Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов А.М. Эксперименты с автоматами

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Пі,	П„ соответственно существует входная последовательность
р £ X*	такая, что
	б п , (Кп„ р) П 6n ,(/Cn„ р) П • • • П б п„(/<пп ,	р)Ф0,

гдебп; — функция переходов Пг образа автомата А.

Теорема	5.5.		Пусть		{Щ	(1 <	і <	п) — сходящееся		семейство
нетривиальных			разбиений			множества		состояний	сильносвязного
автомата	А	— (S,		X,	Y, б, К),		удовлетворяющее		условиям П =
л				л—1
= П П( =	0	и П0 =		П П; >		П?к. 7огда существует			нетривиальная
. = 1				і = і
параллельная		компонентно-диагностируемая декомпозиция поведе
ния состояний автомата А,						состоящая		из п компонент.		декомпози
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Нетривиальная параллельная

ция поведения состояний автомата А, состоящая из п компонент, су ществует, поскольку семейство {П,} состоит из нетривиальных разбие ний со свойством подстановки и П = 0. В качестве компоненты At

(здесь At = AL) параллельной декомпозиции М автомата А принима ется автомат Л п.-Сходимость семейства разбиений {П,-} равносильна связности автомата М относительно А. Это непосредственно следует из того, что изоморфизм а, соответствующий построенной декомпози ции поведения состояний, задан равенством а (а) = (Кп (а), •••

...,Кпп (а)).

Функция выходов Л автомата М определяется соотношением

Л ((/Сп, (а), . . . , Knja)),

х) = Х(а, х).

Пусть {П,} (1 •< і •< п) — семейство разбиений множества со стояний V автомата М, в котором каждое П/ задано соотношением,

л—і

аналогичным (5.1). Пусть П0 = П П,-. Необходимо доопределить функцию выходов автомата М так, чтобы выполнялось неравенство

По > П Л . Пусть U =		s Є V		"п	рг/ (s) Ф	0}	и і	= {1, 2, ...
., п — 1}. Если s = ( s l t s n			) ,	то символом prj (s)			обозначим кор
теж (sx ,	s„_i). Определим отображение /					:	(5) следующим
образом:
і	д 5 ) =	Js '	е с л и		Д prj(s) ф	0 ,
		[ s'	в	противном случае,
где s' £ a (S) такое, что prj (s')					= р о (s).	Методом,		аналогичным
описанному	в доказательстве			теоремы 5.3,		используя		неравенство

П0 >• Щ, можно доопределить функцию выходов Л автомата М так, что будет выполняться неравенство По > ПЛ . При этом фигурирую щее в формуле (5.12) отображение g следует заменить отображением /. В результате получим автомат Мх, который может отличаться от М


только выходным алфавитом. Авто-									Т а б л и ц а		31
мат	Мг	является			связным относи-			0	1	0	1
тельно А,		и	для	него		выполняется
неравенство П 0 >				П Л - Поскольку мно				2	3	0	0
жество компонент Л					=	{А(} (1 - < і •<		1	4	1	0
<: п — 1)		замкнуто, то				на основании		5	1	1	1
следствия		5.1	можно		утверждать,		что	2	6	1	1
сеть,	соответствующая					автомату	Мъ	7	3	1	0
сеть,	соответствующая					автомату	Мъ	5	4	0	0
является		компонентно-диагностируе						5	4	0	1

мой. Теорема доказана.

Проиллюстрируем построение параллельной компонентно-диагно стируемой декомпозиции сильно связного автомата на примере авто

мата ЛЗ,

представленного табл. 31. Легко

видеть, что разбиения

П 1

{1,2, 5, 6, 7;

зТІь

П2

{1,

3 , 4 , 6 , 7 ;

2^5),

П 3

О Г В ;

"277;

имеют свойство подстановки, П = П 1 П 2 П 3

= 0

и П 0

= П І П 2

П Ь

где

Рис.

18. Схема соединения

п 0

= { U 3 ,

7;_J2,

компонент параллельной

декомпозиции автомата ЛЗ.

(Г7б;

2,5;

3, 4;

7}.

