Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов А.М. Эксперименты с автоматами

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Таким образом, комбинационная схема К реализует отображение

К:(1Л, . . . . У„)->#.

Такие наборы R назовем векторами различимости для задачи рас познавания автоматов известного класса. Если при подаче на вход

автомата А входного		сигнала х с выхода	комбинационной схемы
К	получен некоторый	вектор различимости R, то это означает, что
те автоматы Л,- и A-t в		классе, для которых	at Ф as	в	векторе	R,
различаются этим входным сигналом. Если в векторе R					компоненты
о,- и а і равны, то это		будем обозначать следующим		образом: а,-		=
=	ajlR].

Легко зіметить, что типы н количество векторов различимости зависят только от числа п автоматов в классе и мощности выходного алфавита J Y | = k автоматов и не зависят от других характеристик класса.

В дальнейшем будем рассматривать только множество векторов различимости R, которые могут быть получены с выхода комбина ционной схемы К.

При k >- п каждый вектор различимости R можно взаимно од нозначно сопоставить с некоторым разбиением множества из п

элементов,	которые будем обозначать		через я « . Это разбиение оп
ределяется	следующим	образом:
	і = /(яя)«-»а, =		а/[/?].	(3.3)
Тогда	max о,- +	1 показывает число классов		этого разбиения,

cij = I означает, что і-й элемент находится в 1-ом классе разбиения. Поэтому векторы различимости R можно рассматривать вне данного конкретного класса автоматов, а относительно любого клас

са автоматов, состоящего из данного числа автоматов.

Введем на множестве векторов различимости R при /г >- п сле дующее отношение:


	Яі <	Я* < - V M ,		К =	аіг [R2]		аіг	[/?J).		(3.4)
Отношение (3.4) обратно отношению порядка							на	множестве раз
биений множества из п элементов, которое определяется										следующим
образом:		лг - < л;2 <-> (Ї == / (лх ) -*-і =				\ (я2 )).				(3.5)

Согласно работе [9], отношение, обратное частичной										упорядочен
ности, является		само частичной			упорядоченностью. Следовательно
отношение (3.4) на множестве векторов различимости R										при k > - /i,
является отношением			порядка.
В силу взаимно однозначного соответствия между множеством
векторов различимости			R	при k >• п и множеством разбиений мно
жества	из п элементов		и наличия частичной упорядоченности (3.4)
и (3.5)	эти множества		являются		двойственными		друг		другу.
Для двойственных частично упорядоченных множеств справед
лив следующий		принцип		двойственности		[37J: если			справедлива

какая-то теорема о частично упорядоченных множествах, сформу лированная в общелогнческих терминах и терминах порядка, то справедлива и двойственная ей теорема.

Принцип двойственности позволяет заменить изучение свойств частично упорядоченного множества векторов различимости R изу чением свойств частично упорядоченного множества разбиений мно жества из п элементов.

Введем некоторые, необходимые в дальнейшем, понятия теории частично упорядоченных множеств [9, 37].

Пусть задано частично упорядоченное множество 5 и его непу

стое подмножество		Т.
Элемент s £ S называется точной верхней гранью множества Т,
если s >> і для	всех	t £	Г и из справедливости соотношения s > - 1
для всех t £ Т	вытекает,		что s ;> s (s Є S). Двойственным образом

определяется точная нижняя грань множества Т.

Точную верхнюю грань множества Т в частично упорядоченном

множестве 5	будем обозначать	sup Т, а точную нижнюю грань —
i n f Т.
Частично	упорядоченное	множество называется структурой,

если всякое его двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грань.

Непосредственно из определения видно, что частично упорядо ченное множество, двойственное структуре, само является струк турой. Отсюда вытекает возможность применения к структурам принципа двойственности.

