книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

ДОПОЛНЕНИЕ

§ 1. Основные свойства неравенства

Учение о неравенствах относится к так называемым распо­ ложенным числовым полям, какими являются поле рациональных и поле действительных чисел. Числа этих полей связаны соотно­ шением взаимного расположения «равно», «больше», «меньше». К полю комплексных чисел учение о неравенствах неприменимо. Отметим некоторые свойства неравенств и важнейшие следствия из них.

I. Из неравенства А < В следует неравенство В>А и обратно из второго неравенства следует первое (свойство необратимости). Это свойство можно сформулировать так: при перестановке пра­ вой и лезой частей неравенства смысл знака неравенства изме­ няется на противоположный.

II. Из А < В и В < С следует, что А < С (свойство транзитив­ ности) .

III. Если А<В, то В—,4>0 и обратно — из второго неравен­ ства следует первое.

IV. Если А<іВ, то А + С<СВ+ С (свойство монотонности сло­ жения). Следовательно, к обеим частям неравенства можно до­ бавить поровну.

Таким образом, при умножении обеих частей неравенства на положительный множитель смысл знака неравенства не меняет­ ся. а при умножении на отрицательный множитель смысл знака неравенства изменяется на противоположный.

В частном случае при т= —1, полагая А<В, получим

—А> —В, т. е. при изменении знака обеих частей неравенства смысл знака неравенства изменяется на противоположный.

числа, то AC<BD, т. е. неравенства одинакового смысла с поло­ жительными частями можно почленно перемножать.

Из А <С имеем, что АС<ВС, а из С<Д видим, что BC<BD, отсюда в силу транзитивности AC<BD.

так как В—А>0 и А В > 0, потому что числа А и В одного знака. Для чисел разных знаков это свойство не имеет места.

выполняется тождественно, если оно имеет место для значений |і и f2 при произвольных допустимых системах значений аргу­ ментов.

При доказательстве неравенств обычно понимают Доказатель­ ство утверждения, что данное неравенство выполняется тождест­ венно при всех допустимых значениях, входящих в него аргу­ ментов.

Невозможно установить общие способы доказательства не­ равенств ввиду большого разнообразия как самих неравенств, гак и методов, которые применяются при доказательстве этих неравенств. Наряду с весьма примитивными способами часто применяются искусственные приемы. Таким образом, не пред­

—+ — + . . . + —

а, я 2 ап

Для рассматриваемых функций может быть доказана теоре­ ма: если функция выпуклая вниз в некотором промежутке, то для п произвольных значении аргумента хь хъ . . х п из этого про­ межутка имеет место неравенство

для функции, выпуклой вверх, неравенство будет противополож­ ного смысла; равенство при Хі=х2= ... — хп.

§ 3. Задание некоторых числовых и точечных множеств при помощи неравенств

1. Неравенства могут служить средством аналитического за­ дания числовых и точечных множеств. Здесь, конечно, понимаем не произвольные множества, а некоторые их частные виды, наи­ более важные в приложениях.

О п р е д е л е н и я , а) Интервалом или промежутком (а, Ь) называется множество всех' действительных чисел х, удовлетво­ ряющих неравенству

в) Множество всех действительных чисел называется интер­ валом от — о о до + о о и обозначается символом (— о о , -J- с о ) .

г) Множество всех действительных чисел, больших (меньших) числа а, называется интервалом от а до +со (или от — о о до а) и обозначается (а, + о о ) или (—- о о , а).

Символы + оои —со принято считать связанными с действи­ тельными числами и между собой соотношениями неравенства, а именно: всякое действительное число а считается меньшим, чем

множество всех действительных чисел, больших а, и множество всех действительных чисел, меньших а.

2. Положим, что y = f 1(х) и г/= (л:) две функции, непрерыв­ ные на отрезке [a, b] и удовлетворяющие неравенству /у(х) < /2(х)

и х = Ь, параллельными оси Ох. Линии, ограничивающие данную

область, к рассматриваемому множеству не причисляются (черт. 10).

Аналитически это множество можно характеризовать следую­

которым удовлетворяют координаты принадлежащих ему точек. Действительно, при любом х, содержащемся в интервале (а, b), значения у содержатся между числами (х) и f2(x).

Заметим, что входящие в состав контура боковые отрезки мо­ гут, одни или оба, вырождаться в точку, если верхняя и нижняя дуги будут иметь общие концы.

называется замкнутой элементарной областью.

Б этих неравенствах, определяющих элементарные области, могут участвовать символы + со.

определяют множество точек, лежащих внутри прямоугольника. Неравенства

а < X < Ь, с *: у < d

определяют соответствующий замкнутый прямоугольник Пример 2. Множество точек, .лежащих внутри окружности

О <. X < -}- о э , — « у < + ОІ

определяют область, образованную точками, лежащими в первом квадрате

1

выше пперболы У=~~ и на самой гиперболе (черт. 12). Эти неравенства мож­

но загшеат! так:

1

О < л-, у < у.

■Черт. 12.

Пример 4. Неравенства

, 0 < у < X

определяют замкнутый треугольник (черт. 13). Этот же-треугольник может быть задан посредством неравенств

О< у «. 1, 0 < X < 1.

определяют область, ограниченную ветвью гиперболы х2—у2—1 (черт. И). Эта же область может быть задана неравенствами

— со; < у < тс, )/Л1, + iß < -Ѵ,< + со.

Пример 6. Рассмотрим область, ограниченную сверху прямой у=х, а снизу параболой у= х 2 (черт. 15). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

О < X < I, Xs < у < X

ИЛИ

0 < у < 1, у < х < Y у .

§ 4. Неравенства, содержащие абсолютную величину

Пусть h — данное положительное число, тогда неравенство

справедливо при положительных х, если х<Іі, при отрицателыых X, если —Іг<х и х = 0. Ни при каких других значениях х неравен­ ство (3)места не имеет. Следовательно, неравенство (3) равно­ сильно неравенствам

Неравенства (4) выражают, что точка х расположена на оси Ох на расстоянии, меньшем h от начала координат (черт. 16).

Черт. Гб. Черт. 17.

Таким образом, точка х должна находиться в интервале (—h, h), это и выражают неравенства (4).

Неравенство |.ѵ|>а выполняется при я > 0, если х>а или х < —а. Следовательно, точка х должна быть на расстоянии, боль­ шем а от начала координат, и поэтому располагается в одном из интервалов (— со, —а) и (а, + °о) (черт. 17). При а< 0 нера­ венство |л '|> а удовлетворяется всеми значениями х.