Покажем, что семейство разбиений { П ъ

П2 , П3 }

сходящееся. Введем^

обозначения

а, =

1, 2, 5, 6, 7;

Ьг

З Д ;

о „ =

1, 3, 4, 6, 7;

275;

а 3 = 1 , 4, 5;

b3 = 2, 7;

с3

3, 6.

Необходимо показать, что. для любого кортежа (glt

g2,

g3),

где gj

— аъ

bi, gi — я2 , b2

a g3 = a3, b3,

c3,

существует такая входная по

следовательность р,

что

б п , {gi,

Р) П V ( ^ 2 -

Р) П Sn ,(ffB. P)=f=

Для кортежей (Gj, 62 , с8 ),

£ 3

) , (&г >

£2 , с 8 ),

62 , £3 ) и

Ьг, с3У

такой последовательностью является последовательность, состоя щая из одного символа 0. Для остальных кортежей требуемой после довательностью будет пустая последовательность е.

Поскольку семейство разбиений {П^ П2 , П3 } удовлетворяет всем, условиям теоремы 5.5, то можно заключить, что существует нетри виальная компонентно-диагностируемая параллельная декомпози ция поведения состояний автомата ЛЗ, состоящая из трех компонент. Схема соединения компонент параллельной декомпозиции автомата ЛЗ показана на рис. 18, а компоненты Аи Л2 , Л 3 этой декомпозиции; представлены табл. 32, 33 и 34 соответственно.

Т а б л и ц а 32		Т а б л и ц а 33			Т а б л и ц а 34
О	1		О	1		О	- I
ai	6.	а.,	b..	По	°з	Ьз	с3
ai	а\	bl	а..		ь3	а3	аз
					Сч	Пп	"з
						" 3	"з

Введем обозначения:

А =		(ft, ft,	ft);	В =	( f t , a2 ,	Ь3 );	С =	(ft, a 2 )		с3 );
£> =		(ft, u 3 ,	ft);	£ =	(ft, b2,	ft);	F =	(ft,	ft,	с3);
G	=	(ft, ft,	a3 );	Я =	(ft, a2 ,	ft);	К = (ft,		ft,	c8 );
L	=	(ft, £>2,	ft);	/V =	(ft, ft,	ft);	О =	(ft,	ft,	c3).

В рассматриваемом примере

і/ = {А, В, С, D, Е, F, G, Н, К) и a(S) = = {Л, В, С, D, Е, G, К).

Для доопределения функции выходов Л автомата М строим отобра жение /, которое представлено табл. 35. Далее находим

V-U

{L,N,0),

<o(S)={(0,

0),

(0,

1),

(1,0),

(1, 1)},

9 =

{ L , N,

О}, П 0

= { Л ,

В, С;

D, Е,

G, Н,

К;

L , N, О].

Принимая

Kj =

{(0, 1, 2}, убеждаемся, что неравенство |0|.<)УІ

—

— со (5)|

выполняется.

Задаем

отображение

соотношением

7 (L, N, О) =

(0,2) и доопределяем функцию

выходов

автомата

Ми

который

представлен

табл.

36.

Т а б л и ц а 35

Т а б л и ц а 36

-В

Из табл. 36 видно, что

Пл =

{А, С;

В;

D, Е,

G, Я, К;

L , N,

О}.

Поскольку сеть, соответствующая автомату Мъ связна относительно ЛЗ и По ;> Пд, то она компонентно-диагностируема.

Г л а в а 6

Р А С Ш И Р Е Н И Я А В Т О М А Т О В

Одной из основных задач технической диагностики является задача обеспечения заданного уровня контроля и локализации неисправ ностей в процессе проектирования устройства. В работе [15] эта за дача сводится к задаче выведения в устройстве контрольных точек для достижения этого уровня.

В теории автоматов такую задачу можно сформулировать как задачу изучения методов преобразования заданного автомата в авто мат, который реализует заданный и для которого можно провести заданный тип эксперимента. Искомый автомат можно интерпрети ровать как автомат с контрольными точками. Преобразование дан ного автомата в автомат с контрольными точками может проводиться на этапе как абстрактного [18], так и структурного синтеза автома тов.

