Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов А.М. Эксперименты с автоматами

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

на Г меньше числа классов разбиения ФІ

Следовательно, длятого

чтобы на некотором /-м шаге выполнялось равенство ф'$ =

/, требует

ся ровно т — 1 шагов процедуры. Поскольку

в автомате А ровно

п состояний, то в процедуре П5 должно быть ровно

(т — 1) п +

шагов.

Теперь покажем, что на любом /-мшаге процедуры, / >- 1, всегда

найдется транслирующая

последовательность

и ее длина не

пре

восходит

mУ _—j

j - Очевидно,что ft = е.

Как

было показано

выше,

требуется

ровно т — 1 шагов для того, чтобы число классов

неко

торого разбиения Os уменьшить до 1. Следовательно, на /-м

шаге,

/ > - 1, найдется не более

состояний s, для которых выполня

ется

равенство

ф'$ = / .

Поскольку

автомат

сильносвязный,

то

п р и ф ' - 1 ФI

всегда найдется последовательность, переводящая авто

мат А

в состояние t, для которого ф / - 1

Ф I . Учитывая, что на /-м

шаге существует не более \

j состояний, для которых ф{~1

получаем, что длина ft не превосходит

Г і -

1 1

ут_у

Пусть

р — последовательность, построенная по

П5,

р,- - < р,

р,- — построена

на /-м шаге

процедуры. Из

описания

процедуры

следует,

что

s (J Т),

если

существует последовательность

р 1 (

для которой

рг

Xі < . pj,

s =

б (s0 , рх ),

И если х

— xit

то I =

/г . От

сюда вытекает, что для всех / имеет место соотношение

p J = i f t X < P / - ^ s

Т'х,

(1.17)

где s = б (s0 , p ; _ i f t ) . Индукцией по / покажем, что для всех / выпол няется соотношение

r{pl_1gi)

x-^s

(£

ТІ.

(1.18)

Пусть г (py _ift)

х.

Пусть

на

/-м шаге

ft =

е.

Тогда

P / - i f t

= p; -_2ft_i^f t +',

где

£ — наименьшее

целое,

для

которого

или

6 (s0 , p ; - _ 2 f t _ i ^ )

Т і - 2 , или б

(s0 , pj^2qi~xxk)

= 6 (s0 ,

p;_2ftLix'! )

для некоторого /г <

ft. В первом случае

s $

Г І - 2 , во втором случае s

удаляется из Т!Г'

на

(/—1)-м шаге. Следовательно, если ft

<?,

то (1.18) выполняется. Поскольку для

/ =

1 ft

<?, то

(1.18)

для

/= 1 выполняется. Пусть (1.18) выполняется для всех у, 1 < ; / - < / —

—1, покажем, что это соотношение выполняется и для j = /. Рас


смотрим случай		qj-фе.	Пусть	p / _ i f t = р'х,		для	некоторого	р',
и 6 (s0 , р') = t. Из описания процедуры П5 следует,							что Ф\|~' =	/ .
Тогда	найдется	такой h-й шаг,		/г <	/, что или г (pA _ift,) = л:, или
P/,^ift,x - < рЛ . В		первом случае		по	предположению		индукции і (£
(£	, во втором по соотношению (1.17) t					Г І - 1 -	Очевидно,	что
если t (£ Т1 *- 1 ,		то s =	б (t; х) (£	T'i- Следовательно, соотношение
(1,18) для случая / = Д а значит, и для всех /, выполняется.

Поскольку для любого s ф 5

О и Ф( /"~ ' "

/ , то для

каждого

перехода (s, х) найдется такой шаг /процедуры,

что или

Pi—\qjX

Pi,

или г (pj-iqi)

= х,

где s =

б (s0 ,

pi-iqi).

Тогда по

(1.17) —

(1.18)

s І

ТІ

и,

следовательно,

r f - " " =

0 .

Используя рассмотренные свойства процедуры П5, докажем сле

дующую

теорему.

Теорема

1.9.

