Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богомолов А.М. Эксперименты с автоматами

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Пусть !, =

{ / €

І P/,<

ф 1}

(Л,

/2 ,

ik),

где А зависит

от^ І.

Тогда /-й компонентой

сети

назовем автомат

= (Sh

Xt,

bt),

где X,- =

(

x S.)

x X ,

а функция

переходов

б, определяется

соот-

ношением

6j(s( ,

s/,, . . . .

s/ft, Л:) = б, (sc, flt,i(Sit),

...

/7*.<(Ы

fx.i{x))-

На рис.

13 показана 1-я компонента

сети

Ж-

Определение компоненты сети изменено для того, чтобы можно

•было неисправности комбинационных

схем, реализующих функции

fi,,-,

рассматривать

как

неисправ

ности

компонент.

VluL

Под неисправностью сети Ж бу

дем понимать

такое

ее

преобразо

вание, в результате которого вновь

получается

сеть. При

этом будем

предполагать,

что

указанное

пре

образование удовлетворяет некото

—

рым фиксированным

условиям, ко-

x°—l—ГЦ

А/1

торые

определяют

тип

неисправ-

ностей. Поэтому можно класс неис-

Рис. 13. і-я компонента сети Ж.

правностей

(данного

типа)

сети Ж

отождествить

классом

сетей, по

лучающихся из

Ж в

результате всевозможных

преобразований,

удовлетворяющих фиксированным условиям. Назовем этот класс сетей классом неисправностей (данного типа) сети Ж и обозначим его символом %. Пусть 2 Ї % = [Ж] U 2*.

Определение 5.1. Абстрактную сеть Ж с классом неисправностей 21 будем называть контролируемой, если простым экспериментом

с любой сетью	из %л можно установить, является л и ^ сетью	Ж-
Напомним,	что автомат М является реализацией автомата	А,

если М содержит подавтомат, эквивалентный А. Автомат М являет ся реализацией поведения состояний автомата А, если М содержит подавтомат, изоморфный (по состояниям) А.

Пусть Ж — абстрактная сеть в стандартной форме и определяе мый этой сетью автомат является реализацией автомата А. В даль нейшем будем рассматривать только такие неисправности сети Ж, которые имеют следующие свойства.

1. В результате неисправности получается такая сеть, что опре деляемый этой сетью автомат не является реализацией автомата Л.

2. Неисправной может оказаться любая компонента Л( , но в каждый момент времени может находиться в состоянии неисправ

ности только			одна.
	3.	В результате		неисправности		t-й	компоненты	автомат	At =
=	(S{,	X/, бг)	может	стать	одним	из	автоматов множества		{А{},
j	Є J t	, причем	ЛІ =	{S[, Xh	б() и S[ є		St для всех	/ £ J t .

4. Комбинационная схема сети, реализующая функцию g, пред полагается всегда исправной.

Выясним, насколько естественными являются указанные огра ничения на характер неисправности сети. Первое ограничение яв ляется естественным, так как если в результате «неисправности» сети получается сеть, являющаяся реализацией автомата А, то та кое изменение сети можно не считать неисправностью. Естественным представляется также предположение о невозможности одновре менного появления неисправностей в двух или более компонентах, так как вероятность неисправности одновременно двух компонент значительно меньше вероятности возникновения повреждения толь ко в одной компоненте. Неисправности, удовлетворяющие третьему ограничению, весьма часто бывают на практике. Действительно, если память компоненты собрана на k триггерах и компонента имеет 2к состояний, то довольно редкими бывают неисправности, приво дящие к увеличению числа ее состояний (подобные неисправности связаны с возникновением обратных связей). Четвертое ограниче ние влечет дополнительные требования к надежности комбинацион ной схемы, реализующей функцию g. Эта схема должна выполняться из элементов, вероятность повреждения которых значительно мень ше вероятности повреждения элементов, входящих в компоненты.

Говорят, что абстрактная сеть Ж реализует (реализует поведе ние состояний) автомат (автомата) А, если определяемый этой сетью автомат реализует (реализует поведение состояний) А. Неисправ ности сети Ж. реализующей автомат А, которые имеют перечисленные выше свойства, будем называть простыми. Если автомате реали

зует А, то через Ж = (V,		X,	Y, А, Л) обозначим	подавтомат ав
томата ^.эквивалентный	А.	Будем говорить, что абстрактная сеть
Ж, реализующая автомат А, связна относительно А,				если для лю
бого s € V существует р	£	X*	такое, что A (s, р) £	V.