На множестве разбиений множества из п элементов введем две

операции.
Разбиение я х • я 2	называется произведением разбиений щ и я 2 .
Оно определяется соотношением
Vs,< (S =	t (Щ • Я 2 ) «-> S = t ( я х ) A s = t ( я г ) ) -

Разбиение я х + я 2 называется суммой двух разбиений я х и я 2 , элементы sat находятся в одном классе разбиения пг -+- я 2 , если существует последовательность элементов S = s0 ) slt s2 , s„ = t, удовлетворяющая условию

V o « r s n - i ( s ; = s H - i ( % ) V SL = s 4 - i ("a))-

Известно (например, [60]), что множество							всех		разбиений мно
жества из п элементов с отношением (3.5)							является			структурой,
причем				sup (яъ я 2					-f- я 2 .
i n f ( я х ,	я 2 ) =	я 2 •	я 2 ,			)	=	я х
- Разбиение, в котором		все	элементы		входят в			один класс, назы
вается единичным. Это наибольшее из					всех		разбиений,			будем обо
значать его через I .
Разбиение, в котором в каждом классе						содержится				только по
одному элементу,	называется		нулевым. Это				наименьшее из всех
разбиений, будем	обозначать		его	через	О.

Структура L называется структурой с дополнениями, если имеет место

V s 3 < ( i n f ( s , 0 = О Д sup(s, 0 = 1).

Интервалом [а, Ь] называется подмножество Т частично упоря доченного множества 5, удовлетворяющее условию

V/ £ 7 - (fl<i<fc) .

Структура L называется структурой с относительными дополне ниями, если

	V[a .6]siV/e[a .b] 3 s ( i n f (t, s) =	а Д	sup(;, s) =	b).
Атомом	частично упорядоченного	множества 5 с		наименьшим
элементом 0 называется такой элемент s £			S, что s >	0, и из того,
что t >• 0	и / < . s, следует t = s.

Атомом во множестве разбиений множества из п элементов яв ляется такое разбиение, все классы которого, кроме одного, где два элемента, состоят из одного элемента. Таких атомов будет С"п.

Справедливы следующие утверждения [9]:

1)любое разбиение множества из п элементов является суммой некоторых атомов;

2)структура L является структурой с относительными допол нениями, если каждый ее элемент является точной верхней гранью некоторого множества атомов.

На основании этого приходим к выводу, что структура разбие ний множества из п элементов является структурой с относитель ными дополнениями.

Говорят, что элемент s частично упорядоченного множества S покрывает элемент t этого множества, если s > ( и

	Vpes {p>t	Л Р < s	Р = s ) -
Структура L из конечного числа элементов называется полуде-
декиндовой, если	ее элементы удовлетворяют			условию: для всех
s, /, р £ L из того, что s, t покрывают р и s=£				t,	следует, что точ
ная верхняя грань (s, /) покрывает s и t.
Разбиение я	покрывает	разбиение	я 2 , е с л и	в с е	классы разбие

ния я х , кроме одного, совпадают с соответствующими классами раз биения л2 , а один класс разбиения пг является объединением двух соответствующих классов разбиения я2 .

Лемма 3 . 1 . Структура разбиений множества из п элементов


является	полудедекиндовой.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Требуется показать,				что если произ
вольные разбиения я х , я 2		и я таковы, что я х				и я 2	покрывают я, то
я 2 + я 2	покрывает я х и	я2 .
Пусть разбиение я содержит классы b±,					Ь2,		bk. Тогда разбие
ние я^ содержит классы bx, Ь2,				bk—\ U bk,		(всего (k — 1) классов),
а для разбиения я 2 возможны две ситуации:
1) оно содержит классы Ьг,			Ь2,	. . . , & * _ ] , bt	[}	bk ((k — 1) классов);
2) оно содержит классы bx,			b2,	bt (J bj, ....		bk ((k — 1) классов).

