книги из ГПНТБ / Богомолов А.М. Эксперименты с автоматами

4 . 1 .

Автоматы,

диагностируемые

вероятностным

экспериментом

Рассмотрим слабоинициальный автомат А = (S, X,

Y,

б, X, S0),

где S0

— множество допустимых начальных состояний

автомата.

Пусть

П — произвольное разбиение множества S0.

В этой главе

Р (х/р) > є для всех х£ X и р Є X*,

(4.1)

Р (РіІРг) > 8" 1Р,)

Д л я в с е х

Рі, Рг ЄХ*,

(4-2)

где Р (pjp2) — вероятность появления pi вслед за р2.

Действитель­

но, основание индукции устанавливаем равенством

Р

(е/р2) = 1-

Предположим, что

Р

(рг/р») > ed 'p '>. Тогда,

используя

(4.1), по­

лучаем

с.) є = є* (Р.*>,

Р (plX/p2)

=

Р (Pllp2)

Р (xJPlp2)

> ed

Qs

= {РЄХ*\

3 , £ S 0

( S Ф t(П)

Л Я(s, p) = *,'(*, p))}.

(4.3)

Если перед

экспериментом

автомат

А находился в состоянии

s,

щая множеству

Qs. Действительно, пусть р (£ Qs, тогда для произ­

вольного

t £ S0,

такого, что s Ф t (П), выполняется

соотношение

X (s, р) Ф X (t,

р). Следовательно, экспериментатор,

зная последо­

вательность р

и реакцию автомата X (s, р), может определить класс

разбиения П, который содержит начальное

состояние.

Символом

(Qs)p обозначим

множество тех последовательностей, которые яв­

ляются

продолжениями

последовательности

р

в множестве Qs.

В терминологии

[43] (Qs)p

— частное от деления

события

Qs на по­

следовательность р слева. Пусть Pk (F/p) — вероятность

появления

Pk+l(Qje)<Pk(QJe).

(4.4)

Pk+l(QJe)

=

2Р(рх/е)

=

2(Р(Pie)2Р

(х/р)),

рх

р

X

где

рх

£ Qs ,

d (рх)

=

k + 1,

р £

Qs,

x £

(Qs)

d(p) =

k

и

d (x) =

1. Так

как

V

P Ш

<

1

(* Є « Ш

и

Pf t (Qs /в)

-

=

2

P (РІе) (P Є Qs)> т о

неравенство

(4.4)

доказано.

Поскольку

Определение 4.1. Слабоинициальный автомат А =

(S, X, Y, б, X,S0)

; с разбиением П множества начальных состояний

S0 будем назы­

Теорема 4.1. Слабоинициальный

автомат А

с

разбиением

П

множества

начальных состояний

диагностируем

по

разбиению

П

тогда • и только тогда,

когда для

произвольных

s,

t £ S0

таких,

что $ Ф t (П), и произвольного р £ X* равенство

X (s,

р) = X (t,

р)

влечет неэквивалентность состояний

б (s, р)

и б (t,

р).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть существуют

s,

і £ Sa и р £

X*

такие, что s ф t (П), X (s,

р)

= X (t,

р)

и б (s, р)

эквивалентно б (t,

р).

Тогда на основании (4.3) можно утверждать, что

р £

Qs. Пока­

жем, что для

произвольной

последовательности

р'

£

X*

справед­

ливо рр'

£ Qs

Действительно,

Я (s, рр')

=

X (s, р) X (б (s, р), р') =

X (t, р) X (б (t, р),

р')

= X (t,

рр').

Но

рр'

£

Qs

равносильно

р' £ (Qs)p,

и,

в силу

произвольного

выбора

р',

справедливо

равенство

(Qs)p

=

X* . Пусть d (р)

=

kx.

6

2 —16Я6

81

PMe)

=

Ii(P(p1/e)IiP(p2/p1)),

Pi

P j

где pi £

Qs,

d (pi) =

kx,

p2 £

(Qs)Pl

и d (p2)

= k —

kx.

Поскольку

(Qs)p =

X*,

то V P

(Pjp)

=

\ (p2£

(Qs )„,

d (p2) =

k -

kx), а так

з р . є ; г .