Для обозначения сети, получающейся из сети Ж в результате

неисправности і-й компоненты		/-м	способом, применим символ Ж\-
Автомат, определяемый	сетью	ЖІ,	обозначим через Жі	= (V'i,	X,
Y, Д-, Л{). Из свойств , 1 ,	2 и 3	простых неисправностей		непосред
ственно следует, что класс сетей, получающихся в результате					все

возможных простых неисправностей сети Ж, конечен. Назовем его


классом простых неисправностей сети Ж				и обозначим через		{Жі}
{і € Л / € J[)-		Пусть	/ — произвольное	непустое	подмножество
номеров (индексов) компонент, т . е . i s				/ и j ^ t	0 .
Определение		5.2. Абстрактную сеть Ж с		классом	простых	неис
правностей {Ж'І}		будем называть компонентно-диагностируемой от
носительно множества /			?= /, если простым экспериментом с любой
сетью 6? из множества			{Ж} U {Жі}'		сети	номе
а) можно установить, исправны ли компоненты
ра которых	принадлежат У;
б) можно	найти неисправную компоненту, если установлено,

что ее номер принадлежит J .

Определение 5.3. Абстрактную сеть Ж с классом простых неис правностей {ЖЇ} будем называть компонентно-диагностируемой, если она компонентно-диагностируема относительно множества / всех номеров ее компонент.

5.2. Условия компонентной диагностируемости сети

В этом разделе будет показано, что если сеть, реализующая сильно

связный автомат,	является связной относительно этого автомата,
а неисправности	сети — простые, то она контролируема. Будут

определены достаточные условия компонентной диагностируемости такой сети относительно произвольного подмножества номеров ее компонент.

Теорема 5.1. Если абстрактная сеть Ж, реализующая сильносвязный автомат А, является связной относительно этого автомата и в ней возможны только простые неисправности, то эта сеть конт ролируема.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно определению 5.1 для дока зательства контролируемости сети Ж достаточно показать, что про стым экспериментом можно определить, является ли произвольная сеть £ {Ж} U {Же} сетью Ж- Эта задача равносильна задаче рас познавания автомата ^ из двухэлементного класса автоматов {Ж,

Т({ЖІ})}, где Г ({Ж'І}) — сумма автоматов кдасса простых неис правностей. Во введении отмечалось, что необходимым и достаточ ным условием возможности распознавания автомата, принадлежа щего конечному классу автоматов, является исключительность этого класса. Легко показать, что класс автоматов {Ж, Г {{Ж'і})) исклю чителен тогда и только тогда, когда каждая пара автоматов {Ж, Ж'І) является исключительным классом. Для доказательства теоремы покажем, что при любых і £ I и / £ J t двухэлементное множество автоматов {Ж, Ж'і} есть исключительный класс.

Пусть существуют і £ I и / £ J t такие, что {Ж, Ж'і} не является исключительным классом, т. е. существует пара эквивалентных со

стояний s £ V и t £ V{. Поскольку сеть Ж

связна относительно ав

томата

А,

то

существует

р £ X*

такое,

что

Д (s,

р)

Пусть

= Д (s,

р)

и ї = Д'- (t,

р).

Легко видеть,

что состояния

s' и

эквивалентны. Положим

А =

(S,

б, К). Тогда существует

а £ S, эквивалентное

s' и f.

Пусть а

Д^ (f,

q).

Поскольку

ч£Х'

а — стабильное подмножество состояний

(см. раздел

4.5) автомата

Жі,

то ему соответствует

подавтомат

М\ =

(а, X,

Д{, Л;) авто

мата Ж'і- Покажем, что А и Щ эквивалентны. Пусть а' £ S

произ

вольно,

тогда

ввиду

сильной

связности

автомата А

существует

рх

£ X* такое, что а'

— б (а, рх)

и t" = М

(f,

рх) эквивалентно

а'.

