книги из ГПНТБ / Мироносецкий Н.Б. Экономико-математические методы календарного планирования

б) оптимизацию объемной загрузки оборудования в соот­ ветствии с выполнением всего портфеля заказов и построение общего календарного плана производства на год или на не­ который достаточно большой отрезок времени;

в) установление уточненных сроков выполнения заказа и его важнейших этапов на основе полученной объемной загрузки оборудования на квартал или месяц;

Первые три этапа внутризаводского планирования осно­ ваны на комплектном планировании обработки изделий и объемной загрузке оборудования, определенной с той или иной степенью детализации. В результате выполнения про­ цедур одной из систем внутризаводского межцехового пла­ нирования устанавливаются сроки выпуска каждого комп­ лекта деталей. Для каждого наименования детали из комп­ лекта на основе одной из практически применяемых методик (Климов и др., 1961; Саломатин, 1964) определяется размер партии для обработки в механических цехах.

Необходимо заметить, что при внутрицеховом планирова­ нии оперативные задания составляются подетально, комп­ лектно-групповое распределение задания в цехе практически не применяется. Для технологических участков механиче­ ского цеха оперативные задания составляются в подетальном разрезе, причем срок окончания обработки детали устанав­ ливается на основании срока выпуска детали из цеха с уче­ том оставшихся операций, выполняемых в цехе вне данного участка. Срок выпуска детали из цеха должен в обычных случаях совпадать со сроком выпуска из цеха всего комплек­ та, в который входит данная деталь. Исключение составляют детали, в которых возник дефицит на сборке. Такие детали обрабатываются с наибольшим предпочтением. Понятно, что система внутризаводского планирования должна быть на­ правлена на уменьшение количества такого рода исключений.

Для предметных участков, специализированных по узлам, месячные, декадные или недельные задания составляются пу­ тем выборки узлов из месячной оперативной программы цеха. Сроки выпуска деталей узла с участка определяются так же, как для технологических участков. Планирование обработки деталей, составляющих узел, производится подетально, как и для технологических участков. И поэтому при разработке оперативных календарных планов по цехам и производствен­ ным участкам речь будет идти о составлении расписания об­ работки заданных партий деталей, а не комплекта.

Во внутрицеховом планировании при единичном и мелко­ серийном типе производства чаще всего применяются раз­ личные модификации системы так называемого текущего

распределения работ. Календарный график загрузки оборудо­ вания составляется по этой системе только для ведущих деталей с длительным циклом изготовления. Расписание обработки остальных деталей производственной программы не составляется. Мастер решает вопрос о том, какая партия деталей из ожидающих будет проходить обработку на осво­ бодившемся станке, зачастую в момент освобождения стан­ ка. При распределении работ по станкам мастер или распре­ делитель руководствуются в первую очередь сроками выпуска деталей и графиком Гантта (календарным графиком) обра­ ботки важнейших деталей. В качестве традиционных инстру­ ментов планирования используются различного рода карто­ теки, распределительные доски и т. д.

При внутризаводском планировании на первых этапах за основу расчетов межцеховых календарных планов принима­

календарного плана. В условиях единичного и мелкосерий­ ного производства нет закрепления работ за единицами обо­

тивно-производственного планирования: именно последова­ тельность обработки деталей на станках имеющегося парка оборудования определяет в конечном счете время производ­ ства продукции, выполнение намеченной производственной программы в заданный срок, эффективность использования производственных мощностей и трудовых ресурсов пред­ приятия.

Рассмотрим проблему составления пооперационного планаграфика движения деталей по рабочим местам или. кален­ дарного плана-графика загрузки оборудования на небольшом условном примере. По плану на трех различных станках (I, I I , III ) должны быть отработаны три детали (А, Б, В). Для каждой из них известен технологический маршрут и время обработки на каждом станке. Задана также пропускная спо­ собность или полезный фонд времени работы каждого типа

Плановый коэффициент загрузки оборудования в нашем примере равен 39:60=0,65. Как показывают расчеты, за-

20

Расчет объемной загрузки оборудования

данная производственная программа может быть выполнена

оборудование располагает значительными резервами полез­ ного фонда времени.