Любая

последовательность,

построенная

по про

цедуре

П5,

является контрольной

последовательностью

для ав

томата

А.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть последовательность р построена

по

П5. Пусть

А'

(S', X,

б', X') —

произвольный

автомат,

у которого \ S' | •< п, и b £ S' — произвольное начальное

состояние

автомата

А'. Нужно

показать,

что X (s0 , р) =

X' (b,

р) ->

—

А'.

Пусть

X (s0,

р)

X' (Ь, р). Поскольку

[]Т(хт~1)п

= 0 , то для всех

і,

1 < : і <1 т,

существует взаимно

однозначное

отображение

ф/

множества 5

на 5', задаваемое

формулой

ф,- (s) =

d <-> X (s, х*1) —

X' (d, *'*)• Из описания

процедуры

(см. блоки

2 — 4

блок-схе

мы на рис. 6) следует,

что

для

фг

выполняется

соотношение

ф, (б (s,

Xt)) =

б' (ф, (s),

X,) Л ^ (S,

Х[) =

X' (ф, (s), x f ) . Для

того

чтобы показать равенство

А =

А'

и тем самым

доказать

теорему,

достаточно показать, что для всех і, /г, 1 < ; i,

h < ; m, ф,- =

фЛ .

Индукцией

по

докажем

соотношение

х,

л-Л (ф() -»- фг

(s) =

фл

(s).

(1.19)

Пусть

/ =

1 и

рх

= д : ? 1

+ ' ' Х 2 г +

' ' ,

где

р/ —

подпоследовательность

последовательности р, построенная на /-м шаге. Из описания

проце

дуры

следует,

что

найдется

такое

целое

fx,

что

б (s0,

x\l+kl)

б (s0 , x\1+fl)

s для

некоторого

s £ S.

Поскольку

X (s0 , p) =

= X'(b , p) и последовательность

Xi'—диагностическая

для

А,

то

б' (ф! (s0 ), хі, + *1 )

б' (ф (s0 ), ^ I +

f l )

ф! (s) =

y2(s).

На первом

шаге существует только одна пара

(Xj, х2 )

входных

сигналов,

для

которой хг

Ф х 2

и хх

х 2 (Фз).

Следовательно,

для

/ =

соотношение

(1.19)

выполняется.

Пусть для всех /,

1 < ; / < ; q — 1, соотношение

(1.19) выполняется.

Пусть

pj =

p j - x q j X l ' +

k i ,

б (s„,

P/_i?y)

t =

б (s0 ,

где

р'л;Л

pj-iqj.

Покажем,

что для (xh,

xt)

соотношение

(1.19)

выполняется. Из

описания

процедуры

следует,

что

ф,, (б (s0 , р')) =

б' (Ь,

р'),

тогда

Фа (s) = фй

(б (s0 , р'хЛ ))

б' (фЛ

(б (s0 , р')), х„) =

б' (6,

p'xh).

Из

определения отображения ф; имеем:

ф„ (s) =

б' (Ь, р'х^) =

ф£

(s).

Следовательно, для (xh,

х()

соотношение (1.19) выполняется. Напом

ним, что Ф'$

= Ф І - 1

(xh, xt).

Пусть

Кь

/С,- — классы

разбиения

ФІ~\

содержащие

элементы

соответственно. По

предгіо-

ложению	индукции, для	всех хс ИЗ Кп Ц>с (s )	= Фй (s ) и для	всех
xf из Ki	q>f (s) = ф,- (s).	Поскольку фй (s) = ф,	(s), то для всех хс	sa

=jfy (ф|) фе (s) = ф^ (s), т. е. для j = g соотношение (1.19) выпол

няется. Следовательно,

для

всех

/',

1 - < / •< (т —

1) п,

соотноше

ние (1.19) выполняется. Из того, что для всех s O f - "

" =

вытекает,

что для i, h, ф, =

ф„. Значит, Л =

Л', что и требовалось доказать.

