = ^"21 ®22 ®23 "Ь ^'^22

«И ^32 ®33 + foCl§2

Полученный определитель А на основании свойства IV можно представить в виде суммы двух определителей, из которых один будет заданный определитель D, а другой D\.

Следовательно, A = D + D Uгде

CLyy Ûi2

А.— ^21 #22 ^#22 #31 ^32 ^#32

но определитель Ді = 0, так как у него элементы двух вертикалей второй и третьей соответственно пропорциональны.

Таким образом, образованный определитель Д равен задан­ ному определителю D.

Все эти свойства и следствия из них, рассмотренные для оп­ ределителей третьего порядка, распространяются также и на определители п-го порядка. Ими всегда пользуются при вычисле­ нии определителей.

Пример. Определить значение определителя

а а± ах -+- сцу

не развертывая его.

Р е ш е н и е . Прежде всего заданный определитель предста­ вим в виде суммы двух определителей, в каждом из которых общий множитель для элементов третьей вертикали вынесем

так как в полученных определителях элементы двух вертикалей соответственно равны.

Задачи

В задачах 44—46 доказать тождества, не развертывая определителей:

жет быть вынесем за знак определителя. Таким образом, имеем

На основании этого приходим к следующему правилу умно­ жения определителей второго порядка: для того, чтобы пере­ множить два определителя второго порядка .Ори Dz, необходимо все элементы первой, а затем второй горизонтали определителя Di умножить на соответствующие элементы вертикалей опреде­ лителя 0 2 и все эти произведения сложить. Полученный таким образом определитель О и будет произведением определителей Di и 0 2.

Пусть далее О будет определителем третьего порядка: 0 =

« 1і6 ц + «I262I+ «13631 «ц6і2 + «I2622+ «13632 ß11^13+ &ѵ Ф іЪ + «13633

« 2і 6ц ~Т~ «22621 + «236 31 «2і6і2+ «2г622+ «2з6з2 4'al6l3+ «22623+ «23633

«Зібц + й32021+ «33631 «31612+ «326224" «33632 «3l6l3+ (Хуф уь + 0:33633

На основании того же свойства IV (•§ 7) определитель D мож­ но представить в виде суммы 27 определителей третьего порядка, из которых 21 определитель будет равён нуЛю, так как в этих определителях имеются пропорциональные вертикали. Остаются следующие шесть определителей:

«ц б ц # 12^22 «13633

«ц б ц ^ 22^22 «23633 — 6110226з30 1,

«З іб ц ^ 32^22 «33633

Кроме того, видим, что умножение определителей третьего по­ рядка выполняется по тому же правилу, что и умножение опре­ делителей второго порядка.

Таким образом, получаем следующее правило для умножения определителей.: для того, чтобы перемножить два определителя п-го порядка

Р е ш е н и е . На основании установленного правила имеем:

D1-D2—

Например, для того, чтобы найти минор Мг2 определителя

необходимо вычеркнуть, согласно определению, третью горизон­ таль и вторую вертикаль, так как элемент а32 стоит на пересече­ нии этих горизонтали и вертикали. Определитель, составленный из оставшихся элементов, будет искомый минор

алгебраические дополнения, например, элементов первой гори­ зонтали будут:

Легко непосредственно проверить, что выполняется следую­ щее равенство

Аналогичное равенство справедливо и для определителя чет­ вертого порядка

&11 0-12 а13 ^14

&21 ^22 ^23 ^*24

д* =

# 3 1 ^32 ^ 3 3 #34

# 4 1 # 4 2 # 4 3 Û44

для которого имеем

Формулы (8) и (9) дают разложение определителя соответ­ ственно третьего и четвертого порядков по элементам первой горизонтали. Очевидно, что аналогичное разложение можно вы­ полнить по элементам любой горизонтали или вертикали. Таким образом, приходим к теореме.

Т е о р е м а I. Определитель п-го порядка

аа аіг.. .Cly .. ■ain

а„і О'пі ■■■anj ■■■&ПП

всегда равен сумме произведений элементов какой-либо горизон­ тали (вертикали) на их алгебраические ддполнения, т. е.

На основании этой теоремы можно определитель высшего по­ рядка представить в виде алгебраической суммы определителей низшего порядка. Применяя эту теорему последовательно не­ сколько раз, вычисление данного определителя высшего порядка всегда можно привести к вычислению определителей третьего пли второго порядка, которые, как известно (§ 5, 6), находим непо­ средственно.

Т е о р е м а II. Если в определителе п-го порядка (10) все элементы і-й • горизонтали (у-й вертикали), кроме ау, равны нулю, то такой определитель равен произведению элемента atJ на его алгёбраическое дополнение. . 1