Данная глава посвящена изучению способов преобразования автомата в автомат, который можно интерпретировать как автомате выходными контрольными точками. Преобразованный автомат назы вается расширением исходного автомата. Рассматриваются методы построения такого расширения исходного автомата, для которого существует заданный эксперимент по распознаванию состояний.

Методы построения расширений автомата, рассматриваемые в этой главе, являются дальнейшим развитием идей работы [66]. Материалы главы частично основаны на работах [21—23].

6.1. О п р е д е л е н и е расширения автомата

Пусть заданы автоматы А = ( S A , Х А , YА, &А, У И В = ( S B , Х В , Ув, 6в, ^в)- Обобщим понятие реализации поведения состояний автомата, введенное в главе 5. Тройку отображений (а, і, £), где а : S A ->• SB,

І : ХА —*- Х В , £ : У в'-»- YA,	удовлетворяющих соотношениям
а (8А (s,	х)) = Ьв (а (s), і (*)),
l(XB(a(s),	i(x))) = XA(s, X)

для всех s £ SA, x £ X A , назовем представлением автомата А в авто мате В. Следуя работе [60] автомат В будем называть реализацией поведения состояний автомата Л, если существует такое представле ние (а, і, 0 автомата А в автомате В, для которого а — взаимно однозначное отображение.

Определение 6.1. Автомат В назовем расширением автомата А, если ХА = ХВ и существует такое представление (a, i , Q автомата А в автомате В, для которого і — тождественное преобразование, а а — взаимно однозначное отображение.

Из определения 6.1 следует, что расширение автомата есть част ный случай реализации поведения состояний автомата.

Термин «расширение» подчеркивает тот факт, что у автомата В может быть «богаче поведение», чем у автомата Л, т. е. у автомата В может быть больше различных выходных последовательностей, чем у автомата А .

Пусть на множестве SA X ХА задано отношение эквивалентно сти п. Известно, что каждому разбиению Е некоторого множества D ставится во взаимно однозначное соответствие отношение эквивалент ности є на множестве D, определяемое соотношением (d, g) £ є <-> <-> d s= g (E). В дальнейшем разбиение и соответствующее ему от ношение эквивалентности будем обозначать одинаковыми гречески ми буквами: большой — разбиение и малой — отношение эквива лентности.

Определение 6.2. Автомат С = ( S A , ХА, УС, б^, Хс) назовем соб ственным П-расширением автомата А , если Yc = У А X П И ХС (S, х) = (ХА (s, х), К (s, х)), где К (s, х) — класс разбиения П, содер жащий элемент (s, л-). Автомат В назовем it-расширением автомата А , если В есть расширение собственного я-расширения автомата А .

Легко видеть, что собственное я-расширенне автомата есть рас ширение этого автомата.

Каждому отношению эквивалентности є на множестве D един ственным образом соответствует отображение ХЕ: D Е, определя емое соотношением Хг (d) = є (d), где є (а) = \g\ (d, g) £ є} — класс эквивалентности (разбиения), содержащий элемент d. Произ вольному отображению X : D ~>- G единственным образом соответ

ствует отношение		эквивалентности e ^ s D		х	D, называемое ядром
отображения X и определяемое соотношением					(d, g)	£ е\ <-+ X (d) =
=	Ь (ff)-							б, X)
	Из сказанного следует, что любому автомату А =					(S, X,	Y,
ставится в соответствие пара (A', e>J, где				А ' = (S, X, б) —			автомат
Медведева и єх — ядро отображения X. Обратно, каждой паре (Л',
е),	где А ' = (S,	X,	б) — автомат Медведева,		є — некоторая			экви
валентность на 5		х	X, соответствует автомат (Мили) Л = (5, X,					Е, б,

ЯЕ ), гдеЯЕ —отображение, соответствующее е. Поэтому в дальнейшем произвольную пару (Л', е) также будем называть автоматом Мили.