	Тогда		в первом случае разбиение пл + я,				содержит		классы Ь1У
Ь2,		£>,- U bk~\ U bk (всего			(/г — 2)	класса"), причем			все	классы,,
кроме одного, те же, что и в разбиениях лх и я2 . Класс ft (J											(J
для it! является объединением классов bj и б*-! U bk,								а для п 2 — объ
единением классов £>,• U Ьк и І>А- і • Таким образом, я а +									я 2	покрывает
яг	и л2 .				я 2 содержит такие классы: Ьг,
		Во втором случае яг +									Ь2>...
все		bi\}bj,	£>*_i (J bk	(всего	(А — 2) класса). В разбиении щ						+ я2 .
		классы, кроме одного Ьс[) £>;-,те же самые, что						и в		a
является			объединением	двух	классов	из nv	Аналогично,			% - j - л2 .
содержит те же классы,				кроме одного		bk—i U bk, что и разбиение я2 ,
a	(b/i-i (J 6ft есть объединение				двух классов из		яа .	Следовательно,
и в		этом	случае лх + я 2 покрывает я х			и я2 .
		Таким образом, доказана такая теорема.
		Теорема 3.1. Множество разбиений				множества		из п элементов
с	отношением порядка			(3.5)	является полудедекиндовой					структу
рой		с относительными		дополнениями.
		Полудедекиндова структура с относительными дополнениями,
называется еще М-структурой [9].
		Используя принцип		двойственности, приходим				к	следующему

результату: множество векторов различимости при k >• п для задачи распознавания автоматов известного класса с отношением порядка (3.4) является М-структурой.

Определим число векторов различимости в М-структуре. Рассмотрим множество всех неупорядоченных разбиений числа

я на / частей, которое определим следующим образом:

			Л	(ri>r2>	•••	>г!>1)\.				(3.6)
Определим		отображение			ф множества		векторов различимости
в множество		Q:	ф(ві. а2		ап) = (rv	г2 ,	. . . , г,),			(3.7)
			ф(ві. а2		ап) = (rv	г2 ,	. . . , г,),			(3.7)
где / =	max ас		-\- ] ,	rt — число одинаковых				компонент	в	векторе
	і
различимости		R	= (ах , а2 ,		...,а„). Например,			ф (0,1, 1,	1,	2, 0,	Зр
1, 4) =	(3, 2,	1, 1, 1). Найдем число прообразов набора							(г, г2 ) . ...
г,) по отображению ф. Введем отношение эквивалентности є											на
множестве {1, 2,				/}, определив его соотношением
				(І,	Г{ =	г/.
Лемма 3.2. Число векторов различимости,								соответствующих			на
бору (rlf	г2, ....		л,), равно:
					П^П, . . .	п,				(3.8)
					П^П, . . .	п,

где П/ — количество перестановок из числа	элементов j-го класса
эквивалентности є; \| е \| — число классов эквивалентности.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно,	п компонент векторов

различимости должны распределиться по / блокам. Эта задача яв ляется классической. В качестве ее решения приведем теорему Феллера [45].

Пусть ги г2,	Г[ — целые неотрицательные числа, причем гг 4-
•+- ?2 + • • - +	т{ = п и все г( >- 0. Тогда число способов, посредством

которых п элементов могут быть распределены на / групп, из ко

торых первая содержит гх	элементов, вторая — г2 элементов, и так
далее, 1-я — г1 элементов,	равно
	п I
	г, ! г3 ! . . . г,! '

Здесь порядок групп существенен в том смысле, что, например, раз биения числа л = 5 на две группы (гх = 2, г2 = 3) и (rt = 3, г2 = 2) считаются различными, однако порядок элементов внутри группы не учитывается. Заметим, что в отличие от классической задачи, здесь порядок равных по мощности групп не существенен. Это сле дует из построения векторов различимости., В связи с этим полу чаем окончательную формулу (3.8).

Зная п, можно определить число элементов множества Q неупо рядоченных разбиений числа п на части [47] Согласно лемме 3.2, находится число векторов различимости, соответствующих одному

набору {гх, г2,	rs). Просуммировав по всем элементам множества
Q, получим число векторов различимости			в /W-структуре. Пусть
q — (г\ч\ г2ч),	г\ч)) —элемент	множества	Q. Тогда справедлива
такая теорема.
Теорема 3.2.	Число элементов	М-структуры		векторов различи
мости для класса из п автоматов при k > п запишется в виде
	Ч - І і ^ -	п , п . . ' . п , „ -		М

1=]

Пр и м е р . Пусть дан класс из четырех автоматов и k >- 4. Определим число элементов /И-структуры. Множество Q будет со стоять из наборов: (4), (3,1), (2,2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1).

