Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов А.М. Эксперименты с автоматами

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Обозначим через К0 (ф) (Кы (ф)) класс всех оптимальных (макси мальных) эквивалентностей для заданного ф. Очевидно, что К0 (ф) s

£Кы (Ф).

Введем необходимые обозначения. Пусть ф' — дополнение отно

шения ф, \|ф' \| = 21, В = р^ф', \ В\ — k. Каждой		эквивалентности
л	поставим во взаимно однозначное соответствие	разбиение П =
=	{Л (О)} a£N-

Пусть л £ Км (ф) Для некоторого ф. Оценим число г классов эквивалентности л. Пусть С — наименьшее по мощности множество,'


для которого выполняется соотношение С X С g									<р' (J iN,	где Ц/ —
тождественное преобразование множества N. Очевидно, что
где «	=	\| С\|.			k > г >		и,

Теорема 8.2. Для любого отношения ф и любой эквивалентности
п £ Кы		(ф) число г классов эквивалентности не превосходит величины
d, где d — наибольшее					целое, для которого d (d — 1) < ; 2t.
Д о к а з а т е л ь с т в о .						Произвольно		зафиксируем		ф.	При
ф' =	0	теорема		очевидна.		Пусть	ф' Ф 0 .	Очевидно,		что	k х
x(k	— 1) >		2t. Следовательно, k >				d. При	k = d 21 =		k (k — 1)
и для всех a, b £ В, а Ф b, (а, Ь) £ ф'. Следовательно, ни одна											пара
a, b £ В, а Ф			Ь,	не может находиться в одном классе эквивалент
ности л £ Кк			(ф).	С	другой	стороны, в силу			максимальности л,

нет классов эквивалентности, не содержащих элементов из В. Зна чит г = d. Из максимальности л следует, что для каждой пары раз

личных классов Ki,		Kj	£ П, существует пара (а, Ь) £ ф', для		кото
рой а £ Kt, b £	Kj-	Число		неупорядоченных nap различных	клас
сов из П равно	Г^Г	2	^ и	н е превосходит величины t. При г > d

число d?- не является наибольшим числом, для которого d (d — 1) < ;

<2t. Значит, г <; d.

Следствие 6.2. Для всех отношений ф для числа г классов произ вольной эквивалентности я £ Кы (ф) выполняется неравенство

(6.3)

где [і] — целая часть числа і.

Зафиксируем отношение ф. Пусть множество N упорядочено на туральным образом. Рассмотрим следующий алгоритм.

Алгоритм		А\.
1.	Кх : =	{1}; К2	••=••• :=Ка:=	0 ;	s: = 2 .
2.	Если s > п, то		конец вычислений,		иначе переходим к п. 3.

3./ : = 1.

4.Если (k, s) £ ф для всех k £ Kj, то переходим к п. 5, иначе переходим к п. 7.

5.	Kj	'• =		Kj U [s).
6.	s: =		s +		1	и переходим к п. 2.
7.	/ :	=	/	+	1.

8.	Если	Kj =	0 , то переходим к п. 9, иначе переходим к п.	4.
9.	К/: =	{s}	и переходим к п. 6.
В	результате		работы алгоритма Л1 получаем разбиение П	=


= (К\,	Кг),	где г — наибольший номер непустого класса.
Запись П =		{/Єї,	Кг) в дальнейшем будет означать, что		клас
сы разбиения неупорядочены, а запись П = (ky,				kr) — что	клас

сы занумерованы в порядке их построения алгоритмом Л1. Анало

гично, через Kt

\К\, •••,/C's.J

будем

обозначать

класс, в

котором

элементы

неупорядочены и

через

К І =

[k\,

k's) — класс, в ко

тором элементы пронумерованы в порядке их

занесения в класс /С,-.

Пусть М

(а1г

ап) — некоторая перестановка множества N.

Разбиение П, полученное алгоритмом А\ из перестановки

М,

обо

значим через

П (М,

ф). Эквивалентность,

соответствующую

раз

биению П (М,

ф), обозначим через я (М, ц>).

Теорема

6.3. Эквивалентность я

(М,

(р) максимальна

для

всех

отношений

ф и перестановок

М.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

М произвольны.

Пусть

П == П (М,

ф) =

(Ki,

КГ). Из

п. 4 алгоритма А\ следует,

что

ф.