Оценим длину последовательности р, построенной по П5. Эта

последовательность состоит из трех компонент:

1) на каждом /-м, 0 - < /, шаге процедуры р,- оканчивается последо

вательностью х[1,

и таких

шагов

(m —

1) п +

2) на каждом /-м шаге, 1 •< /, к последовательности

p / _ i припи

сывается последовательность

q-t

длины d (qfi

•< ^ " ^ ^ j ;

3) перед удалением состояния

s из множества

Т'х~1

на у'-м шаге,

О •< /,

последовательности,

построенной

ранее,

приписывается

символ

х.

Отсюда

следует,

что длина

последовательности,

построенной

по П5, не превосходит

(m—

1) п(п — 1)

mn +

((т. — 1) п +

1) L m a

(1.20)

и не короче

(1.21)

тп +

{(т—

l ) f t +

l ) L r a i

n ,

где

п =

\S\, т =

\Х\,

L m

a x

max/,-

(m—\)n(n—

(Ш—1) n

•f-min

= min

l£,

—

m— 1

/ = 1

Если для всех і, h, 1 - < і,

h < : m, /(

/,,, то оценки (1.20), (1.21)

совпадают с оценками (1.15), (1.16) соответственно.

Рассмотрим примеры, показывающие достижимость оценок (1.20)

и (1.21).

Т а б л и ц а

Х1

Хо

. . .

Хт

Х-1

х% . . .

хт

. . .

Пусть автомат Л5 задан табл. 6. Последовательность х,

где л; —

произвольное,

является

для

него

диагностической.

Пусть

s0 = 3.

В случае, если т =

3,хг

0,х2

\,х3

2, по процедуреП5стро

ится последовательность р =

О6 12 22 01а 022 02 12 0а 22 03 13 03 12

длины 33,

равной оценке (1.20). Легко

видеть, что

оценка

(1.20)

достижима

для

всех

т >• 1 для Л5.

Пусть автомат Л6 задан табл. 6.

Последовательность х

является

для

автомата

Л6 диагностической.

Пусть

1. В

случае, когда

т — 2, хг = О, х.г = 1, по процедуре П5 строится последователь ность р = 03 13 03 13 0, длина которой равна 13 и совпадает со значе нием (1.21). Легко видеть, что оценка (1.21) для заданного автомата достижима при всех т > 1.

Покажем, что с помощью процедуры П5 для некоторых автома тов можно построить более короткие контрольные последователь ности, чем с помощью процедуры П4. Пусть автомат задан табл. 7

							Т а б л и ц а	7
	* i	X.,			*1
1	2	1	. , .	I	0	0		0
2	2	3	. , .	3	1	1	...	1
3	4	3	• • •	3	2	2		2
4	4	1		1	3	3		3
							—
и s 0 = i .	Выберем	диагностическую				последовательность 2 =			0
и по процедуре П4 построим контрольную последовательность р									=

= 0310310110110 длины 15. Эта последовательность длиннее последо вательности, построенной в предыдущем примере.

Г л а в а 2

Э К С П Е Р И М Е Н Т Ы П О Р А С П О З Н А В А Н И Ю А В Т О М А Т О В И З В Е С Т Н О Г О К Л А С С А

Такие этапы эксперимента, как приложение входных последова тельностей и наблюдение получаемых выходных последовательнос тей конечного автомата, являются вполне однозначными, в то время как этап вывода заключений требует уточнения. Если не дать точ ной формулировки правил вывода заключений, то без этого понятие эксперимента, в силу своей нестрогости, не может быть предметом математического исследования. Правила вывода должны учитывать типы конечных автоматов, средства экспериментатора и цель, к кото рой он стремится, реализуя эксперимент с автоматом.