Тогда согласно теореме 3.4

д, __ 4!	41	4!	1	4!	1	,
41 " t " 3 ! I ! +		2 l 2 I ' 2!		21 1 І 1 I " 2!		+

j	1 !	. - L	- = 1 4 - 4 4 - 3 - 4 - 6 4 - 1 = 15,
r	1! 11 I ! I I	4!	т	т

где N — число векторов различимости.

Рассмотрим детальное строение М-структуры векторов разли чимости.


Во-первых, М-структура содержит							наименьший элемент R0			=
= (0, 0,		0), который обозначим через 0^, и наибольший элемент
Rma-x =	(0,	1,2,		П — 1), КОТОРЫЙ обоЗНЭЧИМ Через IR.
Во-вторых, в уИ-структуре можно выделить подмножества
элементов, которые назовем уровнями.
Уровнем /W-структуры, имеющим номер т, назовем подмноже
ство векторов различимости R, в каждом из которых самый большой
компонентой			является а, ~ т. В этом				случае М-структура имеет
п уровней с		номерами: 0 , 1 , 2,			т,		п —	1. Уровень с номером
0 состоит из			одного элемента R0		=	OR, уровень с номером (п — 1)
также состоит из одного элемента Rmax=							JR.
Определим			число элементов — векторов					различимости — на
уровне	с номером			1. Это —векторы		вида R		= (0, а2,	а'п),	где
все а{ £	[О, I } , и обязательно в каждом векторе есть а,								= 1.
Очевидно,			что	число таких векторов совпадает с					количеством
(п — 1)-значных двоичных чисел без одного, т. е. равно									(2Л—1 — 1).

Определим число элементов — векторов различимости — на уровне с номером 2- Для этого сначала определим общее число векторов

различимости на		уровнях с номером 0, 1, 2.
В этом случае		векторы различимости представляют наборы R =
= (0, аг,	ап),	где все а, £ (0, 1, 2\| есть числа троичной системы

счисления. Следовательно, число таких векторов различимости не

превосходит З п — Н а б о р ы ,	не являющиеся		векторами различи
мости, имеют вид (0, 0,	0, 2, ак,	ап). Всевозможных наборов,
у которых первые две компоненты		равны 0,2,	имеется Зп ~2 . Набо

ров, у которых первые три компоненты 0, 0, 2, имеется З п _ 3 . И так далее, последним набором, не являющимся вектором различимости,

есть R т (0, 0		0, 2). Таким образом, число всех наборов, ко
торые не являются векторами различимости равно Зл—2 + 3 " _ 3
... + 3 + 1 =	(3"—1	—	1)/2. Тогда число	векторов различимости
на уровнях с	номерами 0, 1, 2 равно:
	З"-1	_	(З"-1 — 1 )/2 = ( З " - 1	+ 1 )/2.

Вычитая отсюда число векторов различимости на уровнях с номе рами 0, 1, получаем число векторов различимости на уровне с но мером 2 : (З"-1 + 1)/2 — 2" - 1 .

Аналогичным образом можно подсчитать число векторов разли чимости на любом уровне М-структуры.

На М-структуре векторов различимости можно рассматривать две операции, определяемые двойственным образом через операции произведения и суммы разбиений:

/?!	U Я я =	Я + я =	я, • я„	(3.10)
Ri	П Я2 =	Я ~ я я =	я Л г + яя,.	(3.11)

Операцию (3.10) назовем сложением или объединением, а (3.11)— произведением или пересечением на М-структуре векторов разли чимости. Операции (3.10) и (3.11) имеют все свойства структурных операций [37].