Пусть

Пл =

{/?д,

RV]

—разбиение,

не

равное

П и

Я! Е Ф- Пусть і <с /

и К( U К/ є

R;- Рассмотрим работу

алгорит

ма Л1, когда s =

k{-

Поскольку

s ^

Kt,

то (s, b)

£ ф'

для

некото

рого b £ КІ-

другой стороны,

b £ R„

значит,' (5,

b) £ ф. Сле

довательно, я максимальна и теорема доказана.

Класс всех эквивалентностей

я (М, ф) для некоторого

отноше

ния ф обозначим

через К А (ф)- По теореме 6.3 КА

(ф) s

Км (ф) для

всех ф.

Пусть для произвольного отношения ф и произвольной

переста

новки М

П (М, ф) =

(Ki,

Кг)-

Имеет место следующая лемма.

Лемма 6.3.

1. Если для всех

b £ К І

(а,

Ь) £ ф, то а £

U К/.

6) €

Ф, то а £ К\, т. е.

/=і

Если для всех

b £ N (а,

N^— В s

Ку

3. Если k Ф

0, то | К\ | >

п — k +

4. Если множество N — В не включается ни в какой класс макси

мальной эквивалентности я, то я

/Сл (ф)-

ф' ф

г >

S+1

|ф [а) \ =

а £

U /С/.

Пункты

/=і

вытекают из описания

1, 2, 5, 6 леммы непосредственно

алгоритма Л1. Пункты 3 и 4 следуют из пункта 2 леммы.

Рассмотрим следующий вопрос: для всякого ли отношения Ф

существует такая перестановка М,

из которой с помощью алгоритма

Л1

строится

оптимальная эквивалентность.

Положительный

ответ

на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 6.4. Для всех отношений ц> существует такая переста

новка М,

что л (М, ф) — оптимальна.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

зафиксировано

некоторое

от

ношение

я 2

— оптимальная

эквивалентность,

для

которой

9»

131

ГЕї =

{ L l t

L v ) и L t =

{/J,

Рассмотрим

следуквдую

пере

становку: M

(/',,

.... ll„

ІІ

'llj. Пусть П (М,

ф) =

(/Сх, ...,AV).

Покажем, что г < ; и. Для этого достаточно показать, что

а £ L, - V

а Є

/<",.

(6.4)

Рассмотрим работу алгоритма Л1 при построении П (М,

ф). Очевид

но, что /{ £ Kv

Пусть

(6.4) выполняется для всех элементов

пере

становки М,

предшествующих

элементу 1'и. Пусть s =

1ц

и на пре

дыдущих шагах алгоритма Л1 построены классы

К\,

КІ

Если

Ki — 0 и s не может быть помещено в классы К[

КЇ—і, то

s по

мещается в КІ по пункту 9 алгоритма. Если /С,- ф

и s не

может

быть

помещено

/<",-,

то

значит

есть b £

КІ, для

которого

{b, s)

£ ф'. Поскольку,

по

предположению, ^

Ljj

(

^/ )>

то b £ L c , что

противоречит

я s

ф. Следовательно, /L Є

Я"/-

Отсюда вытекает,, что г •< и, т. е.

/=і

что я (Л4, ф) — оптимальна.

Теорема 6.4. позволяет свести задачу отыскания оптимальной

эквивалентности

к задаче отыскания такой перестановки М,

для

которой я (М,

ф) £

Ко (ф). В связи с этим возникает вопрос

об опи

сании множества таких перестановок, для которых алгоритм Л1 дает одно и то же разбиение.

Пусть ф и М произвольны, П (ЛЇ, ф) =		(Ki,	Kr), [а\	a'Sl) —
произвольная перестановка	класса К/ и	L = (а\	alt, а\, .... oQ.
Тогда выполняется следующая лемма.
Лемма 6.4. я (М, ф) =	я ( L , ф).
Д о к а з а т е л ь с т в о	этой леммы почти дословно			повторяет

доказательство теоремы 6.4-

В теореме 6.3 было показано,что КА (ф) S КМ (ф) для всех ф. Следующая теорема указывает некоторое множество отношений ф, для которых К А (ф) с : Км (ф).