С помощью эксперимента можно различить законы функциони рования, которые в модели конечного автомата задаются функция


ми переходов состояний и выходов.
Средства		экспериментатора определяются возможностями				экс
периментов:		приложениями входных последовательностей Pi,				Pi,...
pb и фиксированием соответствующих выходных				последователь
ностей	ди д2,	qk. Если полученное соответствие		между pt		и qt
при і =	1, k	не совместимо с законом функционирования автомата
А, то будем считать, что данный			вариант эксперимента		исключает
автомат	А. Будем считать также,		что цели, к которым		стремится

экспериментатор при проведении эксперимента с автоматами, опре

деляются следующими задачами.			класс автоматов { Л ^ / ,
З а д а ч а		к о н т р о л я : задан
где / =	(1, 2,	п), и автомат А0. Требуется построить эксперимент,
каждый	вариант которого исключает		все автоматы Л,	при 7 £ I
и совместим с автоматом Л0 , или исключает автомат Л0 .				З а д а ч а
д и а г н о з а :		задан класс автоматов	{Л,-}^;. Требуется	построить

эксперимент, для каждого варианта которого существует одно и

только одно / такое, что			данный вариант эксперимента исключает
все автоматы Ап		где і Ф	j и і £ I , и совместим с автоматом Л/.
2.1.	Правила	вывода	заключений
при	безусловном э к с п е р и м е н т е

Сформулируем правила вывода заключений при безусловном прос том эксперименте для случая решения задачи диагноза.

Пусть задан класс	абстрактных	автоматов
{At}i£l	= {(Sh X,	Y, б , - Д ; ) Ь	.	(2.1)

и известно, что исследуемый в процессе эксперимента автомат явля ется одним из автоматов класса. Пусть при проведении экспери мента к исследуемому автомату приложена входная последователь ность р и зафиксирована соответствующая ей выходная последова тельность q.

Какой вывод, связанный с решением диагностической задачи, может быть сделан на основе этой информации?

Во-первых, заключение, что каждый автомат Л; класса до при ложения входной последовательности р был в некотором состоянии


из множества	с : Sh	где	— множество всех тех		состояний s,
для которых	\ (s, р) =	q. Таким образом, определяется семейство
множеств допустимых		начальных		состояний	совместимое
с реализацией	пары последовательностей (р, q). При				этом некото
рые множества Si могут оказаться				пустыми.

Во-вторых, можно утверждать, что каждый автомат Л,- после приложения входной последовательности р находится в некотором состоянии из множества St = \j 8t (s, р). Так определяется семей-

s£S.

ство множеств допустимых конечных состояний {5,- },-£/. Знание этого семейства множеств необходимо для продолжения эксперимен та, если не все варианты исходов эксперимента с входной после довательностью р однозначно определяют все автоматы .класса. Зная семейство множеств (S,-},•£;, соответствующее паре последо вательностей (р, q), можно установить, определяется ли однознач но этой парой некоторый автомат из класса. Если семейства мно жеств {S/}fg/ известны для всех возможных пар последовательнос тей (р, qt), где d (qt) = d (р), то этого достаточно, чтобы устано-

вить, решается ли диагностическая задача приложением входной последовательности р.

Сделаем ряд предварительных замечаний и доказательств. Необходимыми и достаточными условиями разрешимости диагности ческой задачи для класса автоматов (2.1) является исключительность класса [16].

По определению [16] класс автоматов (2.1) является исключитель

ным, если
V W Y s £ S i V t £ S i З , (1, (5, р) Ф %І(t, р)).	(2.2)

В силу важности результата Гилла для дальнейшего изложения

докажем

его.

Лемма 2.1 .

V « V s e s , V j e

S /

3 p

(X, (s, p) ф

%j (s, p)) <-У

^pV^iYsQs.Vl£Sj(K(s,

P) Ф h(s,

P)).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Импликация влево следует из форму

лы 3xVyP

(х, у)

V t f 3 x P

(х, у).

Докажем импликацию

вправо.

Пусть выполняется левая часть эквивалентности (2.3). Предпо

ложим, что для каждого і £ I

=• {s [,

s'2, ....

sln.) и

/ =

{1, 2,...

N).