Следующий этап внутризаводского планирования — раз­ работка оперативных планов-графиков загрузки оборудова­ ния, оперативное руководство производственным процессом. По условиям задачи, построение календарного графика мо­ жет быть выполнено в любом варианте: детали могут сле­ довать в порядке: А, Б, В или Б, А, В, или в любой из шести возможных перестановок (рис. 1).

Из построенных календарных графиков загрузки оборудо­ вания (см. рис. 1) заданным условиям отвечает только ва­ риант В, Б, А, поскольку он позволяет выполнить план обра­

Рис. 1.

как все остальные варианты не обеспечивают выполнения плана из-за недостатка полезного фонда времени загрузки оборудования. В приведенном примере, чтобы рассчитать план, удовлетворяющий условиям задачи, пришлось перебрать всего шесть возможных различных вариантов календарного графика. В общем случае, если технологическая последова­ тельность выполнения операций над каждой деталью изве­ стна и порядок движения деталей друг за другом в процессе обработки остается неизменным, то общее число всех вариан­ тов календарных графиков при обработке т деталей равно т\

Оценим число вариантов в более общем случае, когда последовательность движения деталей в процессе обработки может нарушаться, т. е. детали в процессе обработки могут обгонять друг друга.

положим, что порядок выполнения операций над каждой

ментов этого конечного вариационного ряда распадается на подмножество равных между собой элементов. Количество подмножеств обозначим через k, а число элементов в подмно­

элемент подмножества Mi+i. Из каждого подмножества рав­ ных между собой элементов у, вариационного ряда произ­ вольно отберем по одному представителю щ Е Mt. В первых к\ операциях в обработке находятся т деталей; с (xi + 1)-й по («г) -ю операциях — т—1\, потому что 1\ деталей уже об­

По известным правилам комбинаторики (Риордан, 1963) можно определить число способов выполнения всех операций над деталями. Легко установить, что выполнить первую опе­ рацию над всеми деталями представляется т\ различными

22

способами, вторую операцию можно выполнить также ml способами, а следовательно, выполнить две первые операции над всеми деталями можно ( т ! ) 2 способами. Выполнить пер­ вые "М операций, если число деталей, по сделанному выше предположению, не меняется, можно (ml)*i числом способов.

При выполнении операций %с + 1, • • ., х2 число деталей остает­

Решение задачи календарного планирования методом пол­ ного перебора представляется совершенно безнадежным де­ лом как в настоящий момент, так и в будущем. Например, для небольшого механического цеха, в котором обрабатыва­ ется сто деталей, выбор оптимального по заданному крите­ рию календарного графика методом полного перебора по­ требовал бы несколько веков даже на фантастической циф­ ровой вычислительной машине, способной выполнять мил­ лиарды операций в секунду.

Точные методы решения в общем случае этой комбина­ торной задачи пока не разработаны. В последующем мы будем говорить преимущественно о приближенных методах решения календарной задачи.

23

§ 2. ПРОБЛЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

Проблема оптимизации внутрицеховых оперативно-кален­ дарных планов — одна из сложнейших экономико-математи­ ческих проблем. Она привлекает внимание математиков, эко­ номистов и организаторов производства в СССР и за рубе­ жом на протяжении уже нескольких десятков лет, что объяс­ няется, по-видимому, как острой потребностью промышлен­ ности в вычислительных алгоритмах решения задачи кален­ дарного планирования, так и особой сложностью разработки алгоритмов нахождения оптимального календарного плана, реализуемых на современных цифровых вычислительных ма­ шинах.

Попытка оптимизации календарных графиков с помощью математических методов была предпринята еще в 1911 г. Бабкоком, однако она оказалась по вполне понятным при­ чинам неудачной.

Первая фундаментальная научная работа по проблемам оптимизации использования производственных ресурсов и оп­ тимальным методам организации и планирования производ­ ства была опубликована Л. В. Канторовичем в 1939 г. Новое направление прикладной математики, получившее в дальней­ шем название линейного программирования, дало средство для проведения целого ряда исследований в области кален­ дарного планирования как в Советском Союзе, так и за рубежом.

Многообещающие результаты в области оптимизации ка­ лендарных графиков получены С. Джонсоном (Johnson, 1959). Им была решена задача нахождения оптимального плана обработки т деталей на двух станках. Для общего случая эта задача в описании Р. Беллмана (Bellman, 1956) формулируется следующим образом.