Каждому автомату (Л', е) можно поставить в соответствие					мно
жество Рг	всех диагностических	последовательностей,	т. е.		таких
последовательностей р £ X*, для которых из равенства			Хе (s,		р) =
— К {t, р),	гдез, t £ S , следует равенство s = t.			автомат
Пусть Р	cz X*. Автомат (Л', є)	(и соответствующий ему
Л) назовем Р-диагностируемым, если Р s Ре -				(S, X,
Рассмотрим следующую задачу. Пусть дан автомат А =
Y, б, X) и некоторое множество Р £		X*, не содержащее пустой после

довательности е. Требуется построить такое отношение эквивалент ности л на множестве S X X, чтобы собственное я-расширение авто мата являлось Р-диагностируемым. Покажем, что эта задача всегда

имеет тривиальное решение. Для этого	полагаем, что	я =	^sxx,
где iSxx — тождественное преобразование	множества 5 X X.		Пусть
С — собственное я-расширеиие автомата	А . Покажем,	что	любой

символ х £ X будет для автомата С диагностической последователь ностью и тем самым покажем, что эквивалентность я есть решение поставленной задачи.

	Пусть s и t — произвольно		выбранные состояния автомата С и
s ф t. По определению 6.2, Хс (s, х)				=	(ХА	(s, х),	К (s, х)) и Хс	(t, х)	=
=	(ХА (t, х), K{t, х)). Поскольку я =			isxx и s ф:			t, то (s, х)	(г!, х) (П)
и,	следовательно,	%с (s, х) Ф	Хс	(t,	х).	Это	означает,	что х	—
диагностическая последовательность					для	автомата С, что и требо
валось доказать.
	Поставленную	выше задачу	естественно интерпретировать как

задачу построения выходных контрольных точек в автомате для того, чтобы любое входное воздействие из заданного множества Р позво

ляло	определить состояние автомата. При этом контрольными		точ
ками	естественно считать те выходные каналы я-расширения,		на
которых наблюдаются сигналы, соответствующие		классам разбие
ния	П.
Поскольку задача построения Р-диагностируемого		я-расширения

может иметь несколько решений, то при выборе одного из них можно руководствоваться следующим критерием: искомое отношение эк вивалентности я должно иметь минимальное число классов эквива лентности. Этот критерий интерпретируется как критерий построе ния минимального числа выходных контрольных точек. Очевидно, что задача выбора отношения эквивалентности я с минимальным чис лом классов эквивалентности может быть решена перебором. Нашей целью является рассмотрение методов решения этой задачи, умень шающих перебор.

6.2. Задача с и н т е з а расширений автомата

Целью настоящего раздела является построение такого расширения исходного автомата, что любая входная последовательность из заранее заданного множества последовательностей будет для постро енного автомата диагностической.

Введем необходимые определения и обозначения. Напомним, что

автоматом	Рабина — Скотт	[36] называется пятерка объектов
В = (5, X ,	б, s0, F), где 5,	X — конечные непустые множества со

стояний и входных символов соответственно, б — функция переходов автомата, s0 — начальное состояние, F — множество заключитель ных или представляющих состояний. Автомату Рабина — Скотт В

ставится в

соответствие

множество W (В) = {р\6

(s0 , р) £

F],

ко

торое называется событием , представленным в автомате В .

Подмножество

Р Е

X* называется регулярным событием, если

существует

автомат Рабина — Скотт

В , представляющий

событие

(В), равное Р . Известно [18], что если Р , Q — регулярные события

из

X*, то регулярными

являются и следующие события: Р U

Г)

Q , P

- Q , P

• Q =

{pq/p

£ Р Л

Ч Є Q),

Р*

{Р/Р

= е

\j3k

ЗРІ

pk£P

(Р — Pi •••

Pk)}- Событие P

• Q

называется

про

изведением событий Р и Q, а событие Р* — итерацией события Р .

Пусть задан некоторый автомат Л = (S, X, Y, б, X) и регулярное событие Р є Х * , не содержащее пустой последовательности. Нашей задачей является построение такого отношения эквивалентности

яЕ (S X X ) 2 с минимальным числом классов, чтобы собственное л-расширение автомата А было Р-диагностируемым.

Учитывая, что автомат	(А',г),	соответствующий	автомату А,
имеет множество диагностических		последовательностей	.Ре, и пола
гая Q равным Р — Рг, нашу	задачу можно сформулировать следую
щим образом.
Задача синтеза. Дан автомат Медведева А' = (S, X,			б) и регуляр

ное событие Q <=^ X*, не содержащее е. Построить такое отношение эквивалентности я с минимальным числом классов, чтобы автомат (А', я) был Q-диагностируемым.