(d (р') =

(п0 - 1 ) (я -

1) Л Р' $ (Qs )p )-

(4 -5 >

В случае,

если р

(£ Qs , то

(Qs)p = 0

и любое р' не принадлежит

(Qs)p.

Предположим, что р £ Qs. Для

произвольной последователь­

ности

q £

X* рассмотрим

множество

Так

как p £ Qs, то ар Ф 0

. Пусть | up \ — т и £ б ар — произволь­

но.

Поскольку

X (s,

р)

=

X (t,

р),

то

согласно

предположению

состояния б (s,

р) и б (^, р) не эквивалентны, и

поэтому существует

такое

рх,

что d (рх)

<

я —

1 и

X (б (s,

р),

рх )

Х ( б

р), pj).

Ясно,

что o P r D o P P l .

Построим

такой

ряд последовательностей р,

ррх,

ррх...

pi,

чтобы

ОрГэарР 1 гэ

••• гэ crpPl...p. гэ

•••

Так как множество ар конечно и цепочка состоит из строгих

вклю­

чений, то она должна быть

конечной. Цепочка

обрывается,

если

для некоторой последовательности р'

=

p!p2...pi

арр' =

0 . Это рав­

носильно тому,

что р'

$

(Qs )p. Поскольку длина

цепочки

меньше

или равна т + 1 , а т < л ,

— 1, то d (р') •< (я0 — 1) (я —

1). Так

как

для

любого w £ X*

справедливо

соотношение

р' $

(Qs )p -»-

-> p'w (£ (Qs )p, то (4.5) доказано.

Пусть т =

(я0 —

1) (я —

1). Тогда из (4.5) следует

i - ^ ( ( Q s ) p / p ) = 2 ^ ( p ' / p ) > e r ,

р'

где р' Є X* -

(Qs)p

и

d (р')

=

г.

Таким

образом,

(4.6)

Pr((Qs)p/p)<l-er.

Индукцией по у докажем

справедливость

неравенства

Р/г (Q,/e)< ( l - e T .

(4.7)

Plt+l)

г (QJe)

=

2

(Р (pje)

2

Р (р2/рг))

= 2 Р (Рг/е) Р Г

№3)М,

Pi

PJ

PI

где

pi Є Qs>

d (px ) = t>,

p 2

£

(Qs )P l

и

d (p2 ) = r.

Поскольку

^>

iQJe)

=

2

^

^ i Є Qs- d 0°i) =

г> )> то

на

основании

(4.6)

Pi

и предположения индукции

получаем

неравенство

РЦ+D г (QJe) •<

•< (1 —єГ )'+і,

которое завершает доказательство

(4.7).

Учитывая

(4.4) и (4.7), легко показать справедливость

неравенства

Pk(Qje)<(l

-

ф

]

,

(4.8)

где [—1 — целая

часть от деления

k

на г.

Так

как 0 <

є <

1, то

из

г

следует

(4.8)

/ > ( Q s / e ) < l i m ( l — e ' ) t ' l = 0 ,

а в силу того, что Р

(Qs/e) >

0, приходим к

выводу, что Р (Qs/e)

=

0,

и теорема

доказана.

4.2.

П р о в е р к а

д и а г н о с т и р у е м о е ™

автомата

Покажем,

что

для

произвольного

конечного

слабоинициального

разбиению

П проверяется

конструктивно. Рассмотрим бинарное

отношение

p g S Х 5 , заданное

соотношением

(s, ОЄР - ^Н РЄ*» ( ( 6

( S > Р)

эквивалентно

б (г, р)) Д

f\X(s,p)

= X(t, р)).

(4.9)

Строим последовательность

отношений р0 , P l )

Р і ,

которую

определяем рекурсивно

следующим образом:

(s, t)Є р , 3 , є х ( ( б

(s, x),

б (*, x))£ р,_, /\ X(s,

х) ~

X(t, х)).

P o < = P l ! = ••• = р , =

(4.10)

ливаем

базис

индукции:

(s, t)

£ ро

(s

эквивалентно

0-*-V«e*((^ (s> х)

эквивалентно

б (t, х))

Д X (s, х) =

X (t, х))

Я х £

Х ((б (s, х), б (t, х))

£р0АХ (s, х) =

6*

83

=

Я (t,

*))<-» (s, t) £ рх

и, следовательно, p0 s

px . Пусть

p,-_i g=

pL.