Теорема 6.5. Для всех ф, для				которых			ц>' ф 0	и \| N — В \| >• 2,
и для всякой эквивалентности я				£	К А (ф)		существует максимальная
эквивалентность щ ^		К А (ф) С тел* же числом классов.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть			ф — произвольное отношение,
для	которого ф' Ф 0	и \N — В \ >				2.	Пусть П =	(/("і,		Д"г) —
произвольное разбиение, построенное по алгоритму								А\.		Построим
разбиение П.! = [К{,		Кг),		У	которого Д"! = Кх—				{a}, Ki		=
= Кг	U {а}, /С/ ==-/Cf,	3 <	і <	г,	где а £ N — В.			Из		пункта	4
леммы 6.3 следует, что я х ^			/С,4 (ф)- Очевидно, что я х					—	максималь
ная эквивалентность. Таким образом, теорема доказана.

Теорема 6.5 указывает такие отношения ср, для которых не все оптимальные эквивалентности могут быть построены с помощью

алгоритма

Лемма

6 . 5 . Пусть ср •=/= N X N и для каждой пары

(а, Ь) £ ср'

выполняется

| Ф » | > 1 ^ | Ф ' ( * > ) | = 1.

( 6 . 5 )

Тогда

для любой перестановки

эквивалентность я (М,

ф) имеет

два класса и оптимальна.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть П = П (М,

ср) = (А^,

/<"г)

для некоторой перестановки М

— (аъ

ап). Из п. 5 леммы 6.3 сле

дует,

что

г >

Покажем,

что

N s

Кх

U К2- Очевидно,

что

аі

Є К\ U К2-

Пусть L =

(аъ

а,) и L £

/С] U К2. Покажем, что

АГІ U /С2. Если | L П Ф' <А-ы) | <

1 .

то

£ ~Кг U АГА- Пусть

L[)q>'

(аж)

(^ii

b()

и а / + 1 gf

АТхТогда, в силу (6.5),

по

алго

ритму А1 элементы Ь1г

Ь{ помещены

в /Са и,

значит, ai+\ £

К2-

Следовательно,

г =

Лемма определяет множество отношений ф, для которых К А (ф) £

Ка

(ср), т. е. в этом случае

с помощью алгоритма А\ строятся

только оптимальные эквивалентности. Заметим,

что при этом

мощ

ность класса КА (ф) может быть больше единицы. Следующая лемма показывает, что для некоторых отношений ф со свойством, указанным

в	лемме 6.5, существуют эквивалентности с	как угодно большим
числом классов.
	Л емма 6 . 6 . Для любого натурального числа	существует множест
во N (отношение ц> N X N и максимальная эквивалентность ге £
£	К А (ф)), число классов которой больше с.
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Зафиксируем	число с. Пусть N =

=(1, 2п), где п = -^-с (с + 1). Построим отношение ф по следую


щему	правилу: ф' =		{(2t — l,2i),	(2t, 2i — 1)}! ^ , ^„.Возьмем					из ./V
первые 2с		элементов	и положим,	что	Кх — (1, 3, 5,			2с— 1},
К2 =	(2),	/<з = (4),	Kc+i = {2с}. Затем возьмем следующие
2 (с —	1) элементов,		все нечетные выбранные элементы поместим
в К2,	первый четный		поместим в К3,		второй	— в АГ4	и	так далее.
Последний нечетный элемент из выбранных						поместим	в Кс+\- Про
должая построение таким образом и далее, за с шагов								исчерпаем
все множество N. Легко видеть, что эквивалентность л,							соответству
ющая	построенному		разбиению,	является		максимальной,			имеет

с - f 1 класс и по лемме 6.5 не может быть построена с помощью алго ритма А1. Лемма доказана.

Для того чтобы оценить число классов эквивалентностей, постро енных с помощью алгоритма А\, проведем вспомогательные построе

ния.	Пусть зафиксированы			некоторое отношение ср и перестановка
М =	(ах,	ап). Пусть		по алгоритму	Л1	построено		разбиение
(К и	КГ) и г > 2.		Выберем пару i, j ,		1 <	і <	/ < г,	и построим
отношение ф,7 = Ф U			(Кц	X Ки), где К и = К і (J			Kj-
Пусть П,-/ =		П (М,	фо). Очевидна следующая лемма.