Имеется т, вообще говоря, неодинаковых деталей, кото­ рые должны быть обработаны на п различных станках. Тех­ нология обработки определяет порядок прохождения каждой

так определить порядок запуска деталей в обработку, чтобы общее время, необходимое для выпуска всех т деталей, было минимальным.

Эта задача получила в литературе название «задачи Джонсона». Алгоритм нахождения оптимального календар­ ного графика, построенный Джонсоном, решает сфомулированную задачу, как было уже сказано, для случая п = 2 . Кроме того, в ней предполагается, что порядок прохождения всех т деталей по этим двум станкам должен быть одинаков. Алгоритм Джонсона (Джонсон, 1965) чрезвычайно прост,

24

и для случая трех станков, если порядок обработки всех дета­ лей на станках одинаков и для всех т деталей выполняется одно из условий:

m i n ^ i ^ m a x t i 2 или min f i 3 ^ma x ti2, i=l(\)m.

Имеются многочисленные попытки обобщения правила Джонсона для других случаев трехстадийной обработки де­ талей. Но для случаев обработки деталей на большем коли­

первых ставит так проблему Лурье (1964). Рассматриваемая автором задача календарного планирования — это та же задача Джонсона со следующим ограничением: каждый вид деталей проходит через один и тот же станок не более одного раза, т. е. в технологическом маршруте нет возвратов, кроме того, каждая операция может производиться только на одном станке, т. е. нет взаимозаменяемого оборудования. Автор посредством введения некоторых неотрицательных неубыва­ ющих функций сводит задачу Джонсона к задаче нелиней­ ного программирования, однако число уравнений в ней мно­ гократно превосходит число тУ^п.

Методы решения таких задач в настоящее время неизве­ стны, поэтому автор предлагает несколько приближенных методов решения этой нелинейной задачи путем сведения ее к задаче линейного программирования. Такое сведение осу­ ществляется известным приемом: время рассматривается как дискретная величина. Это приводит к введению в модель пе­

времени, которое запланировано затратить в k-ш интервале для обработки на станке / деталей вида L В другой модели переменная Xiih=l, если планируется начать обработку в k-м интервале времени на станке / деталей вида i. Число ограничений в получаемых таким образом задачах линейного или линейного целочисленного программирования превосхо­ дит величину СптК, где константа С зависит от конструкции модели (как правило, С^$> 10).

Идеи А. Л. Лурье были развиты в дальнейшем рядом исследователей, стремившихся в основном уменьшить число рассматриваемых уравнений и переменных. Один из самых удачных подходов к формированию линейной целочисленной

25

модели для решения задачи календарного планирования в по­

над деталями. Для формирования модели все операции над заданными деталями нумеруются произвольным образом, но с сохранением технологической последовательности. Неизве­ стные Xj означают номер интервала, в котором начинается выполнение j-ii операции. С помощью этих целочисленных переменных формируются ограничения по ресурсам, а для формирования технологических ограничений вводятся допол­ нительные целочисленные переменные. Модель Мэна являет­ ся одной из самых компактных линейных целочисленных моделей календарной задачи Джонсона, но и она намного превышает возможности современных ЦВМ.

В работе А. Мэна приводится пример, иллюстрирующий размеры модели. Если на каждом из пяти станков должно быть выполнено 10 работ, то число целочисленных переменных Х} будет равно 50, а общее число переменных составит 275. Число уравнений превысит 200. Достижение такого числа переменных требует довольно большой работы по исключе­ нию дополнительных переменных. Для решения этой задачи, как отмечает автор, требуется внушительный, но отнюдь не невыполнимый объем вычислительной работы. На наш взгляд это слишком оптимистическое утверждение. Дело в том, что в настоящее время неизвестны практически эффективные алгоритмы решения задач целочисленного линейного програм­ мирования. Алгоритмы Р. Томори (Корбут, Финкельштейн, 1969) при практических расчетах не всегда оказываются эф­ фективными. Как показали исследования, проведенные в Ин­ ституте экономики и организации промышленного производ­ ства и математико-экономическом отделе Института матема­ тики СО АН СССР, в некоторых случаях даже для малых задач с числом уравнений и переменных, не превышающих 10—15, методами Гомори не было получено оптимальное ре­ шение при числе итераций более тысячи. С ростом размер­ ности задач количество итераций, необходимых для их реше­ ния в методах Гомори, резко растет.