Обратно,

пусть

tx £ а

произвольно,

тогда

в силу

определения

существует р2 € X* такое, что tx	= А'	(Ґ, р2).	Но at = б (а, /?2)
является состоянием А и эквивалентно		tx.	сети Ж простые,
С другой стороны, поскольку	неисправности

то Ж І не должен быть реализацией А и, стало быть, не должен иметь подавтомата, эквивалентного А. Полученное противоречие доказы вает теорему.

Остановимся на вопросе компонентной диагностируемое™ сети. Рассмотрим семейство разбиений {Г,-}, і £ I множества V. Пусть Г, определяется соотношением

s = / ( r < ) « . p r < ( s ) =	prt (0-	(5.1)
Разбиение П Л множества V зададим выражением
s = t (Пл ) <-> Л (s, х) — Л (t, х)	для всех х£Х.	(5.2)

Напомним определение операции умножения разбиений одного и того же множества. Если Н.г и П2 разбиения V, то • П2 есть такое разбиение V, что

s = t (Пг • П2 )				s s= t ( i y /\s.=	t (П2 ).
Произведение	всех	элементов		некоторого множества		разбиений
Ф обозначим через ПФ. Для непустого подмножества J номеров
компонент сети Ж определим разбиение ф (J) множества						состояний
V автомата Ж'			Ф ( / ) =	П {Г,\| г"Є^}-		(5.3)

Пусть [At}, і £	I — множество компонент сети Ж- Тогда					говорят,
что Лу есть предшественник Л,- тогда и только					тогда, когда /' £		lt
(определение множества			І( дано в разделе 5.1), т. е. когда вход				At
зависит от состояния		А-г	Говорят, что непустое подмножество ком

понент Л сети Ж замкнуто тогда и только тогда, когда Л включает всех предшественников компонент в Л.

Рассмотрим понятие разбиения со свойством подстановки. Раз

биение П множества состояний автомата А =				(S,	X,	Y,	б, К) имеет
свойство	подстановки, если	s == t (П)	б (s,	х)	=	б (t,	х) (П) для
всех х £	X. Индукцией по	длине	входной	последовательности

легко показать, что П имеет свойство подстановки тогда и только тогда, когда


s = t (П) -»- б (s, р) == б (t, р) (П) для всех					р Є X*.	(5.4)
Пусть i\|) — взаимно однозначное			отображение,		которое	каждой
компоненте сети ставит в соответствие ее номер,					т. е. г]) (Ас) — і.
Покажем,	что	если подмножество компонент Л		сети Ж замкнуто
и непусто,	то	разбиение ф (ф {Л))	множества	состояний		автома
та Ж имеет свойство подстановки. Прежде всего					заметим, что из
(5.1) и (5.3) следует справедливость			соотношения
s =	t (Ф(ф {Л))) «-* р Г , (s) = рг£ (t) для всех			і Є і\|з (Л).		(5.5)

Пусть

s =

(ф (a|> (c/Z))),

s =

(su

s2 ,

s„)

* =

(4,

f2 ,

Докажем, что для произвольного х £

X A (s, х) == Д (f, х) (ф (ф (А))).

Поскольку

/ находятся в одном классе разбиения

ф (ф

(А)),

то из (5.5) следует, что для любого

і £ ilp (A)

s(- = tt. Кортеж

(alr

а 2 , a k ) условимся обозначать символом

X аь

где J —

( 1 , 2 , k ) .

На основании

определений

функций

переходов

А и б,- находим,

что A (s, х)

X 6, (s,,

S:, х)

Д (t,

х)

б> (*м

х).

'Є/

/£/(

«є/

/є/,-

Пусть

і £ -ф (c/Z) — произвольно, тогда

£ А

и /, є

ij) (сД),в

си

лу замкнутости

множества <Л. Поскольку st

— ts и sy =

^ для

лю

бого

j Є /,-,

то

б, (Si,

X s.-,

х) =

б,- (t[,

х г1.-,

х). Так как имеет

место

соотношение (5.5), а

£ ур (А)

было

выбрано

произвольно,

то состояния

Д (s, х) и Д (t,

х) находятся

одном

классе разбие

ния ф (ф (А)),

что и требовалось

доказать. Отметим, что этот

ре

зультат другим

способом доказан в работе

[60].