Докажем,

что

pf

g= p,+j. Действительно,

(s, 0 € Pi

Н*Є* ((5

(s. X),

б (f, x)) б p,_, Л X (s, x)

= X (t,

x))

Н*є* ((6 (s, x),

б (t, x)) £ p, Л

* (s, л-) = X (*, x)) <-> (s, 0 Є Рч-і

и поэтому р( s

р і + і .

Легко показать, что если для некоторого і выполняется равенство

P; =

р , + ь

то

рі =

рі+ь, где k — произвольное

целое

положитель­

ное

число.

Бинарное

отношение рг , удовлетворяющее

равенству

Pi =

Р(+ 1 ,

обозначим символом р. Такое бинарное отношение в

це­

почке (4.10) существует, так как множество 5 конечно. Покажем,

что р =

р. Индукцией по индексу

бинарных отношений можно

по­

казать, что для произвольного і

выполняется

соотношение

(s,

і) g

pi <-> ЗрЄ х« (d (p) <

і Д

(б (s, р)

эквивалентно

б (t, р))

Д

—

Л Ms, P) = b(t,p)).

—

(4.11)

0 0

Поскольку p =

(J Рг. TO из (4.9) и (4.11) следует, что р = р.

1=0

Легко видеть, что бинарные отношения, входящие в цепочку

(4.10), рефлексивны и симметричны. Под шагом будем понимать

процедуру

построения

рі+і

по

р,

и таблице переходов

и выходов

автомата.

Тогда,

учитывая,

что | р | <

л2 , | р01 >

п и | р/| > п + 21,

если

р, Ф

Pi—i,

приходим к выводу, что для построения

требуется

не более, чем п (п — 1)/2 шагов.

Пусть p S o

=

р П S0

X S0 , а я — отношение

эквивалентности на

множестве

S0,

соответствующее разбиению П. Тогда теорему

4.1

можно

переформулировать

следующим

образом.

Слабоинициальный автомат А с разбиением П множества на­

чальных состояний диагностируем

по разбиению П тогда

и только

тогда,

когда

ps „ s

я.

Действительно,

p S o s= л <-»• y S i , ((s, t 6 S0 Д

Л НРЄХ* ((б (s, р)

эквивалентно

б (t, р))

Д Ms,

р) = X (t,

р))) ->- s Е=

=

t(U))*r+

Vs.<6s.As*<(n) VP£X*(Ms .

p) = M*. P)->(6(S, p) не эквива­

лентно б (£, /?))). Если

автомат

Л — приведенный,

то

эквивалент­

ность

состояний

s и

t равносильна тому, что s =

t,

и

проверка

автомата на диагностируемость по разбиению упрощается.

Для иллюстрации процедуры проверки диагностируемое™ ав­

томата по разбиению рассмотрим автомат А, который задан

табл. 12.

Т а б л и ц а

12

а

р

а

Р

а

Р

а

Р

1

5

1

0

0

6

9

7

0

1

2

6

2

0

0

7

6

10

1

0

3

7

3

1

0

8

7

10

0

0

4

8

4

1

0

9

9

9

0

1

5

9

6

0

0

10

10

10

1

0

строим

бинарное

отношение

р.

Последовательность

отношений

р(. (t

=

0, 1,...)

будем

по­

Т а б л и ц а

13

лучать на матрице

размер­

1

2 3

4 5

6 7

8 9

10

ности

10 X 10,

у

которой

строки и столбцыотмечены

1

0

2

2

2

2

состояниями

автомата

А.

На пересечении

s-й строки

2

0

2

2

2

3

0

2

2

и ^-го столбца, будем

ста­

4

0

1

1

2

вить

такое

и

число

і,

что

5

0

(s, f)

€ р;

(s,

/)

$ р,-_,.

6

0

1

Бинарные

отношения

pt

7

0

1

1

строятся на матрице после­

8

0

1

9

0

довательно,

начиная с

р0 ,

0

10

начальных состояний является диагностируемым

по разбиению П

и находится в начальном состоянии

s, которое

экспериментатору

не известно. Пусть для произвольной

последовательности w lk(w)

Пусть / — натуральное число, пй — \S 0 1, п =

\S\и. г =

(п0 — I) X

X (п — 1).