В силу сказанного в разделе 6.1, эта задача всегда имеет решение с помощью перебора. Рассмотрим методику решения задачи синтеза для определения возможного уменьшения перебора.


	Вначале рассмотрим частную задачу синтеза. Дан автомат									Мед
ведева А' = (S, X,				б), регулярное событие Q s			X* — [е]		и состоя
ния s0, t0		£ S, s0=£		t0. Найти такую эквивалентность я на множестве
5	X X с	наименьшим			числом классов,	чтобы	Q s	Ря	(s0 .	^о) =
=	{р/Х (s0 , р) Ф		X (t0,		р)}. Не уменьшая	общности, можно предпо
ложить,		что для	заданного события Q выполняется					соотношение
QX* Е		Q, поскольку, если последовательность р диагностическая,
то для всех р' £			X* последовательность рр' тоже диагностическая.
	Решение частной задачи будет получено в результате построения
ряда автоматов Рабина — Скотт. Сначала по автомату А'									построим

автомат Рабина — Скотт А = (Т, X, б, {s„, t0), а). Здесь Т — это множество всех неупорядоченных пар {s, t), s, t £ S, дополненное

специальным	элементом а, б	({s, t), х)	= б (s,	х) U 8 (t, х) и
6 (а, х) — а.	Из определения	функции	переходов	автомата Л сле

дует, что представляющее состояние а автомата не достижимо из на

чального состояния {s0 , t0\, т. е. W (Л) =					0 .	Пусть			автомат		Раби
на — Скотт В =	(D,	X, A, d0, f) есть минимальный автомат, пред
ставляющий событие		Q. Поскольку		QX* s			Q, то у автомата В
имеется единственное		представляющее состояние f. Построим авто
мат G = (D х Т,	X,	6G , g0,	F ) , где 6G		(d,	[s,	t),	x) = (A			(d, x),
б ({s, t], x)), go =	(d0,	{So, t0))	и g£ F,	если g		=	(f,	[s,	Ц) для некото
рых s, t £ S.
В дальнейшем автоматом G будем называть подавтомат автомата G,
порожденный начальным состоянием g 0 .					Очевидно, что					W (G) — Q.
Напомним, что пара (g, р), где g £ D					X Т и р			£ X*,		называется

переходом автомата G. Переход (g, х) назовем конечным переходом для автомата G, если g$ F и 6а (q, х) £ F. Множество всех конеч ных переходов автомата обозначим через Z (G).

Теперь по автомату G построим автомат Рабина — Скотт Л я , учитывающий структуру автомата Л' и представляющий событие

W (Ал),		содержащее	Q. Автомат Л я = (Т, X,		бя , {s0, t0},a) определя
ется	так:
б я	({s,	t),x) = а,	если	((d, {s, t}), x)£Z(G)	для некоторого	d,
		6({s, t),		x) в противном случае.		^ ^

Вдальнейшем автоматом Ал будем называть подавтомат автомата

Лл , порожденный начальным состоянием {s0 , t0). С целью нахожде

ния события	W (Ап) рассмотрим некоторые свойства автомата	Л я .
Ядром Рп	регулярного события Р назовем множество всех	тех

последовательностей р из Р, для которых выполняется соотношение:

q	<Z р	q $	Р.	Напомним, что q •< р, если для некоторого
р'	£Х*-	\е)	qp'	= р.

Учитывая соотношение QX* ^ Q, получаем равенство Q„X* =

=Q.

Пусть для некоторых q £ X* и х £ X qx £ фя и W (q) =

=(р/бл ({s0 , t0), P) — бя ({s0 , t0], Я)}- Имеет место такая лемма.

Лемма 6.1. qx£

-»- W {q)xX*

<= W

(Ая).

" Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть qx £ Q„.iИз определения ядра

следует, что

(б 0 (g0>

°), *)

£ Z (G). Тогда по

(6.1), учитывая

равен

ство g„ =

(d0, (s0 , *„}), получаем соотношение б я

(б„ ({s0 , t0},

q), х)

— а. Из

последнего

равенства

вытекает соотношение W (q)xX*

W (Ал),

что и требовалось

доказать.