Для произвольного автомата А — (S, X, Y, б, Я) через б обозна чим расширенную функцию переходов, которая осуществляет ото бражение множества ,5 X X* во множество всех последовательно стей конечной длины в алфавите 5 и определяется следующими ре курсивными формулами:

			6(s, е) =		е,
			б (s, рх)		= 6 (s, р) б (б (s, р),			х),
где s £ S,		х £ X	и р £	X*.
Пусть Пх и П2			— разбиения одного и того же множества. Будем
писать	I I j - < П2 ,		если а =		b (Еу	влечет а		Ь (П2 ).
Теорема 5.2. Пусть абстрактная сеть Ж,								реализующая		сильно
связный автомат А — (S, X, Y,						б,	Я), связна относительно				Айв
сети возможны только простые неисправности. Тогда, если										подмно
жество ее компонент А замкнуто и ф (ф (А))								; > Пд, то сеть Ж ком
понентно-диагностируема					относительно множества номеров \р (А)..
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства того, что простым
экспериментом с сетью				принадлежащей множеству сетей						{Ж]	U
U \Ж\)	(і	Є Л І € Jd,		можно		установить,		исправны	ли	в	ней
компоненты с номерами				из я\|> (А),			достаточно показать,		что двух
элементный класс			автоматов
{Г({Ж}		U {ЖІ}),	Т({Ж))){к£1-Ъ(<А),				l£Jk, г£хЦА),			u£J,)

является исключительным. Исключительность указанного класса равносильна тому, что каждый из двухэлементных классов {Ж, Ж"} и {ML Ж") является исключительным. На основании теоремы 5.1

можно утверждать, что класс {Ж, Ж") — исключительный. Покажем,

что	{Жк,		Ж")	также исключительный	класс.	Пусть	s и	t —
произвольные состояния в автоматах Ж'к и Ж" соответственно. В								си
лу	свойства 3 простых неисправностей сети Ж,					можно заключить,
что s и		t	являются состояниями автомата Ж-
	Предположим, что существует х £ X,				для которого		Л (s, х) Ф
Ф	A (t,	х). Учитывая справедливость равенств Л (s, х) — АІ (s, л:) и
Л (/, х)		=	Л" (t,	х), приходим к выводу, что состояния			s в ЖІ и t

в Ж" не эквивалентны. Поскольку s и t были выбраны произвольно,

то {ЖІ, Ж'к) есть исключительный		класс.
Пусть для всех х £ X	A (s, х) =	Л (t, х). Тогда	s== t (Щ)	на ос
новании (5.2), а так как	ср (т]э (А))	> Пл, то s =	t (ср (ф {А))). По
скольку согласно теореме 5.1 автоматы Ж и Ж" составляют				исклю

чительный класс, то существует такая входная последовательность р,

что Л (t, р) Ф Л" (t,	р). Из этого соотношения	и	свойств	простых
неисправностей следует, что существует такая		начальная		часть q
последовательности	р, для которой ргЛ (A (t,	q))	Ф ргЛ (Л" (t, q)).

По предположению, множество компонент А замкнуто и, стало


быть, разбиение ср (ф (А))	имеет свойство подстановки. Поэтому			на
основании (5.4) и (5.5) с	учетом того, что г £ ф> (А),		получаем	ра
венство рг, (A (s, q)) = prr (A (t, q)). Так как		k (£	г\|э (А), то вход
г-тл компоненты сети не зависит от состояния		k-їл компоненты. При

нимая во внимание свойства простых неисправностей, находим, что

prr (A (s, q))	=	рг, (A'k (s, q)).			Таким		образом,	ргг (Д£ (s, q))			ф
Ф prr (A" (t,	q))	и, значит,		Alk	(s, q) Ф A" (t, q) (ф (яр (Л))).					В силу
неравенства ср (Ф (А)) >			Щ заключаем, что существует х' £							X, удов
летворяющий	соотношению			Л	(АІ (s,		а), х') Ф	А	(А" (/,	q),	х').
Но тогда на основании четвертого свойства простых									неисправностей
получаем соотношение			ЛІ (s,		qx')	Ф	A" (t, qx'),	которое		доказы
вает неэквивалентность			состояний			s и t в автоматах Жк и Ж" соот
ветственно.
Теперь остается доказать, что если номер неисправной										компо
ненты принадлежит множеству					{А), то его можно найти простым
экспериментом с сетью it			£ {Ж'І}		(і Єф (A), j £ J t ) . Для этого достато