Обозначим через p

(s\, si) последовательность,

для

которой

X1 (s}, p(s\, s2)) ф A-2(sf, p(s{, s2)).

Чтобы

построить

последователь

ность p(s\, s2, si), на которой

состояние si отличается

от состояний

si и si,

достаточно

к последовательности р

(s{, s2)

приписать

справа

последовательность, на которой отличаются состояния

61 (sJ, p(s\,

si))

и б2

(si,

р (si, sf)). Если

теперь

последовательности

p(s\,s2,sl)

справа

приписать

последовательность,

на которой

различаются

состояния 6x (sl, p(sl, sf, si))

62(s|, p(s{, sf, si)),

то

получим

по

следовательность p =

(sj, s2,

si, S3),

на которой состояние si

отлича

ется

от

состояний

si,

s2 и

s|.

Так

строится

последовательность

р (s\,s2\,

si,

si,),

на которой

состояние

s\ отличается от s\, s2, ...

s2..

Возможность аналогичных построений для каждого состояния

каждого автомата

показывает,

что

ЧІФІVses,

3 в Y - £ S . ( К (s, Р) Ф h(s,

Р)).

Последовательность р (s\, s\, s2,

si,

...

, s2ni),

на которой состояния s\

и s\ отличаются от состояний s2,

si,

... , s2ni,

можно построить, при

писав к последовательности р (s\, s

, ...

s^)

последовательность,

на

которой

состояние

бх

(4, p(sl, s], s|,

. . . ,

s2n,)) отличается

от

состояний

s2,

si,

...

s2n„.

Так

строится

последовательность

p(s\,

si,

...

s'„t, s], si,

...

s2n!), на которой состояния su s2

s„,

отличаются

от состояний s2,

si,

s~n,.

Возможность аналогичных построений для каждой пары автома тов доказывает, что

V W

Э р

Ys£S.

V I £ S

. (A* (s, р) Ф %, (s,

р)).

Обозначим

рц

р (sj, s'2,

sA., s{,

si,).

Тогда

на

последо

вательности

р =

р1 2 Різ ••• P\Npi3Pn

••• P2N ... PN—I, N

будет

отли

чаться каждая пара

автоматов.

Лемма доказана.

Лемма 2.2. Пусть выделен некоторый

индекс

I ,

который

равен

нулю.

Тогда

ViVflVses.

3 „ (\

(s, р) ф

Xt ( I р)) **

„ V M O V s e

s 0

V - S E S F

(Я0 (s,

р)

* A,,, (s, р)).

(2.4)

Лемма 2.2 является следствием леммы 2.1.

Введем

следующие

обозначения:

Sfx

= {s £ 5,1

Хс

(s, х) = у),

5AV =

U S

§X(S)*=U{

e,(s,

JC)),

(2.5)

ф (Si t Sx,

...

xk,

y1...yk)

(6«_,(- •. (6,,(б„ (5?;) n

S*;) . . . )

S?*)).

(2.6)

Имеет место следующая теорема.

. Теорема

2.1.

Диагностическая

задача

для

класса

автоматов

(2.1)

решается с помощью входной последовательностир

— хгх2

... xk

тогда

и только тогда,

когда выполняется условие

V,,... yk

3 , (Ф & ,

l . . .

xk,

у,...ук)с

SJ.

(2.7)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем,

что для

класса

абстракт

ных автоматов условие исключительности (2.2) эквивалентно сле

дующему

соотношению:

3 . . . Х/г

V* ...

yk 3 , (Ф (6Х .

х х . . .

У і

. . . yk)

cz Sd.

(2.8)

Рассмотрим импликацию вправо. Пусть (2.8) не выполняется.

Это означает, что для любой входной последовательности

хг...хк

найдется такая выходная последовательность у^.-.уь,

что при

не

которых і и

на равных между собой,

существуют s

£ 5 г и s £

Sj,

для которых

справедливо включение:

{5,

cz ф(6д ,

Sx, хг

.. . xk,y1

... yk).