Лемма 6.7. П у = (Kt,		Ki-u КЦ, К,+и			.... КГ).
Оценим число классов эквивалентности, построенной по алго
ритму ЛІ.
Теорема 6.6. Для всех отношений <р на множестве N число классов
произвольной жвивалентности			из К А (ф)	не превосходит
	/	-	4 + 2.				(6.6)
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Очевидно,		что	для	всех	отношении
выполняется неравенство	До			k	, где	k	наимень-
выполняется неравенство				2	, где	2	наимень-
шее целое, для которого	>		4-. п Р и t	= .	k_
шее целое, для которого	>		4-. п Р и t	= .	2 . в ы п о л н я е т с я COOT-

					Т а б л и ц а				37	ношение		(6.5) и по лемме 6.5
1	2	3	4	5		6	7	8		число	классов				любой			эквива
										лентности-из К А (ф) равно									2, т. е.
0	0	0	1	0		0	0	0	1	(6.6)	выполняется.						Предполо
										жим, что для всех отношений										ф ь
	0	0	0	1		0	0	0	2	у которых tt				меньше некоторого
		0	0	0		0	0	0	3
			0	0		0	1	0	4	фиксированного					/ >		-\|-		,	со
				0		0	0	0	5	отношение			(6.6)			выполняется.
						0	0	1	6
							0	0	7	Пусть для			некоторого					отноше
								0	8	ния	ф t =		/.		Поскольку				при
										k = 0 и k =				2	теорема			очевид-
на, а случай k					1 невозможен, то можно считать, что k >• 3. Пусть
М — произвольная						перестановка				и П~ (М,Кф) =г				(/С)1;			.		При
г <;	2	неравенство				(6.6)		выполняется.			Пусть			г		> 3.	Положим
t =	г — 1, / =			г и по алгоритму А1 построим разбиение П (М,															ф,у)	=
= П,; , которое в силу							леммы 6.7			имеет	г —	1 класс.				Из	определе
ния		-;			что		ргх ф' =		рг^р,-; и tii <z			t.	По		предположению
	ф,Ф7 следует,						2. значит г < ; t				\|- +		2.		Таким			образом,
	1	< 4 7 - 4			+
соотношение (6.6) выполняется для всех ф.														оценка (6.6)					может
Заметим, что при одном и том же значении t

быть меньше или больше оценки (6.3), в зависимости от величины k. Рассмотрим пример, показывающий достижимость оценки (6.6).

Пусть отношение ф задано табл. 37, в которой ait						=	1, если	(І, /) £
£	ф'. Для		этого отношения	^	~ + 2J = 3 .	Из перестановки
N	=	(1, ....	8) по алгоритму	Л1 строится разбиение П (N,				ф) =
=	а,	2, 3,	6; 4, 5, 8, ; 7}, у	которого три класса,			Следовательно,

оценка (6.6) достижима. Эквивалентность л (N, ц>) не является опти

мальной, поскольку из	перестановки М = (8, 7,	1)	по алгоритму
Л1 строится разбиение	П (М, ф) = {8, 7, 5, З, 1; 6, 4,		2}.


6.4.	Модифицированная			задача
с и н т е з а расширений автомата
Пусть	задан	автомат А — (S, X, Y, 6, Ц и отношение							эквивалент
ности	со на	множестве 5.		Пусть	для	последовательности р £ X*
задано	натуральное		число	*ф (р),	0 <	ip (р) <: d (р),			называемое
далее отметкой.			Последовательность р				назовем	разрешающей
Определение 6.4.
для множества S , s 5			относительно (со, ip)				(сокращенно		(S0 ,	и, ip)-
разрешающей), если для всех s,					£ S0
		Я. (s, р) = % (t, p)			(б (s, p'),		б (/, p')) Є ©,			(6.7)
где p' — начальный			отрезок длины ip (р) последовательности							р.
Пусть под действием последовательности р автомат проходит
последовательность состояний s0,					sl t	sk, где s0 —		начальное со

стояние автомата n k — длина последовательности р. Тогда после довательность р будет (50 , со, ір)-разрешающей, если по реакции на нее автомата А, который находился в неизвестном экспериментатору начальном состоянии s0 из S0 , можно определить класс эквивалент ности со, которому принадлежит состояние s{ автомата А, где і =

= Ф ДО-

Понятие (S0 , со, ^-разрешающей последовательности является более общим, чем понятие (S0 , <в)-установочной и (S0 , «^-диагности ческой последовательности в работах [39, 40), а следовательно, более