чно показать исключительность класса автоматов {Г ({{•} /є^)} ^є-Ф ФУ-

Зафиксируем	произвольные і, k Є 'ф [А),		і Ф k, / £ J c ,	I £ J k и
установим,-что произвольные состояния s в ЖІ и / в Жк				неэквива
лентны.
В случае,	когда s ф	t (ПЛ ), состояния	s в Ж\ и t в Жк неэкви
валентны.
Предположим, что s =		t (ПЛ ), тогда s =	t (ср (ф (А))).	Поскольку

согласно теореме 5.1 автоматы Ж и ^'составляют исключительный

класс,	то	существует такая входная последовательность р,	что
A (s, р)	Ф	А\ (s, р). Тогда из свойств простых неисправностей	сле-

дует

существование

начальной

части

q — q'x

(q'

X*,

£ X)

последовательности

р ,

удовлетворяющей соотношениям

рг, (Д (s, q ) ) ^ p r , ( A i ( s ,£/)),

(5-6)

-,-

q').

A(s,q')

A{(s,

Допустим,

что рг,- (ДІ (t,

q))

ргг

(Д (t, q)).

Из

соотношений

(5.4),

(5.5)

£ ф (А)

получаем

ргг (Д (s, (7)) =

рг, (Д (t,

а)).

Тогда,

учитывая

(5.6),

находим,

что pr;

(Д, (t,

q)) щк рг, (А[ (s, q)).

Если

АІ

(t,

Д{- (s, 7), то s' ^= f

(ф (ф

(А)))

и,

сле

довательно,

существует

х'

Є X

такой,

что^ Л (У, х')

Ф Л (f,

х').

Отсюда

получаем

соотношение

Л[- (s,

qx')

А{

(t,

qx'),

которое

доказывает неэквивалентность состояний

SH t в автоматах Ж\

и ЖЇ

соответственно.

Пусть теперь pr, (Ak (t,

q))

Ф ргг (Д (t,

q)).

В этом случае долж

на существовать, начальная часть q" последовательности

q такая,

что

Ч"Ф

pr t (At (t,

q"))

рг, (Д (t,

q")). Из

(5.6)

следует,

что

Д'

(s,

q")

= Д (s,

q"),

а на основании

соотношений (5.4),

(5.5)

и k £ ф (А)

можно утверждать справедливость равенства

pr, (A (s,

q"))

рг, (Д (f,

q")).

Поэтому

рг, (Д, (*, <?")) ^= рг,

(Д{ (s,

q")).

Если

Д, (t,

q")

s" =

Д{ (s, g"),

то

Ф t"

( Ф

(і])

(А))),

и так же, как в предыдущем случае, легко показать

неэквивалент

ность состояний s и t в автоматах ЖІп

Jfjl. Теорема

доказана.

Непосредственно из теорем 5.1 и 5.2 вытекает

следствие.

Следствие 5.1. Пусть

абстрактная сеть j f , реализующая

сильно

связный автомат А,

является

связной

относительно этого

автомата

и в ней возможны только простые неисправности. Тогда, если Ж


состоит из п компонент и можно выделить замкнутое							множество
компонент А такое, что \| А \| =				п — 1 и ф (яр (А))		>• Пд, то сеть Ж
компонентно-диагностируема.
Отметим, что необходимым и достаточным условием							компонент
ной	диагностируемости	сети Ж		относительно множества				номеров
Ф (А)	ее компонент является		исключительность класса				автоматов
	Э П = {Г({#{}/ЄУ( )}<ЄФИ>		U {Г({Ж)		U { Л ё Ч < А ^ ) Ь
где Г ({Ж'с}/^.) — сумма автоматов, соответствующих							различным
неисправностям t-й компоненты; Г ({Ж}					U {Жк)к@у	(A. tGJk)		— сум
ма автоматов, одним из		которых		является автомат Ж, а			остальные

соответствуют различным неисправностям различных компонент, номера которых не принадлежат множеству ф (А). Ясно, что ис ключительность класса Ж зависит от конкретного проявления не исправности каждой компоненты и при столь слабых ограничениях на характер неисправности сети, которые соответствуют простым неисправностям, необходимое и достаточное условие в общем слу чае выполняться не будет. Хотя условие ф (ф (А)) > Пл не являет-