Из этого

включения

следует,

что

имеются

£ Si и

Sj £ Sj

такие,

что Xt (sl7

xk)

= Xj (s^ xk) =

ykH

{sv

~sj) cz Ф (Sx,

Sx, xx ...

xk,

уг

... yk).

Отсюда получаем, что

3 s s 6 S , . 3 s - i 6 S / ( M s 2 , *ft-l**) = М « * Хк-іХД Л {«2> s2] cz

CZ Ф (б,, Syx, Хг . . . XK-2, Уі, ••• Ук-2))-

Рассуждая	аналогично, доказываем справедливость утверждения
V*.... хк 3	ІФІ 3 s 6 S . 3 - e s . (Я,, (s, * ! . . . * * ) = X/ (s, X! . .. xf t )). (2.9)

Применением леммы 2.1 заканчивается доказательство импли кации вправо.

Пусть теперь имеет место (2.9). Автоматы предполагаются всюду определенными, а входные последовательности — принадле

жащими множеству	всех	последовательностей из						X*. Получаем
Vxt... xk 3 іфі З S£S. З - £ S 3 У і				... ^	(A,,- (S,			=
=	Я/(я, jfx		. . . хА )	=	г/1 . . .	t/f t ).
Из того, что Я,,- (s, х х ... xf t )		=	Я,/ (s^ хг...		xk) =	ух...	ук,	следует щепоч
ка включений:
			{s, і) cz	S£,
{б,- (s, JCJ), б/ (s, ХІ)} cz Ф (8Х, S£, ДГі^г,							угу2),

{6t (S, * х	. . . Xk-i),	6,(s, л-х	. . . **_,)} cz
с т ф ( б х ,	SS, Л'і . . .	xk,yx	...

Используя последнее включение, получаем отрицание (2.8), что за

вершает доказательство		теоремы.
Следствие	2.1.	Диагностическая		задача		для класса		авто
матов (2.1) с множеством начальных допустимых состояний Sl0								cz S;
решается с помощью входной последовательности р						=	хххг... xk	тогда
и только тогда, когда выполняется условие
V* ... ч	Э (Ф	S'x, х1...хк,у1		...	ук)	cz	S^,	(2.10.)
где
Sx\ = s0 л S5;, S0 =		U Sa,	=	/ =	2,	. . . , k.		(2.11)

'Є' Следствие очевидно. Заметим, что условие исключительности (2.2)

не учитывает множеств начальных допустимых состоянии {Si 0 }t£/. В условии (2.10) эти множества учтены в форме (2.11). Условие (2.7) является частным случаем условия (2.10).

Таким образом, выражение	(2.10)	определяет правила вывода,
и исходными данными для них являются S0 и
{(S,, X,	Y, 6t,	kt)}t£i.

При приложении к исследуемому автомату входного сигнала ху и при фиксировании выходного сигнала ух можно определить мно жество допустимых начальных состояний Si и множество допусти мых конечных состояний Si'.

Si = S0 П S?;, Si = 6,, (Si) = бЛ. (S0 П SS|).

(2.12)

Следовательно, первый этап правил вывода определяется вы ражением б,г, (S„ 0 Sxl) и состоит из последовательности действий:

1)определение Sx\;

2)определение Sj;

3)определение S X L (S|);

4) проверка условия	(2.10)	Э< (Ф (5Х,	S'i, хх,	ух)	aSt);
5) определение конкретного индекса і.
В случае выполнения	условия (2.10)		делается вывод, что			ис
следуемый автомат является		автоматом	At из	класса	(2.1).	При

этом существенно используется предположение, что исследуемый автомат обязательно является одним из автоматов класса (2.1). Если условие (2.10) не выполняется, то необходимо продолжать эксперимент. Это основывается на предположении, что задача диаг ноза имеет положительное решение.

Второй этап правил вывода определяется выражением &Xt (Sif)

ПSx:j и состоит из тех же пунктов, что и первый этап.