общим, чем понятие установочной			и	диагностической			последова
тельности [16]. Так приір (р) = 0			(S0 ,	со, ^-разрешающая последо
вательность р является (S0 , «^-диагностической, а при ч\|з (р) =								d (р)
является (S0 , со)-установочной.								экви
Рассмотрим следующую задачу. Пусть задан автомат А,
валентность	со,	конечное множество		Р	непустых	последователь
ностей из	X* и	отображение 1р : Р		->-	N, где	N —	множество

натуральных чисел (с нулем). Требуется построить такую эквивалент ность л на S X X с наименьшим числом классов, чтобы любая после довательность р £ Р была бы (Sft , со, ^-разрешающей для собствен ного л-расширения автомата А. Эту задачу назовем модифицирован ной задачей синтеза.

Поставленную задачу можно интерпретировать как задачу по строения минимального числа выходных контрольных точек для того, чтобы для полученного автомата существовал эксперимент с задан ными условиями. Тогда Р — это заданные входные воздействия при эксперименте, эквивалентность со задает точность, с которой нужно определить состояния автомата и ip (р) — задает момент времени (такт), на котором распознаются состояния.

Легко видеть, что модифицированная задача синтеза так же, как и задача синтеза (ем. раздел 6.3) всегда имеет решение, которое мо жет быть найдено перебором эквивалентностей на S X X . Решение, отличное от перебора, не найдено даже для частных случаев. На пример, в работе 1661 рассмотрена модифицированная задача синтеза,

где S0 — S, P — множество всех последовательностей фиксирован
ной длины Г>ил\|) (р) = 0 для всех р £ Р.
Проведем некоторые вспомогательные построения. Для каждой
неупорядоченной пары состояний (s, t) автомата Л, где s Ф			t, и для
каждой последовательности р £ Р, которая	не	является	( {s,	t),
со, я\|з)-распознающей, построим ориентированный		граф Г (s,	р)	по
правилам:
1. Множество вершин Т графа Г (s, t, р)	совпадаете множеством

всех неупорядоченных пар различных состояний автомата Л, допол

ненным выделенной Еершиной у, где у

^ S.

Из вершины {с, d) в вершину {/, g\ проводится

дуга с

отмет

кой х

£Х,

если существует

начальный отрезок

последователь

ности р, для которой б ({s,

t],

q) =

{с,

d), 6({s, t\,qx)

\f,g\.

3. Из вершины {с, d) в

вершину у

проводится дуга с отметкой

х £ X, если существует начальный отрезок qx последовательности р г

для которой б (\s, t), q)

— {с,

d] и б (s, qx) =

б (і,

qx). Если т|і (p) =

= 0, lx (p)

= A'j, то дугу из (s, і} в у с отметкой A'J (если

такая дуга

существует) отметим дополнительной отметкой 0.

Множество всех дуг

графа Г (s, t, р) обозначим через R (s, t, р).

Дугу из вершины {s,

с отметкой х будем обозначать через ({«, Ц, х).

Пусть дано некоторое множество Н графов Г

(s,

р). По мно

жеству N построим ориентированный граф Г, определяемый прави

лами:

1. Множество вершин графа равно множеству Т.

Из

вершины

в вершину

проводится

дуга

с отметкой-

х £ X, если хотя бы у одного графа Г (s, t, р)

£ Н

из g1

в g2

прове

дена

дуга

с отметкой

х.

Каждой дуге (g,

х) графа Г присваивается вес w (g, х),

причем

w (§> х ) — 0> если существует граф Г (s, t, р)

£ Н, у

которого дуга

(g, х) отмечена меткой 0. В противном случае w (g, х) равно числу

всех различных графов Г (s, t, р)				£	Н, у	которых (g, х) £		R (s, t, р).
что	Множество всех дуг графа Г обозначим через JR. Будем говорить,
	дуга	(g, х) £ R	покрывает	множество			R (s, і, р) е	R,	если
{g,	х) £ R	(s, t, р). Наибольшее		множество дуг из R, которое покры
вается дугой (g, х) обозначим через М						(g, х).	Пусть Z —	некоторое
множество дуг графа Г. Будем говорить, что множество Z								покрывает
множество дуг Rx £			R, если Рг	s	(J	М (g, х).
					є z
	Учитывая введенные определения, модифицированную задачу
синтеза можно разбить на две задачи.
	Задача	1. Дан граф Г. Построить такое множество дуг Z s R,
чтобы Z покрывало множество R.
	Задача 2. По заданному множеству дуг Z построить такую экви
валентность л на множестве 5 х				X,	чтобы выполнялось соотношение
		({s,	t},x)£Z^((s,		х),	(t,x))%	л.		(6.8)
	При этом нужно выбирать такое множество Z и строить								такую

эквивалентность л, чтобы л имела наименьшее число классов экви валентности.