ся необходимым для того, чтобы сеть Ж [Ж реализует сильносвяз ный автомат, является связной относительно этого автомата и в ней возможны только простые неисправности) была компонентно-диаг ностируемой относительно множества номеров тр {Л) своих компо нент <А, но это условие в рамках класса простых неисправностей инвариантно по отношению к конкретному проявлению неисправ ности компоненты. Благодаря этой инвариантности достаточного условия появляется возможность проектировать компонентно-диаг ностируемые сети, реализующие сильносвязные автоматы, без учета конкретного проявления неисправностей компонент в границах свойств простых неисправностей.

5.3. П о с т р о е н и е компонентно - диагностируемой сети

Этот и следующий раздел данной главы посвящены вопросам учета требований технической диагностики на этапе проектирования устройства. В частности, рассматриваются вопросы построения ком понентно-диагностируемых сетей, реализующих поведение состояний сильносвязных автоматов. Отметим, что в работе [60] определены необходимые и достаточные условия существования абстрактной сети, реализующей поведение состояний автомата, и дан метод по строения такой сети, если соответствующие условия выполняются. Наша задача состоит в том, чтобы найти такие дополнительные ус ловия, налагаемые на автомат, которые обеспечивали бы возмож ность построения компонентно-диагностируемой сети. Построение компонентно-диагностируемой сети разделяется на два этапа. На первом этапе, который основан на методе, изложенном в работе [60], получается такая сеть, что в определяемом ею автомате функции переходов и выходов в общем случае не всюду определены. На вто ром этапе функция переходов доопределяется так, чтобы сеть ока залась связной относительно реализуемого автомата, а функция выходов — так, чтобы qp (ty (А)) >-ПЛ , где Л — множество, состоя щее из п — 1 компоненты сети (п — число всех компонент сети). Дополнительные условия, налагаемые на автомат, обеспечивают возможность проведения второго этапа построения сети.

Приведем необходимые понятия и результаты из книги [60]. Предположим, что поведение состояний автомата А = (S, X, Y, б, К) реализовано абстрактной сетью Ж такой, что определяемый этой сетью автомат Ж есть (V, X, Y, Л, Л). Пусть а есть изоморфизм автомата А на подавтомат автомата Ж- Тогда разбиения Г,, Р,-,/ множества 5 и Mj множества X называются ассоциированными раз биениями, индуцированными на А сетью Ж, если они определены соотношениями

а = b (Г;) ~	рг, (а (а)) =	рг, (а (Щ),
а =з b ( Р Л / ) « - ftj (рг, (а (а))) =		(рг, (сс (6))),
х зз у (М,)	fx,[ (х) =	fX,i (у),

где 1 •< і, / < : п, a п — число компонент сети Ж-

Пусть Mss (Г;) такое наибольшее разбиение множества'5, что

а = Ь (Ms~s (Тд) -^8(а,х)~о	(b, х) (Г{)	для	всех	х £ X, (5.7)
a Mx-s (Г,-) — такое наибольшее разбиение множества				X,	что
x=£y(MX-s(Tt))^>-6(a,x)==&(a,	у) (ГЦ	для	всех	a	£S.

В дальнейшем нам понадобится следующая фундаментальная тео рема.


Теорема	(Хартманиса — Стирнса). Пусть даны автомат А		=
= (5, X, Y,	б, X), разбиения Г,, Р,-,;- множества S и разбиения		М,
множества X для 1 •< i, j •< л. Сеть % в стандартной		форме та
кая, что Ж реализует поведение состояний А и Г,-, Р,-^, М;		являются

ассоциированными разбиениями на А , существует тогда и только

тогда,	когда выполняются следующие			условия:
1)	Г,-П Р/.,-< A f s _ s (Г,-)	для	всех	і;
	і
2)	М,- < Mxs (Г;)	для	всех	і;
3)	Р£ ; - > - Г,-	для	всех	і и /;
4)	П'ГЛ = 0.
	г

Хотя доказательство этой теоремы дает (при выполнении усло вий 1) — 4)) метод построения сети, реализующей заданный авто мат, однако ввиду громоздкости оно здесь не приведено; сам метод построения сети будет изложен без обоснования при доказательстве

следующей

теоремы.