Лемму 6.1 можно записать в следующем виде: (\j „д:е<эя W (q) хХ*)

W (Ал).

Используя

последнее

соотношение

Q_nX* =

получаем

следствие.

Следствие 6.1.

Q є

W (АЛ).

Найдем событие, представляемое

автомате

Ая.

Лемма 6.2. W (Ля ) =

\}„х^я

(q)xX*.

6.1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

лемме

(q)xX*

W (Ап).

Покажем,

что

W (АЛ)

[}

(q)xX*.

Пусть.

р £ W (Ля )

и р 2 — такой

начальный

отрезок

последовательности

р,

ч т о р х £

№Я (ЛЯ ). Следовательно, 6 n ( { s 0 , - i 0 } , p 1 ) = а. Тогда, если по

ложить, что р! = р2л; и б я ({s0 ,

£0 j, р2 ) =

js, і}, то по

(6.1) существу

ет d

£ D,

для которого ((d,

{s,

t}), х) £ Z (G).

Поскольку

состояние

(d,

{s,

t})

автомата G достижимо из (d0, {s0 , t0})

и поскольку

(G)

то

существует

последовательность

для

которой

бс

(d0,

{So,

t0),

q) = (d,

{s,

£ Qn. Тогда

p2x

£ W (q)xX*

p £

(q)xX*.B

силу произвольности последовательности p W (Ал)

(я)хХ*,

что и доказывает лемму.

По множеству Z (Ля ) конечных переходов автомата Л я

определим

отношение ф на 5

X. Оно задается формулой

((s, X

l ) , (t,

х2))£ч>^(х1

= x2-*({s,

t),

хг) £

Z(An)).

(6.2)

Из (6.2) следует, что отношение ф симметрично. Преобразуем авто мат Л л , изменяя его функцию переходов, в некоторый автомат, у ко-

торого множество его конечных переходов порождало бы по (6.2) симметричное и рефлексивное отношение ф. Пусть автомат Рабина — Скотт Л л = (Г, X, бя , {% М> а) определяется следующим образом:

о я ({s,	г}, х) =		\а,	если	выполняется условие У (s, t, х),
о я ({s,	г}, х) =		<_ ..		.
			\|ол	({s, г}, X) — в противном случае.
Условие	У (s,	t,	х)	имеет	вид б (s,	х) — б (£, х)	и	существует
последовательность р, для которой б я ({s, t), хр) — а.
В дальнейшем автоматом Л я будем называть подавтомат автома
та Л я , порожденный состояниями, достижимыми из							начального со
стояния.
Рассмотрим		множество			конечных	переходов	автомата		Л я .
Из определения функции 5Я					и того, что все состояния автомата					Л я
достижимы, из начального состояния следует, что если								({s, t),	х)	£
£ Z (Ля ), то	s Ф	t. Пусть отношение ф порождается						множеством
Z (Л я ) по формуле (6.2). Тогда легко видеть, что ф — симметрично и
рефлексивно. Далее, из определения функции переходов б л следует,
что W (Ля) => W (Ля ) э				Q.
Пусть ф — отношение, определенное множеством Z (Ля ) по фор

муле (6.2), и я — произвольное отношение эквивалентности на мно

жестве 5

Теорема

6. J. я

Ф <-> Q Е

Рл

(s0> to)-

Q. По следствию

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть я

Ф и р £

6.1

£ W (Ля ). Пусть

qx — начальный отрезок

последовательнос

ти

р,

для

которого

£ Wa

(А'„)

и б я

({s„, t0\,

[s,

t\. Тогда

({s,

t), x)

£ Z (A'n) и no (6.2) ((s, x), (t,

x))

ф. По

предположению

я s

ф и,

значит,

((s,

0 .

*))

(2 я.

Из

определения

функции

б я

следует, что б (s0 , q)

(J б (<0, 9) =

{s, і). Для простота положим, что

б (s0 ,

9) =

s, б (t0,

1 Тогда Хл

(s, х)

X (t,x)

и, следовательно,

Х„ (s0 , qx) Ф

Xn (t0,

qx).