Определим

множество

G% =

{p6X*\d(P)

= \г Л hi-i)r(P)eQs

Л Р €

Qs}-

Р $. Qs-+ Pw £ Qs Д л я

в

с е х w € X*.

(4.12)

Условимся событие, заключающееся

в

появлении на

выходе ис­

события G}r

(/

=

1, 2,....) несовместны. Поэтому на основании (4.12)

можно показать, что для произвольного натурального N выполня­

ется

соотношение

N

2 Pjr(Gsir/e)=

l-PNr(Qje).

Поскольку

автомат

А

диагностируем

по

разбиению

П,

то

\imPNr(QJe)=

0 и поэтому 2 Л > ( С / г / е ) = 1. Так как P,r

(G-r/e)

=

А/-+СО

Р (We)>

Р

/ = 1

Gs =

U G)r. Кроме того,

= 2

т о

2

(р/е) = 1. где

p£cF.r

р£&

/='

множество входных

последовательностей (2s можно

принять в

ка­

честве пространства

элементарных

событий.

Пусть р £ G3,

«0

= п0—

1 и и =

п— 1. Длина

последователь­

ности

р пропорциональна

числу г =

щи, т. е. d (р) = ku0u,

где

k —

некоторое

натуральное число.

Рассмотрим множество состояний asq

(q £ X*), определенное в раз­

ней мере два класса, то о£ Ф

0;

но в силу

того, что р не принадле­

жит множеству Qs, ар =

0 .

Разобьем

последовательность р на

и0

подпоследовательностей так, чтобы р =

PiP2---pu„

и для 1 <

І <

и0

d (pi)

=

iiu. Натуральные

числа

/,

определим рекурсивно.

В

ка­

честве

/ j

примем такое наименьшее

целое

число, что в$е Ф

rf.

w .

'І

Предположим, что числа у'х, /2 ,

определены и, тем

самым,

определены подпоследовательности рг,

р2,

рі—\. Найдем

число

а

значит, и подпоследовательность

pt.

Если

GplPt...P[_1

ф

0,

то jt положим

равным такому

наименьшему

целому

числу,

что

<£,!>,...«-1=?*=

-••+/,)«»)• Е с л и

ж е

=

0 - т о

h примем

равным числу

. Отметим, что

в последнем

слу-

На множестве (Т

определим

числовые

функции

d * ( l < ! i - < « 0 )

следующим образом:

d\{p)

= d{Pi),

где pt — подпоследовательность

последовательности

р, определен­

ная выше. Пусть Ds

также

числовая

функция на

Gs такая,

что

Ds (р) = d (р). Рассматривая

функции

Ds

и d\ (1 •< і •< и0)

как

+ ds,h, на основании теоремы сложения

математических ожиданий

получаем

М [Ds\ = т[df] +m[dl]+

• • • + т[dsUo],

то

Если найдем такое число h, что для і =

1, 2,

и„ т [d\\ <: h,

M [ D s ] < u 0 f t .

(4.13)

Пусть

t ё S0

и t щ£

s (П). Пусть

р—такая

последовательность,

выданная источником,

что Я (s, р) =

Я (/,

р). Обозначим

s'

= б (s,

р),

Г =

б (£,

р) и

/л Is', Г/р] —математическое

ожидание

длины

последовательности,

кратной и, которая

различает состояния s'

и f

у если на выходе источника уже появилась последовательность р.

На основании теоремы 4.1 получаем, что состояния s' и f

не экви­

валентны и

Vo>ex* Н^Є^'Л" (аГ) =u(^(s'» w) = k(f,

w)-+X(s',

WW') фХ(Ґ,

ww')).

(4.14)

которых заключается

в наблюдении

входной

и соответствующей

ей выходной последовательности

длины и.

Пусть R (s', t') =

{ w £ X* І Я,

(s\

w) = К (f,

w)}. Символом # t o

которых не принадлежит множеству R (s't f),

но любые ее началь-

ные части длины и, 2и,(k—

1) и принадлежат R(s', ?). Из опре­

деления R (s\ t') следует,

что оно вместе с любой последователь­

ностью из этого множества

включает и все начальные части

этой

последовательности.

