Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1305 вузов, 5173 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
23.10.2023
Размер:
7.62 Mб
Скачать
☆

тогда матричное равенство (3) будет

Таким образом,.Х\ = 2, *2= 3, *3= —2.

Задачи

В задачах № 126—134 найти матрицы, обратные для заданных матриц.

126. /1 2 \

Отв. / _2

1 \

127. /3 4 \

Отв. / 7 - 4

l a j '

|_ _ И

 

“ 5 3

I х

1

1

1

Отв.

 

1

1 1

l \

 

 

1

1 — 1 — 1

 

 

1

1 — 1 — 1 \

1 -- 1

1

— 1

4

 

1 - 1

1 — 1 I

 

- 1 - 1

 

 

i - i - i

4

\ 1

1

 

 

134. /1 2

3

4

Отв. /

22

- 6 — 26

17\

I 2 3 1 2

- 17 5

20 — 13 I

111

 

1 - 1

—

1

0

2 -

1 Г

\1 0 —2 - 6

У

4 —1 — 5

3 /

Взадачах № 135—138 решить систему линейных уравнений, представив ее

ввиде матричного уравнения.

135.

2A-, - Л*2

— Л'з =

4,

136.

Х1+ *з + 2а3 =

- 1.

 

 

 

 

а

 

— 2л'з =

11 ,

 

 

2-Д — Ао -р 2а3

=

- 4 ,

 

З , Н-

 

 

 

 

З.д — 2а,

 

а

 

 

 

4а, -р а3

-(- 4а3 = — 2.

 

 

 

+ 4 3 = П.

 

 

 

 

 

 

 

Ore.

А, == 3 , А. =

Л'3 — 1 .

Отв.

Хі =,

1 , Аа =

2 , А3 =

- 2 .

1.17.

А, ~Р

т 4а'з = 31 ,

138.

Зах + 2а3 + А3 =

5,

 

 

 

 

5а, -f *2

V 2л'3 =

29,

 

 

2а, -р Злд -р х 3 =

1 ,

 

За'] — Х2 f

А3 =

10,

 

 

2AJ -р х 3+ За3 =

11.

 

Отв.

*1 =

3 , J{■2— 4 , Ад — 5 .

Отв.

А, =

2, -Аз =

— 2, А3 = 3.

139. Доказать,

что если матрицы перестановочны

между

собой,

т. е.

АВ = ВА, то

А ~ 1В = В А ^ Х.

 

 

 

 

 

 

8 17. Характеристические числа и собственные векторы матрицы

В различных приложениях большую роль играют векторы х, для которых

Ах = кх,

(4)

где А есть квадратная матрица с числовыми элементами, вектор

X задан своими координатами в /і-мерном пространстве и к — ска­ лярное независимое переменное. Следовательно,

Ли

й 12

•

■ а 1в\

 

 

а-п

0-22

■

/ Л

■

X =

 

 

 

 

а„2 .

■ а „ п /

Такие векторы называются собственными векторами, а соот­ ветствующие им числа X будут характеристическими или собст­ венными числами матрицы А.

Равенство (4) запишем так:

(2ц <2і2 . а1п

&21 Ö-22 • ■ ■ Й-2л

^ап1 аіЛ ' ' ■ап

ИЛИ

'ап х\ ~Р аІ2 Х2 + •

ß-ai-'-T + а 22Х2 -р •

4(2,,1^1 “Р 0,12 X2 -р •

*і

х2

= X

хп. Л,.

• • + а1,1 х„

Хх«

• ■ ~р а гп х п J —

• ■“р Cl-tuI хп .

х п.

отсюда, приравнивая между собою соответствующие координаты векторов, стоящих в левой и правой части последнего равенства, получим систему п линейных уравнений с п неизвестными

а пХі ~р & \ 2Х 2 “Р

•

•

• "Р &1пХп — ^ І )

 

 

аЫх\ “Р 0122х2. +

■ ■ • + 01чпХп — Хх2,

 

Я,ц* 1 “Р 0ІП2Х2 "Р •

•

• ~Р Оіпп хп—'0'Хпі

 

т. е.

