книги из ГПНТБ / Богомолов А.М. Эксперименты с автоматами

Полученное утверждение эквивалентно отрицанию (2.14), так как в (2.14) квантор существования по р влево проносится через кванторы общности эквивалентным образом. Импликация влево доказывается аналогично импликации влево в теореме 2.1.

Следствие 2.2. Задача контроля для класса автоматов (2.1) с мно­

1)определение Sxl\

2)определение Si',

В случае а) делается вывод, что исследуемый автомат является автоматом А0 = (50 , X, Y, 6„, Я,0).В случае б) исследуемый автомат оказывается каким-то автоматом At и і Ф 0. В случае в) необходимо продолжать эксперимент. Существенным является то, что любые другие правила вывода, которые могут быть использованы при ре­ шении задачи контроля, согласуются с правилами вывода (2.16)

лучается при анализе некоторой пары начальных отрезков последо­

правой части равенства (2.17) в левую часть, чем завершается доказательство.

Теорема 2.4. Диагностическая задача для класса автоматов (2.1) решается простым условным экспериментом тогда и только тогда, когда выполняется условие

возможность решения диагностической задачи простым условным экспериментом. Прикладываем к исследуемому автомату такую по­ следовательность рг, что удовлетворяется (2.20).

Для любой выходной последовательности qx найдется входная последовательность р2, которую можно выбрать для продолжения эксперимента.

Наличие кванторов существования и всеобщности в (2.20) обес­ печивает возможность действий при эксперименте по выбору вход­

на основании леммы 2.1. Это означает, что применением правил

Пусть диагностическая задача решается простым условным экс­ периментом. Тогда можно выбрать входную последовательность рх и для любой выходной последовательности qx выбрать входную по­ следовательность р2 и т. д., выбрать входную последовательность pk, что для любой выходной последовательности qk оказывается, что только один автомат может реализовывать пару {рхр2... pk, qxq2...qk). Анализ этой пары можно осуществить с применением правил вы­ вода (2.7). Их формальная запись с учетом леммы 2.3 дает (2.20).

Следствие 2.3. Диагностическая задача может быть решена про­ стым условным экспериментом тогда и только тогда, когда она мо­ жет быть решена простым безусловным экспериментом. Очевидно, что если диагностическая задача решается безусловным эксперимен­ том, то она решается условным экспериментом. С другой стороны, из (2.7) следует (2.20).

Следствие 2.4. Диагностическая задача для класса автоматов (2.1) с множествами допустимых начальных состояний S«j a St решается простым условным экспериментом тогда и только тогда,

где бр, 5p определяются для последовательностей по (2.5) и (2.11).

Определение 2.4. Семейство множеств входных последователь­

условие (2.25) при р,- £ Pj, j £ J .

2. 3. Устойчивость установочных экспериментов

В работе [16] дана классификация экспериментов: безусловные и ус­ ловные, простые и кратные, диагностические и установочные.

Установочным является эксперимент, который решает следую­ щую установочную задачу: известно, что данный автомат Л, таблица

На эксперименты можно наложить новые ограничения и продол­ жить их классификацию.

Виды ограничений могут быть связаны с возникающими иногда

тельности определяется конечное (заключительное) состояние ав­ томата.

Пусть автомат Л является математической моделью некоторого реального устройства R. Приложению входной последовательности р к автомату Л соответствует осуществление некоторой кодирован­

ного устройства R (или кодирование ее символами из 10 проведено неправильно, то возникает необходимость решать следующую зада­ чу: известно, что исследуемый автомат является автоматом Л в со­ стоянии из множества состояний б р (50 ); требуется установить Л в известное состояние. Эта задача отлична от исходной установоч­ ной задачи только множеством начальных допустимых состояний. Но этого достаточно, чтобы в общем случае решать задачу заново,

Иногда может быть, что решение установочной задачи для мно­ жества допустимых начальных состояний S0 является также реше­ нием установочной задачи и для множества 6р (S0). Тогда, если вход­ ная последовательность р была установочной и соответствующая ей выходная последовательность была либо не зафиксирована, либо зафиксирована неверно, достаточно повторить эксперимент.

Рассмотрим простейшие свойства таких экспериментов. Обо­ значим:

Р (S) — множество всех подмножеств множества S; Xі (Y1) — г-я декартова степень множества X (Y).

Для автомата А определим отображение Tt:

Определение 2.5. Входная последовательность р называется' ус­ тойчивой относительно множества состояний S 0 c S автомата А, если

V| , і = і р і (Т (6, (S0 ), p,q)^T (S0, р, q)). (2.27)

Легко привести пример установочной задачи, которая не может быть решена с помощью устойчивой установочной последователь­ ности.