Рассмотрим вопросы, связанные с построением компонентно-

диагностируемых

сетей. Аналогично

(5.2) определим разбиение Щ

множества

состояний автомата

А.

Теорема

5.3.

Пусть

{Г,} (1 •< і •< п) — семейство

таких

не

тривиальных

разбиений

множества состояний

сильно

связного ав-

томата А =

(S, X ,

б, X), что Г0

л—1

Г, имеет свойство под

= П

ілі

становки, Г0

существует

компонент

П*. и Г — П Г, = О. Тогда

ів

но-диагностируемая

сеть J t , состоящая

из п компонент

(і-я компо

нента имеет | Гг | состояний)

и реализующая

поведение

состояний

автомата

А.

{Р*,у}

Д о к а з а т е л ь с т в о . Определим семейство разбиений

(1 < ; i, j <

я) множества S следующими соотношениями:

J?i,t

для

£ = 1,2, . . .

п;

Pij

Г,

для

і, / =

1, 2

п — 1

и іф j ;

Р,,„ =

Г,

для

t ' = l , 2 , . . .

л — 1;

Р л У

= і

для t = l , 2 ,

. . . ,

п — 1.

Пусть, далее, разбиения Мг множества

X таковы, что

Ш1

= О

для всех і (1 < : і <С п). Покажем, что разбиения

Г,-, Р/,/ и М( удов-

летворяют условиям 1) — 4) теоремы Хартманиса — Стирнса. Рас смотрим условие 1).

Пусть і Ф п, тогда

	Г, П Р/.« = Г( РЛ ,РЛ ,, П			Р,-./ =	г ( п г ;	= "П Г/ =	Г0 .
		/	І+і		ІФІ	І—1
			І+п		іі-п
Так как	Г0	имеет свойство подстановки и Г0				< ; Г,, то а =	Ь (Г0 ) - >
->- б (а,	х)	=з б (Ь, х) (Г,)	для	всех	х £ X.	Поскольку	Mss (Г/)

есть наибольшее разбиение, удовлетворяющее соотношению (5.7),

то	Г0 < MS-s	(Г,).	Если	і — п, то
	Гп	П Р/.„ = ГП Р„.„ П			Р/.в = П Г/ =	Г =	О,
и	условие 1) также		выполняется. Проверка выполнения условий
2) — 4) тривиальна.
	Таким образом, согласно теореме Хартманиса — Стирнса можно
построить сеть			({А[},	X,	Y, {Д./}, {fx,i},	g)	в стандартной

форме, которая будет реализовать поведение состояний автомата А и будет состоять из п компонент. При этом множеством состояний

1-й компоненты будет Г,.

В нашем случае для

і =

п — 1

= (Г„

Хь

6,),

где

X , = 1\ X

• • • X

Г,_,

Г / + 1 X

• • • X

X Г„_і х

Функция переходов б

определяется

соотношением

б,-(Кг, (я), Кг, (я), . . . .

Кг,._,(а), Кт,+1{а)

Кг я _ , (а),

где

Кг. ( я ) — класс

разбиения Г/,

содержащий

а.

Заметим,

что

функция переходов б, не определена, если

л—1

0 .

Для

|~| Кг. =

автомата

Ап

= (Г„,

Хп,

б„) принимается

Х „

= І\ х

Га

• • • X

X Гп _і X

X ,

а функция

переходов

б„ определяется

выражением

М Я г „ ( а ) , Кг, (а),

Кг„ _ , (а),

х) =

Ктп(&(а,

х)).

Функция

б„ не определена, если П Кг. = 0 . Легко видеть, что

в рассматриваемом случае і-я компонента совпадает с і-м автоматом

Медведева,	т. е. Л, =	At.	Пусть а	: S	V	изоморфизм, соответ
ствующий	построенной	реализации		поведения			состояний, где	V =
= X Г/ — множество состояний автомата						Согласно работе		[60]
а (а) = (Кг, ( а ) К г л ( а ) ) -			Таким образом, множество состояний V
подавтомата ££' автомата £6, изоморфного					А,		определяется	соот
ношением V = a (S).
Покажем, что функции переходов компонент можно доопределить.
так, что сеть Сбудет связной относительно						А. Для этого введем в

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