Поскольку

qx <; p,

получаем, что Xn [s0,p)

(^o> p)> T-

P €

Рл (s0 .

A>)- Таким

образом,

если

я s

ф, то

<3 =

Р Я ( %

О -

Пусть теперь Q є

Р я

(s0,

4) и ((s> *і)>

хг))

€

я. Если

хх ^= х2 ,

то по (6.2) ((s, Xj), (і, х2 ))

£ ф. Пусть x x =

x2 =

x и пусть /? —

неко

торая последовательность, для которой бд ({s0 ,

/ 0 ) , /?) =

{s, Ц. По

скольку {s,

достижимо из

начального состояния, то такая после

довательность

существует. Из

равенства

°п (а, х')

а,

где

х'

—

произвольное,

следует,

что

Ая

(s„, рх)

Ая

(/„,

рх),

т.

е. рх

Р я

(s0 , £0). По предположению

рх

Q, и,

значит, ({s, і}, х)

g Z(An).

Тогда по

(6.2)

((s,

х),

(t, х))

£ ф. Таким

образом,

если

Q s

Р я (so>

то я =

ф, что и доказывает теорему.

Теорема 6.1 показывает, что частная задача синтеза равносильна

задаче нахождения отношения эквивалентности, включающегося в отношение ф и имеющего минимальное число классов эквивалент

ов

ности. Заметим, что по заданным Q, А'		= (S, X,	б) и s0,	t0 £ S авто
мат Ал,	а значит, и ср строится единственным образом,			без перебора.
Задача	нахождения эквивалентности	я с ф с	наименьшим числом

классов всегда может быть решена перебором. Решение этой задачи, отличное от перебора, пока не найдено. Приближенное решение этой задачи рассматривается в следующем разделе.

Вернемся к задаче синтеза. Пусть заданы А'			=	(S, X, б) и регу
лярное событие Q s	X* — [е].	Решая частную		задачу	синтеза
для всех s, і £ S, s Ф	t, получим множество отношений cps(.				По этому
множеству определим отношение		Ф = П <Ps<-	Нетрудно		показать,

что для полученного ф и произвольного отношения эквивалентности л s (5 X X)2 теорема 6.1 выполняется. Поэтому задача синтеза равносильна задаче нахождения отношения эквивалентности, вклю чающего в ф и имеющего минимальное число классов.

6.3. Алгоритм нахождения эквивалентности на м н о ж е с т в е с заданным отношением

В настоящем разделе рассматривается следующая задача: по задан ному рефлексивному и симметричному бинарному отношению ф на ко нечном множесте/V построить эквивалентность я ^ ф с минимальным числом классов эквивалентности. К этой задаче, кроме задачи син теза, сводятся многие задачи теории автоматов, например нахожде ние индекса обратной связи при реализации автомата на сдвиговых регистрах. В разделе 6.4 будет рассмотрена модифицированная за дача синтеза. Эта задача будет представлена в виде двух задач, од ной из которых является задача построения эквивалентности я.

Решение поставленной задачи связано со значительными труд ностями, и решение, отличное от перебора, пока не найдено. Поэтому представляет интерес нахождение алгоритмов приближенного реше ния этой задачи и изучение свойств таких алгоритмов.

В данном разделе предлагается алгоритм построения максималь ной эквивалентности л s ф. Исследуются свойства этого алгоритма, находятся оценки числа классов эквивалентности я. При этом под отношением будем понимать симметричное и рефлексивное отноше ние.

Пусть	N = {1,	п\ и пусть задано некоторое отношение
Ф с N X	N.

Определение 6.3. Эквивалентность л на множестве N называется максимальной, если для нее одновременно выполняются следующие

условия:
а) я Е ф;	ф, если я 1 Ф л, то л 1	ct. л.
б) для любой эквивалентности я1 s	ф, если я 1 Ф л, то л 1	ct. л.
Эквивалентность л на множестве N назовем оптимальной,		если
для нее выполняются условия а);
в) для любой эквивалентности л 1 s	ф число классов эквивалент

ности я не превосходит числа классов эквивалентности л1 .

2—1686

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