 

 

. . . + а1кх п = О,

 

(flu — X) х х+ апх 2 +

 

azixi + (а22 — X) х2+ . ■ ■-р а2пхп =

О,

(5)

 

 

 

 

5

.......................................................

 

 

...

 

а гцх1 -р &п2Х 2 + •

•

. -р (fl,iп — X) Хп~

О-

 

Так как вектор х не равен

 

нулю, то среди

его координат

Х\, хъ . . х п должна быть хотя бы одна координата, отличная от нуля.

Для того, чтобы система линейных однородных уравнений (5) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы опре­

делитель этой системы был равен нулю (§

10, п. 3), т ,е.

 

и —

"X ЙІ2 ■ • -öl«

 

 

ß-21

£7-22-- ^ * • •ß2n

= 0.

(6)

 

 

 

ß«2 • • •&nn

^

 

Последнее уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n-я степени относительно X. Его корни Х2, .. •, Хп

являются характеристическими числами, или собственными зна­ чениями заданной матрицы А. Совокупность всех характеристи­ ческих чисел Хь Х2, . . Х„, где каждое число выписано столько раз, какова его кратность как корня уравнения (6), называется спектром матрицы А. Заметим, что если матрица А — симмет­ рическая, то Яі, A-г, . . Х„ будут числа действительные.

Уравнение

(6) часто встречается в различных приложениях

и называется

характеристическим или вековым * уравнением

матрицы А.

Таким образом, из системы уравнений (5), где X имеет одно из значений, которые определяем из векового уравнения (6), можно найти п чисел х\, хъ . . ., х п>являющихся координатами я-мерного вектора

X — JCjëx + х гёг + • • • + х пеп .

Это будет собственный вектор матрицы А.

Если все корни уравнения (6) числа комплексные, то мат­ рица А собственных векторов совсем не имеет. Например, мат­ рица поворота координатных осей на плоскости

/COS а

— Slna\

\sin а

COS а/

собственных векторов не имеет.

Действительно, вековое уравнение данной матрицы будет

c o s а — X

— sin а

О,

sin а

COS а — X

 

или

 

 

X2 — 2Х cos а'+ 1 = О,

отсюда

X= cos а ± У cos2 а — 1

и является числом комплексным, если аф kn (&= 0, ± 1, ± 2,. ..). Укажем, наконец, что характеристической матрицей для мат­

рицы А называется матрица

<2ц

X

Л и

. . . а1п

А - Х £ =

& 2 1

û j j — X . . . Û 2 /I

 

 

 

 

Пп\

ап2

СІпп X

где %— независимое переменное и Е,

как обычно, есть единич­

ная матрица.

 

 

 

‘ Такое название Ёвязано с тем, что это уравнение встречается при иссле­ довании вековых возмущений планет,

Определитель характеристической матрицы А(Х) = | Л - Х £ |

представляет собой скалярный многочлен относительно К и на­ зывается характеристическим многочленом матрицы А.

Существует следующая теорема (Кэли-Гамильтона): всякая квадратная матрица А удовлетворяет своему характеристическо­ му уравнению, т. е.

Д (Л) = 0.

Поясним суть этой теоремы конкретным примером. Пусть

 

 

 

 

2

1

 

 

 

тогда

 

Я= ' . - I

3 ."

 

 

 

2

1

 

 

0 \

 

-X

1

 

1 f 1

 

А — ХЕ =

 

 

1 3 - Х

следовательно,

- 1 3

- Н о 1Г

 

 

 

2 - Х

1

 

 

 

Д(Х) =

| Л - Х £ |

=

X2 — 5Х + 7,

=

1

СО 1

отсюда получим

 

 

-

 

 

 

Д (А) = Л* — 5Л + ТЕ =

 

 

 

 

 

2

1W

2

1\

_ (

2

1'

1

0

— 1 3 / V— 1 3 - 5

 

1 ЗУ + 7 ІО 1

3 5

 

1 0 - 5

 

7 0

 

О О

- 5 8 +

 

5 - 1 5

+

0 7

 

О О = 0,

т. е. имеем нулевую матрицу, что и утверждает теорема Кэли-Га­ мильтона.