Так, для автомата Alt заданного табл. 8, не существует устой­ чивой установочной последовательности относительно множества

Определение 2.6. Входная последовательность р = р1 У о2 назы­ вается квазиустойчивой относительно множества состояний S0 cz S автомата А, если выполняется условие

Определение 2.7. Входная последовательность p называется ус­ тойчивой установочной последовательностью относительно множе­ ства состояний S0 с 5 автомата Л, если р — устойчивая и уста­ новочная относительно S0.

Пусть входная последовательность представлена в виде р =

— РіРіРгР2--- РпРп- Д л я выходной последовательности q = qxq2... qn> ігде \рі \ = I qt I и множеств состояний введем обозначения:

зиустойчивой установочной последовательностью относительно мно­

временные помехи, влияющие только на фиксирование или кодиро­ вание выходных последовательностей, устраняются повторением шагов эксперимента.

Рассмотрим некоторые свойства устойчивых последовательно­ стей.

Теорема 2.7. Необходимым условием устойчивости входной по­ следовательности р относительно множества состояний S0 cz S ав­

Этим доказывается, что из (2.26) следует (2.32).

Достаточным условием устойчивости входной последователь­

Это очевидно, так как при любых фиксированных р и q однозначное

Равенство (2.34) становится очевидным, если его правую часть представить в виде (2.26).

Легко видеть, что любая входная последовательность устойчива относительно множества всех состояний автомата.

Существуют автоматы, у которых некоторые входные последо­ вательности устойчивы только относительно множества всех со­

множестве бр , (50 ) может быть определено так, чтобы не выполня­ лось (2.32). Устойчивость входной последовательности p-j>2 накла­

схему построения последовательностей, для которых отрицается, связь устойчивости последовательности с устойчивостью ее частей.

Г л а в а З

Ч А С Т И Ч Н Ы Е Т Е С Т Ы ДЛЯ Р А С П О З Н А В А Н И Я А В Т О М А Т О В И З В Е С Т Н О Г О К Л А С С А

Взадачах классификации, таких как диагностика, распознавание образов и другие, иногда практически трудно выполнить отнесение некоторого объекта к одному или другому классу из-за нечеткости самой границы между классами и существования некоторой неопре­ деленности в группе признаков, определяющих тот или иной класс.

Всвязи с этим для разработки математического аппарата исследо­ вания задач такого типа Заде предложил отличную от классической интерпретацию принадлежности элемента множеству [53, 72, 73], взяв более широкое предикатное исчисление, в котором значения предиката не ограничиваются только крайними значениями истин­ ности, а образуют частично упорядоченное множество, в частном случае линейно упорядоченное множество. Множества, определяе­ мые предикатами такого типа, названы нечеткими множествами (fuzzy sets). Такой подход позволяет описывать многие важные си­ туации, когда принадлежность элемента множеству является ча­ стично неопределенной из-за отсутствия (часто принципиального) информации, которая могла бы снять эту неопределенность. Часто бывает важно изучить не всю возможную совокупность свойств некоторого объекта, а только подмножество наиболее интересных для исследователя свойств, каким-то образом упорядоченных внутри этого подмножества.

Задачи, возникающие в теории экспериментов с автоматами, яв­ ляются одним из примеров задач такого типа. Например, в задаче определения начального состояния автомата путем проведения эксперимента с ним перед началом эксперимента имеется неопре­ деленность относительно истинного начального состояния иссле­ дуемого автомата, которая снимается в процессе эксперимента. Ана­ логичная ситуация имеет место при распознавании автомата из известного класса. Если класс автоматов является исключительным [16], то неопределенность, имеющая место перед началом экспери­ мента, снимается при подаче на вход исследуемого автомата распо­ знающей последовательности. Если же на вход исследуемого авто­ мата подается последовательность, не являющаяся распознающей, то неопределенность может быть снята лишь частично. В главе 2 последовательность, распознающая автомат из известного класса, названа диагностическим тестом. Последовательность, по которой имеющая место неопределенность перед началом эксперимента мо­ жет быть снята лишь частично, назовем частично распознающей по-, следовательностью, или частичным тестом. В дальнейшем будет показано, что множество всех частичных тестов для распознавания автоматов известного класса допускает частичную упорядоченность.

Изучение свойств этого частично упорядоченного множества пред­ ставляет интерес как для создания методов построения тестов, так и для классификации тестов.

3. 1. В е к т о р ы различимости для класса автоматов

Как уже указывалось ранее, необходимым и достаточным условием возможности решения задачи распознавания автоматов известного класса (2.1) является исключительность этого класса. Условие ис­