Поэтому

Hku = [wЄX*Id(w)

= ku Л hk-i)u(w)£R(s\

f)f\w£R(s',

0} -

Отметим,

что

события Hku (k =

1,

2,

...) несовместны.

Нетрудно

видеть, что

N

.-. •

PNU

(R (S', t')lp) =

1 -

'

(4.15)

2 Рка (Ньиір).

ft=l

Так

как

ш

Є

R

(s', і') -»- w£

(Qs)p,

то

P W u

(R

(s',

t')/p)

<

•P^u ((Qs)p/p)-

В силу

диагностируемое™автомата

А

по

разбиению

П

lim PNtt

((Qs)p

Ip)

= 0 и поэтому

l i m P W u

(#(s\

i')/p)

-

0.

Та-

ким образом, из

(4.15) получаем

oo

=

1. На

основании

V

PkU{Hkulp)

со

(4.16)

m\s',t'/p)=

^kuPku(Hl!u/p).

*=і

Для

получения

верхней оценки

величины

т Is', i ' / p l рассмотрим

последовательность вероятностей Рк

( £ = 1 , 2 ,

... ) , гдеРд, —услов­

ная

вероятность

распознавания

состояний

s'

и

в £-м опыте,

если

в предыдущих k — 1 опытах

распознавание

этих состояний

Рк

связана

соотношением

PkU(Hku/p) =

u(R(s',

t')lp)

Pk.

(4.17)

Вероятность

Рки (Hkulp)

можно

найти по

формуле

Ры

(нки/р)

=

2 (Р (pjp)

2 Р

(pjppj),

где P l € R

(s', t'),

P l

1)H | P i

D,

(R (s\ i'))Pl,

d (Pl)

=

(k-

І

d (p2)

=

u.

Из

(4.14)

и

(4.2)

следует,

что

У^Р

(р2/РРі)

>

є",

а так

как

Pi

P{k-\)u(R

(s',

t')lp)

=

'£Р

( P i / P ) ' т

о на основании

(4.17) получаем

P i

ft

неравенство

Pf t >

є". Пусть

=

^

Р(и (Н,-и/р).

Индукцией

по

k

покажем,

что

(4.18)

gk=\~{\-Px)i\-P2)

...

(l-Pk).

во внимание, что Р0

(R

(s',

tk)/p)

=

1, т. е.

g1=:Pa(Hu/p)

= P 1 = \ - ( l - P 1 ) .

Предположим, что соотношение

(4.18) выполняется при k =

/. Тог­

да, учитывая, что Pju

{R (s',

f)

Ip)

=

1 — g t , получаем

8Ш = 8i + pi+v

и (Hu+»

ulp) =

g, +

Pju (R («', ПІР) Pi+i

=

T ft + ( !

-

si) Pi+i

=

si ( i

-

Pi+i) + P;+1 =

= (і - (і - PJ ( Г - P 2 ) . . . (і -

p,)) (і - л + і ) + Pj+i =

= l - ( l - p 1 ) ( l - p 2 ) . . .

( l _ p / ) ( l - p / + 1 ) ,

Pku (Hkufp) = (1 - g*-i)

= О - Рг) (1 - Я8 ) . .. (1 - Р*_,) P F E .

оо

что 2

О — Л )

О — ЛІ)---(1 — -Pft-i) Рь =

1 (здесь Р0 принимается

равным

0), находим

m[s',t'/p]

= u 5 А ( 1 - Р х ) ( 1 -Р2)

. . . (1 — Р*_і) Я* =

оо

т [s', t'/p] < и 2 0 — є")* = "Є-".

(4.19)

М [D] < и0и'е-"'.

(4.20)

Здесь символ Ds заменен символом D, так как оценка

математиче­

ского ожидания не зависит от фактического начального состояния

автомата.

Отметим, что верхняя оценка величины М [D] может быть уточ­

нена следующим образом. Пусть разбиение П множества S0 состоит

из классов K i , К2,

Km- Без потери общности можно предполо­

жить, что с = | Ki | <

| К21 <

• • • < | Кт \. Аналогично доказатель­

ству соотношения (4.20) легко показать справедливость

неравенства

М \D] <

(л0 — с) и'вг*.

(4.21)

-