Заметим, что выбор множества Z с наименьшей мощностью не га рантирует того, что по этому множеству можно построить эквива лентность со свойством (6.8), которая имеет минимальное число клас сов. Поэтому сначала целесообразно рассмотреть задачу 2, чтобы в результате получить некоторые критерии наилучшего выбора мно жества дуг при решении задачи 1. Пусть дано множество Z. По этому множеству определим отношение ф по формуле, аналогичной форму ле (6.2), а именно ((s, Xj), (t, х2)) £ ф ч-> (хг = х2 -+ ({s, t), xt) gf Z). Тогда задача 2 сводится к задаче, рассмотренной в разделе 6.3, и для получения решения задачи 2 можно воспользоваться алгоритмом Л1. С целью упрощения построения эквивалентности л по заданному мно

жеству дуг Z для каждого xt £ X найдем множество	L t по формуле
{s,t}£Zi^({s,t},xi)eZ.	(6.9)
Далее с помощью формулы (6.10), где	(6.10)
{s,t}£Zt++(s,t)e<pt,	(6.10)

построим отношение ф,- и с помощью алгоритма Л1 можно построить

эквивалентность nt	на множестве 5. Теперь по эквивалентностям л£
строится эквивалентность л на множестве S х			X по правилу.
	(З,Х,)ЄКІ++*ЄКІІ,		(6.11)
где її,- = (/С,,,	Kir.), П = (Ki,	Кг) и г	= max г,-. Построен-

ная эквивалентность я. является решением задачи 2.

Рассмотрим задачу 1. Эта задача является одним из вариантов широко известной задачи дискретного программирования — задачи о покрытии конечного множества системой его подмножеств. В тео рии автоматов наиболее распространена задача о минимальном (помощности) покрытии. К этой задаче сводятся, например, задача ми нимизации булевой функции [18] и задача нахождения минималь ного теста для комбинационных схем [48]. До настоящего времени не известен способ построения (отличный от перебора) минималь ного покрытия множества. При рассмотрении задачи 1 мы предпо лагаем, что решение задачи 2 находится с помощью алгоритма Л1.

Из формулы (6.6) следует,		что при решении задачи 1 необходимо
выбрать такое множество Z, покрывающее множество R, чтобы пара
метр (tt	Y) отношения	ф„ построенного H3Z по (6.9), (6.10) был

как можно меньшим. Реализуя такой выбор мы тем самым умень

шим верхнюю оценку числа классов эквивалентности,		получаемой
далее по алгоритму Л1.
Рассмотрим алгоритм построения множества Z. Пусть			заданы:
автомат Л = (5, X, Y, б, X), конечное множество Р		д Р	— {е},
эквивалентность ш на множестве 5, функция т\|> : Р -э- N и множество
S0 допустимых начальных состояний автомата Л.
Алгоритм А2.
1. Построим множество Н0 всех таких графов Г (s,		/, р),	для ко
торых s, t £ S0,	s Ф t и р не является (50 , со.т^-разрешающей после-'
довательностью.	Полагаем, что Н = #„.

2.По множеству Н строим граф Г.

3.Находим множество F0 всех дуг графа Г, имеющих вес, равный

О, и полагаем, что Z =				F0.
4.	Если F0 =	0,	то переходим к пункту 5, иначе к пункту 8.
5.	Находим множество F всех дуг графа Г, имеющих максималь
ный вес. Из множества F выделяем множество F' всех дуг, ведущих
в вершину у. Объединяем множества Z и F'. Полученное множество
обозначим через Z . По формуле (6.9) строим множества Z( для								всех
Xj £	X. По формуле (6.10) строим отношения ф,- для					всех	хс	£	X.
Для каждого отношения ф,- вычисляем параметр						y - j .
6.	Если F' =	0,	то	переходим к следующему	пункту,			иначе
переходим к пункту 8.
7.	Из множества F выбираем множество всех				тех	дуг	({s,		t),
.V;), для которых		у	отношения ф,- параметр [tt		^-j	минимален.