Эта теорема показывает, что в данном случае матрицы Е, А и Л2 будут линейно зависимы.

Пример. Найти характеристические числа и собственные вею торы матрицы

Р е ш е н и е . Вековое уравнение для данной матрицы по фор^ муле (6) будет

3 - Х

-

1

1

- 1

5 - Х

- 1

1

-

1

3 — X

Полученное уравнение преобразуем так:

3 - Х - 1 1

1

— 1

1

 

3 - X 5 - Х — 1 —(3 --X) 1 5 — X —

 

3 - Х — 1 3 — X

1 — 1 3 —

 

 

1

0

2

 

==(3--X)

1 6 -Х

0

 

 

1

0

4 —

 

 

 

1

2

 

- ( 3 - Х ) (б -Х ) 1

4 - Х

(3—Х)(6—Х)(2—X) »

отсюда

 

 

 

= 0,*

Xä =

3,

Х3 =

6-

Хх = 2)

Это будут характеристические числа данной матрицы.

Собственные векторы определим из системы

(5), которая для

заданной матрицы будет

 

 

(3 — Х)^ — лг2 —|—лгз = О,

 

—х± -(- (5 — X) Хі —

= 0)

(7)

х г — X, -j- (3 — X)x s = О-

 

Находим собственный вектор, соответствующий характерис­

тическому числу Х,і= 2.

 

 

Из системы (7) имеем

 

 

х\ — х\ +

* 3 = О,

 

■— х\ + Зх 2' — х г = О,

 

х[ — х 2' + х 3' = О,

 

отсюда, складывая первое уравнение со вторым, получим, что *2= 0, тогда подстановкой находим х'3= —х\. Полагаем х\ = aL

‘ Существуют общие методы решения векового уравнения (6), которыми следует пользоваться, когда имеем определитель выше третьего или четвер­ того порядка. Удобные методы даны акад. А. Н. Крыловым и А. М. Данилев­ ским. Подробное изложение этих методов с числовыми иллюстрациями можно найти, например, в книге И. С. Брезин и Н. П. Жидков., Приближенные вы­ числения, т. II. Ф.кематгм, М., I960, гл. 8, § 1 и 4.

тогда х'о — 0 и Х3 = —а. Следовательно, искомый вектор будет

х' — ai — ак ■

Далее определяем собственный вектор, соответствующий ха­ рактеристическому числу А,2 = 3.

В этом случае система (7) будет

— хі + х\ = О,

• — х\ 4 2х"„ — х\ = О,

х[ — х" = О,

отсюда видим, что х\ = х] = JC" = ß и собственный вектор запи­ шем так:

х" = рі 4 рі 4 рА.

Наконец, находим собственный вектор, соответствующий ха­ рактеристическому числу Яз= 6, тогда система (7) будет

— 3*7 —* 7 4 л'з' = О,

— - х ”2’ — х"ъ' = О,

— * 7 — Зле'” = О-

Из первых двух уравнений системы получим —4*7 —2х '''= 0, т. е. *7 '= — 2л:'і'. отсюда, полагая, например, *7 =Т> имеем

*7 = — и, подставляя во второе уравнение системы, находим

—г 4 2т— * 7 = 0, т. е. *7=ТГ-

Следовательно, собственный вектор будет

х'" = f i — 2 у 4 7&-

Таким образом, определены все собственные векторы задан­ ной матрицы:

4 = а (і — А), х" = р (і 4 / 4 &), х '" — f (і — 2 / 4 &),

где а, ß, у суть произвольные, отличные от нуля множители.