К таким же выводам приходит и Сторрн, выполнивший большую экспериментальную работу по выяснению вопросов о применимости методов целочисленного линейного програм­ мирования к решению задач календарного планирования в постановке Джонсона (Сторри, 1968). В частности, отмечает­ ся, что для некоторых задач Джонсона для 3 станков и 5 де­ талей, решавшихся методом Р. Гомори, оптимальное решение не было получено и за 1000 итераций. Экспериментально

26

проверено, что с ростом числа станков или числа деталей количество итераций очень быстро растет.

Имеются попытки сведения задачи календарного планиро­ вания к задаче квадратичного целочисленного программиро­ вания (Смоляр, 1967). Получающиеся в результате квадра­ тичные целочисленные модели имеют почти такие же разме­ ры, как и линейные целочисленные модели, но методов реше­ ния этих задач пока нет.

Втипичных моделях линейного, линейного целочисленного

иквадратичного целочисленного программирования могут найти отражение многие важнейшие ограничения задачи ка­ лендарного планирования. В частности, эти модели в форме ограничений на переменные выражают требования, наклады­ ваемые на сроки выпуска отдельных деталей. Допускается обработка деталей партиями, но для этого необходимо неко­ торое предварительное преобразование исходной информа­ ции. В качестве критерия оптимальности в описанных моде­ лях принимался критерий Джонсона — минимум календарной длительности обработки всей программы.

Рассмотренные модели имеют целый ряд существенных недостатков, главный из которых, лишающих эти модели практической ценности,— быстрый рост размеров моделей с ростом размера задачи календарного планирования. Почти

Количество ограничений в моделях растет, конечно, мед­ леннее, но даже в небольших заводских задачах для 15—20 станков и 30—40 деталей число ограничений достигает не­ скольких сотен. Решение задачи таких размеров в настоящее время практически неосуществимо из-за размеров оператив­ ной памяти ЦВМ и отсутствия надежных методов решения задач линейного целочисленного программирования.

Кроме почти экспоненциального роста размерности, всем известным линейным целочисленным моделям свойственно существенное огрубление результатов. Это вызвано необхо­ димостью рассматривать время как дискретную величину с довольно большим шагом изменения At. Уменьшение At вызывает увеличение параметра К, от которого зависит раз­ мерность модели. Этот недостаток может быть устранен соз-

27

данием методов решения задач линейного программирования смешанного типа, в которых одни переменные являются цело­ численными, другие — непрерывного типа. Наконец, общим недостатком является то, что в этих моделях не учитываются такие технологические условия, как совместная обработка группы деталей на одном станке, планово-предупредительный ремонт станков и др. Частные недостатки отдельных моделей здесь не рассматриваются.

Попытки решения задачи календарного планирования методами динамического программирования также не при­ вели, по крайней мере до настоящего времени, к вычисли­ тельному алгоритму решения исследуемой задачи.

Все это заставляет исследователей обратиться к эвристи­ ческим методам решения задачи календарного планирования. Эвристические алгоритмы позволяют учитывать многочислен­ ные обстоятельства при решении задачи календарного плани­ рования, которые свойственны той или иной технологической структуре мелкосерийного и единичного типов производства. Часто эвристические алгоритмы представляют собой матема­ тическую разработку и описание на языке исследования операций методик, которые применяет на практике высоко­ квалифицированный' специалист. При выполнении процедуры календарного планирования предполагается использование ЦВМ, поэтому результаты вычислений оказываются, как пра­ вило, не хуже результатов работы специалиста. При разра­ ботке эвристических процедур и программ построения кален­ дарного графика можно использовать отдельные преимуще­ ства методик работы, применяемых на практике.

Наибольшие успехи достигнуты, естественно, в решении одной из самых простых задач календарного планирования: составлении календарного плана обработки т деталей на одном станке при условии, что для каждой детали задан плановый срок выпуска т,-. В случае детерминированной про­

шается и при минимизации суммарных опозданий с постав­ ками. В этом случае порядок обработки определяется продол­ жительностью обработки деталей. Первой должна обрабаты­ ваться деталь с наименьшей продолжительностью операций из всех необработанных деталей. В этой же работе приведен

28