2—1G86

Легко видеть, что любая сумма i?x U R2 различных векторов раз личимости m-го уровня является вектором различимости более высо кого уровня, а любое произведение ЯхП^г и з векторов различи мости m-го уровня является вектором различимости более низкого уровня.

Рассмотрим теперь множество векторов различимости, полу чаемое с выхода комбинационной схемы К при k < п. Пусть k =

=п— 1. Тогда очевидно, что с выхода комбинационной схемы 1(

не может быть выдан только вектор различимости Rmax = I R =

=(О, 1, 2, п— 1), расположенный на (п — 1)-ом уровне М-


структуры. При k — п — 2 схема Д" не				может выдать вектор			Rmax
и все векторы		различимости (я — 2)-го		уровня /И-структуры. Ана
логичным рассмотрением по различным				k <	п приходим к следую
щему	результату: множество		векторов	различимости для		класса
из п	автоматов	при k <с п,	которое может		быть выдано с	выхода

комбинационной схемы К, является частично упорядоченным мно
жеством, получаемым из М-структуры	векторов различимости этого
класса автоматов путем отбрасывания	верхних уровней.с номерами

п — 1, п — 2, k.

Это частично упорядоченное множество имеет наименьший эле мент R0 — Оя = (О, 0, 0), но не имеет наибольшего элемента I R . Максимальными элементами этого частично упорядоченного мно жества являются все векторы различимости, расположенные на (k—1)-м уровне М-структуры. Формула (3.9) подсчета числа век торов различимости применима и при k < п.

Число векторов различимости, которые могут быть выданы с вы хода комбинационной схемы /С при различных п и k, приведено в табл. 9.

\									Т а б л и ц а 9
\	п	2	3	4	5	6	7	8	9	10
k	\	2	3	4	5	6	7	8	9	10
k	\
2		2	4	8	16	32	64	128	256	512
3			5	14	41	122	365	1094	3281	9842
4				15	51	187	715	2745	11051	43947
5					52	202	855	3845	18002	86472
6						203	876	4111	20648	109299
7		•					877	4139	21110	115179
8								4140	21146	115929
9									21147	115974
10										115975

Рассмотрим один из алгоритмов нахождения всех векторов

различимости для класса

автоматов. В основу алгоритма

положим

связный

неориентированный граф без

циклов — дерево,

которое

обозначим

через Т. Дерево Т

имеет

корень — вершину

отметкой

Корень

дерева

связан ребрами с двумя вер

шинами,

имеющими

отметки

0 и 1. Произвольная вершина

дерева

отметкой

связана

ребрами с

вершинами, имею

щими отметки 0, 1,2

d, где

d = l +

Процесс построения дерева

осуществляется до

{п — 1)-го

і 2 О і

2 0 1 2

1 2 3

уровня. Из процесса

построе

Рис. 8. Дерево Т для нахождения векторов

ния следует,

что цепи длины

различимости при л = 4.

(п —

1) от

корня

дерева

до

всех

конечных

вершин цепей дают все

векторы

различимости для

данного п,

получающиеся

как

наборы

отметок

вершин,

принадле-

Рис. 9. Л4-структура векторов различимости при k > п и п = 4.

жащих цепям. Пример дерева Т при п = 4 дан на рис, 8. Получаем следующие 15 векторов различимости:

Я„ = ° * = (о. о. 0. 0). #1 = (0. 0, 0, 1), # 2 = (0, 0, 1, 0),

Л, =		(0,	0,	1,	1),	/?4	=	(0,	0,	1, 2), Rb =				(0, 1,	0,	0),	t
Я, =		(0,	1,	0,	1),	Я7	=	(0,	1, 0,		2),	/?8	=	(0, ,1,	1,	0),
tf9	=	(0,	1,	1, 1), /?1 0			=	(0,	1,	1,	2),	Я и	= (0(, 1,		2,	0),
Я 1 2 =	(0, 1, 2,			1),	Я 1 3 =		(0, 1, 2,			2),..tf1 4 =				(0, 1.-І2, 3) =			/*.

