книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

где А — неособеннаяквадратная матрица, а В и X произволь­ ные прямоугольные матрицы, достаточно обе части уравнения умножить «слева» на Л-1. Таким образом, принимая во внима­ ние (8). получим

Х = А -'В .

Заметим, для того, чтобы умножение матриц А~ 1 и В было выполнимо, необходимо, чтобы число вертикалей в первом со­ множителе было равно числу горизонталей во втором (§ 15).

Для того, чтобы решить матричное уравнение УЛ = В,

достаточно обе части уравнения умножить «справа» на матрицу Л ^1, имеем

Y — ВА~К

Следовательно, матричные уравнения

АХ = В, YА =-- В

имеют различные решения, так как, вообще говоря. А~'Вф ВА~х.

Вчастном случае матричные уравнения вида

АХ » Е, ХА « Е,

где А — неособенная матрица и Е — единичная матрица, прини­ мая во внимание (8), будут иметь одно решение

X = А - 1.

Рассмотрим, наконец, уравнение вида

АХВ = С,

где А, В, С — данные квадратные матрицы я-го порядка, причем А и В — неособенные матрицы, С — произвольная матрица и X— неизвестная матрица. Умножив обе части этого уравнения слева

Р е ш е н и е . Матрица А неособенная, так как беіЛ = 1 и об­ ратная матрица будет

Покажем на конкретном примере решение матричного урав­ нения АХ = В, в том случае, если del/1= 0.

Пусть требуется найти матрицу X второго порядка, удовлет­ воряющую уравнению

Системы линейных уравнений (I) и (II) совместны, в каждой из этих систем второе уравнение можно отбросить и второе неизвестное *2- Уі считать свободным. Таким образом, имеем

Положив, например, что *2= 2а, (/2 = 2ß, находим матрицу X, удовлетворяющую заданному уравнению в следующем общем

виде

ленные соответственно из неизвестных и свободных членов, т. е.

можно убедиться, что А Х —В, отсюда X = д - ’в.

Главная трудность в отыскании неизвестной матрицы X со­ стоит в построении обратной матрицы Л-1. Построение обратной матрицы может быть очень упрощено, если данная неособен-

ная матрица А будет симметрической, т .е. не меняется от замены строк столбцами. Это свойство можно отметить в виде равенства

a ij ~ a j l

для всех ее элементов.

Таким образом, в симметрической матрице элементы, распо­ ложенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Доказывается, что если А является симметричес­ кой матрицей,то она может быть представлена в виде произведе­ ния двух треугольных матриц, т. е.

причем обратные матрицы R i_1, R j l будут также треугольными матрицами такого же вида, кап и матрицы Ri и R2 . Этим вос­ пользуемся для решения таких систем п линейных уравнений с п неизвестными, у которых квадратная матрица А, составлен­ ная из коэффициентов, является неособенной симметрической. Алгоритм вычисления проведем на численном примере.

Пусть необходимо решить систему линейных уравнений

Так как матрица, составленная из коэффициентов, симметри­ ческая, то представим ее в виде треугольных матриц

14 = Си + Г30 + Г3а. Г33 — 1•

При извлечении корней квадратных берем лишь одно арифметическое значение корня, так как в данном случае не стремимся найти все возможные разложения матрицы А. Для ре­ шения поставленной задачи достаточно одного какого-нибудь разложения.

Следовательно,

врассматриваемом способе решения системы линейных уравне­ ний нет надобности устанавливать, что матрица А является неособенной, так как этот вопрос будет непосредственно решен при разложении матрицы А на произведение двух треугольных матриц. Треугольная матрица будет, очевидно, особенной лишь

втом случае, когда один какой-нибудь элемент ее главной диаго­

20 12 10

16 22 12

18 16 20

2. Частное матриц А и В, где матрицы — квадратные, име смысл только для невырожденного делителя В, причем это ча­ стное имеет два значения: левое частное В~1А и правое частное АВ~'. Оба эти частные совпадают тогда н только тогда, когда

матрицы А и В перестановочны, т. е. АВ = ВА. Только в этом

д

случае применяются обозначения частного А : В или -д- .

3. Рациональной функцией

F(x) = /(* )

? (JC) ’

где f(x ) и ю(.ѵ) многочлены с действительными коэффициентами, от квадратной матрицы А называется матрица

F(A)=*

/ІА) ? ІА) ‘

Функция F(x) определена на спектре матрицы А (§17) в том

итолько в том случае, если характеристические числа матрицы

Ане являются корнями многочлена гл(х), т. е. если det'f(,4)==0, причем многочлены f(x) и ср(х) —взаимно простые. В этом слѵчае

из тождества

/ч*) 9 (*)= ./(*)

получим

F (A )4 {A )= f{A ),

отсюда

F ІА) =/(Л )[ср(Л)]-‘ = [*(Л )]-‘/И )* .

* Подробнее см. Ф. Р, Гантмахер, Террия матриц. Гостехиздат, 1953, гл. V, § 4.