Среди выбранных дуг выделяем одну дугу ({s, t), xj) с наименьшим номером /, 1 < : I <: | X |, для которого параметр fe, отношения ф, минимален. Помещаем выделенную дугу в множество Z . По множест ву Z строим множества Zt, отношения ф£ для всех xt и вычисляем

параметры

8.Из множества Н удаляются все те графы Г (s, t, р), для ко торых множество Z покрывает множество R (s, t, р).

9.Если Н = 0,ю конец вычислений, иначе переходим к пунк

ту 10.

10.По множеству Н строим граф Г и переходим к пункту 5. Из описания алгоритма А2 следует, что любое множество Z,

построенное по этому алгоритму, является решением задачи 1, т.е. Z покрывает множество всех дуг графа Г, построенного по множеству

Пусть множество Z есть некоторое решение задачи 1 и не обяза тельно получено по алгоритму А2. Пусть F0 — множество всех дуг исходного графа Г, имеющих вес 0. Очевидна следующая теорема.

Теорема 6.7. Всякое решение Z задачи 1 содержит множество F0.

Пусть множество Z = [гъ rv) получено с помощью алгоритма А2, причем дуги B Z занумерованы в порядке их помещения в мно жество Z алгоритмом (если на некотором шаге алгоритма множество Z пополнилось несколькими дугами, то они занумерованы произ вольно). Напомним, что М (гг) — наибольшее множество дуг ис ходного графа Г, которое покрывается дугой г(.

Теорема 6.8. Для всех і Ф /, 1 < . i, j •< v,

М	{rL)	gt M (ri).
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть і Ф j . Предположим, что дуги
г/ и Гі помещены в Z на одном и том же шаге работы алгоритма А2.
Это возможно в двух случаях:		1 ) г(,	г/ £ F0-	Тогда	из	правил по
строения графа Г следует,	что	М	(г,) f] М	(rj) =	0	и, значит,

M (rj) g t M (rj).	2)	На том	шаге	алгоритма,		когда	дуги	rt и Л/
помещаются в Z, они		принадлежат множеству			F' (см. блок 5 алго
ритма Л2). Это значит, что дуги г( и				Г/ ведут	в	вершину у.		Тогда
из правил построения графа Г следует, что М					(rj) g£ М		(г,). Теперь
предположим, что дуги г( и г/ помещены в множество Z на разных
шагах алгоритма А2. Пусть /" < ; і. Поскольку					на том шаге алгорит
ма, когда дуга т{ помещается			в Z, в графе Г нет			ни одной дуги из
множества М (rj}	(см. блоки 8, 9, 10, 5), то М				(rj) с£. М		{rj).	Пусть

	Рис. 19.			Граф Г.			Рис. 20. Граф			Г'.
теперь і <z j н М (rj) s				М (rj).		Из этого предположения				следует,
что Г/$ F0 и	что		на том шаге, когда дуга rL помещается						в Z, ее вес
не меньше веса дуги Г/. Так как дуга г,- все же помещена									в множест
во Z после дуги г{,			то М		(rj) Ф	М (rj),	значит М	(rj) cz М		(rj).	Из
последнего соотношения следует, что на том шаге, когда дуга											г,
помещена в Z, ее вес меньше веса дуги г,-. Противоречие доказывает
теорему.			Для		всех	і, 1 <	і •< v, М				и
Следствие	6.3.							(rj) Cjt M (Zl)
M (Я)фМ	(rj),	w e Z '		=	{ r l f	A U , } .
Множество Z,		построенное по алгоритму А2, по своим функциям

аналогично множеству конечных переходов, которое рассматрива лось в разделе 6.3.

Последовательное решение задачи I с помощью алгоритма А2 и затем задачи 2 с помощью алгоритма А1 позволяет получить такую эквивалентность л, что для собственного л-расширения автомата А

любая последовательность р £ Р будет (S0 ,	со, ^-разрешающей.
В общем случае, полученная эквивалентность	не имеет минималь
ного числа классов.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