/И-структура векторов различимости при п = 4 приведена

на

рис. 9. Элементы М-структуры

относительно операции

сложения

образуют полугруппу

R*,

представленную

при л =

4 в табл.

10.

Т а б л и ц а

R»

Rio

R13

о*

R»

Rio

R13

я,

Rio

Ri,

Ы Ru

Rs ' R* R13

R13

R-

R13

R-,

R\z

Rio

R12

RIS

Rio

Rl2

R12

Rj3

R13

	Введем понятия покрытия в М -структуре.
	Определение 3.1.		Множество векторов	различимости {Rlt R2, ...
	Rk} называется		покрытием в /И-ст.руктуре,		если	одновременно
выполняются следующие условия:
2)	для всех	1 < ! i,	j < ; k, і Ф j , не имеет место R( <;			R/;
3)	Rit \JRi,	U ... U Re ФЫ для всех it =		~k	и т <	к.

Поиск всех покрытий в М-структуре векторов различимости

основан на свойствах полугруппы R*. Так, М-структура при п =

полугруппа

которой

представлена

в табл. 10, содержит 42

по

крытия

вида

RiURi^h

16 покрытий

вида

U Rf [] Rt

I R

при следующих

значениях

индексов (i, j , I):

(1,

9),

(1,

6),

(1,

5),

(1, 2,

6),

(1, 2,

8),

(1, 2,

9),

(1, 3,

5),

(1,

9),

(1,

9),

(2,

5),

(2,

9),

(2,

6),

(2,

9),

(2,

9),

(5,

9),

(5,

9).

не

Покрытий из большего числа элементов в данной УИ-структуре

существует.

2. Частичные т е с т ы

Если на вход автомата А (3.1) подать входную

последовательность

р — ХХХ2...ХІ,

то

выхода комбинационной

схемы К

получим

по

следовательность q =

RXR2

••• Ri- Каждой конечной последователь

ности векторов различимости R^^.-Rj

можно поставить в однознач

ное

состояние

некоторый

вектор

различимости

являющийся

суммой векторов Ru

R2,

Для этого каждому вектору разли

чимости

R =

(ах>

а2,

ап)

поставим во взаимно однозначное

соот

ветствие

вектор

размерности

п (п —

1)/2:

Р — (Pl2'

Pl3>

• • • > Pit' Р2З' Ри<

• • • > РІПУ Рз4> • • • •

Pn—l.n),

V w ( 2 (

Ф щ^-Ра

l Л ai

ai-+Pu

= °)-

Компоненты рц вектора P характеризуют различимость пар авто

матов

(At,

А/)

в классе. Если

на вход автомата

подан

входной

сигнал xlt

то на выходе комбинационной схемы К получается вектор

различимости

Rx,

которому

взаимно однозначно

по

(3.12)

соответ

ствует вектор Рг. Пусть теперь подан следующий сигнал дг2, полу чен вектор R2 и по (3.12) определен вектор Р2.

Определим вектор Р через векторы Рх			и Р а применением опера
ции покомпонентной		дизъюнкции:
р = рг V Р»	РЦ =	Р<}> V Р%, І = i~Z, /=		%П,	І < /.	(3.13)
Формула	(3.13) отражает тот факт,		что	если	пара	автоматов

(Л,-, Aj) была различена сигналом х^, то следующий сигнал х2 уже не влияет на различимость этой пары. Если же эта пара не была -

различена	сигналом	xlt то возможно ее различение сигналом	х2.
Если же не было произведено ее различение и сигналом х2, то			это
означает,	что она не	различается последовательностью ххх2.

В силу (3.12) вектору Р соответствует один вектор R. Легко видеть, что этот вектор R равен сумме векторов R1 [) R2. Пусть В* — множество последовательностей векторов различимости без пустой последовательности. Определим отображение G этого множества

последовательностей в множество векторов	различимости	следую
щими рекурсивными формулами:
6(R) = R, B(qR) = в(q)	\j R.	(3.14)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