Вобщем случае 1-й этап правил вывода будет определяться выражением Ъх, (S/_i (] S'JJ). Наличие пунктов 4 и 5 в этапах пра-

вил вывода делает процедуру вывода условной и позволяет в ряде случаев получить искомый вывод за I этапов, где / < ; k. При этом результат эксперимента используется не полностью. Процедуру вывода можно изменить и сделать ее безусловной, если сохранить

пункты 1—3 и повторять их k раз, вычисляя 5*, (Si), 6*. (S2), ...

$xk(Sk)i и только после этого осуществить проверку условия

(2.10), введя пункты 4,5.

Правила вывода, определяемые выражением (2.10), не являются единственно возможными.

Однако любые правила вывода, которые могут быть использованы при решении диагностической задачи, находятся с правилами вы вода (2.10) в следующем соответствии: если в результате анализа пары (х1... xk, у1... yk) с применением других правил вывода полу чено заключение, что исследуемый автомат является автоматом Ah то это же заключение получается и при анализе некоторой пары начальных отрезков последовательностей: (xxxs ... xt, ухуг ... yt)„ где t -< k, с применением правил вывода (2.10).

Теорема 2.2. Для класса абстрактных		автоматов (2.1)		условие
исключительности (2.2)	эквивалентно следующему		условию:
V**/ Vs£S, V-seS/	3 р х (К (б, (S, /7), X)	^ (6,(5,	р), X)).	(2.13)

Теорема очевидна.

Используя (2.10), формализуем понятие простого безусловного теста.

Определение 2.1. Входную последовательность р = х^х2...

... xk будем называть простым безусловным диагностическим тестом для класса автоматов (2.1) относительно семейства множеств на чальных допустимых состояний {Sf0},•£/, если выполняется (2.10).

Перейдем к определению правил вывода для решения задачи контроля.

Предварительно заметим, что если решается диагностическая задача для класса автоматов (2.1) приложением входной последо вательности р — x1x2...xk, то решается и задача контроля относи тельно любого выделенного автомата из этого класса. Но задача контроля может быть решена независимо, а иногда и при отсутствии положительного решения диагностической задачи.

Условие решения задачи контроля для класса абстрактных ав томатов формулируется следующим образом [16]. Чтобы автомат Л 0 можно было отличить с помощью эксперимента от любого автомата

класса (Л,-},-£/,	необходимо и достаточно, чтобы при	любом	і £ I
пара автоматов	(Л0 , Л,-) составляла исключительный	класс,	т. е.
V < = o Y s e s 0 V 7 e s . З р (Х0 (s, р) Ф %t (і, р)).			(2.14)

В самом деле, если pol — простые безусловные диагностические тесты для соответствующих пар автоматов по всем і £ / , то задача контроля решается приложением последовательности, в которую

входят

все

ры.

Теорема

2.3. Задача

контроля

для

класса

автоматов

(2.1)

относительно

автомата

А0

(S0 ,

б0 , Х0) решается

с по

мощью

входной

последовательности

р =

ххх2

...xk

тогда и только

тогда,

когда выполняется условие

V»,... yk (Ф (б~

Syx,

хх ...

xk,yx

...

yk)

V Ф (Ь~х, S'i,X l

...

xk,y, ...

yk)

n S o

0 ) .

(2.15)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Требуется показать,

что

(2.14)

экви-'

валентно (2.15). Пусть (2.15) не выполняется. Это означает, что

для любой	входной последовательности ххх2...				xk существуют такие
УіУ2---Уь>1	Ф 0. ч € S0 , Sj Є Sh что
	{sl t	sx }	cz ф (8,, Syx, X l	... хк,ух	... yk).
Отсюда следует,		что	существуют	s2 £ S 0 и	s2 £ Sit для которых
( s 2 > xk) = \ (s2, xk) = yk, и

{s2 , s2} cr Ф(бл ., S'i, Xj. ... Xk-\, Уі • • • Ук-\).

2 - 1 6 8 6

4 9

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