Задачи

’

В задачах № 140—143 найти характеристические числа и собственные векторы заданных матриц.

140. /1

1 3\

Отв. X, = — 2, Х2 = 3, Х3 = 6.

1

5 1

х' = а (і — k),

ѵЗ

1 1,

= P(Ï-?VÂ),

? " = T ( l 4 2 7 - Â ) .

142. /6 1 - 5

13 2 —3

\7 1 — 6

143.

Отв.

X, =

1, Х3 ==7.

 

х' ~

а (і — 2/),

 

х" =

 

Р ( Г + 7)-

Ore.

Xt =

1, Х3 =

— 1, Х3

 

х' =

а (і +

&),

 

х" =

р (2Г-г Г+Зй),

 

X'" =Tf(‘ + / + &)•

Ore.

X( =

 

7, X2 =

— 2.

 

*' = “(Г+у7.

 

x" =

 

P (4г — 5y).
Черт. 7.

Г Л А В А IV

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

ИМАТРИЦ

§18. Векторное произведение

1. В е к т о р н о е п р о и з в е д е н и е д в у х в е к т о р о в .

Векторным произведением двух векторов а и b называется век­ тор М, модуль которого численно равен площади параллело­

грамма, построенного на векторах а и Ъ, перпендикулярный к плоскости этшс векторов и направленный в такую сторону, чтобы

вращение от а к b по кратчайшему пути вокруг полученного век­ тора происходило против часо­ вой стрелки (черт. 7).

Будем обозначать векторное произведение а \\ b символом

М = а X &.

где [ IМ I = I а 11ô I sin а и а — угол между заданными векто­ рами. Из других обозначений

иногда встречается [ab].

Из определения векторного произведения следует, что если изменить порядок перемножа­ емых векторов, то вектор, изо­ бражающий их произведение, изменит свое направление на

прямо противоположное, сохранив при этом свой модуль, т. е.

а УС b = — b X а.

Следовательно, векторное произведение не коммутативно.

Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю, так как угол между ними 0 или 180°.

Векторные произведения основных ортов на основании опре­

деления будут

_

_

_

_

_

 

 

 

і Х і = / X / = к X к = О,

 

 

 

/ X / = Ä, 7 X k = i, k X І = /,

 

 

j x l = - k ,

 X / = - / , ïx~ k — — /•

При помощи этих формул легко _найти составляющие_вектор-

ного произведения aXô,

зная

что

а = а ѵг + ayj

azk и b=bxi~Ь

4- byj + Ъгк. Имеем

 

 

 

 

 

a X b = (ax i + a~j + az k ) X

( b J + b~j + bz k) =

 

= (ay bz -

a,by) i + (azbx — axbz) j 4- (axby— aybx) k =

CLy

<XZ

+

 

ax ay

 

by

i

/ +

bx by

 

bz

b, br

 

T. e.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

к

 

 

 

 

a x b

ax ayaz

.

( 1 )

 

 

 

bx

by bz

 

 

Векторное произведение обладает сочетательным свойством по отношению к скалярному множителю.

Действительно, по формуле (1) и воспользовавшись свойст­

вами определителей

(§ 7) получим

 

 

 

 

 

(та) X b = (m a j + mayj + mazk) X (bJ

+ byj -f bzk) =

 

i

j

k

i

j

k

i

j

k

amx may maz

= m ax

ay

az

ax

ay

az

bx

by

bz

bx

by

bz

= mbx mby mbz

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ma) X b = a X (mb) = m (a X

b).

 

 

Аналогично можно показать, что векторное произведение об­

ладает распределительным свойством.

Положим,

что f = b+ c,

где векторы f, b, с заданы своими координатами, тогда

 

f j + fyi + fzk = (bJ

+ byj + bzk) + (cxi + cyj + czk) =

 

— (bx + cx )

1 + Фy + Cy)j + (bz -f cz) k

 

 
Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности