книги из ГПНТБ / Богомолов С.И. Взаимосвязанные колебания в турбомашинах и газотурбинных двигателях

Д л я

получения

системы

уравнений

используются

сле­

дующие

соотношения

[30].

1.

Уравнения равновесия

дг

+

аѳ

і

дг["г

гдг

J +

08 [г

1 П д и

J

и'

Ѵ>

д(М-.г)

öM.a

- ^

P

+

^

°

-

M

0 - Q

, . r

=

O,

(10)

- S r 2 —

+

"de

+

Qo-

г =

0,

(11)

где

Qr , Qe — поперечные

усилия,

действующие

на

еди­

ницу

длины

в цилиндрическом

и

мери­

диональном

сечениях

диска;

M r

,

M t ,

Mra — изгибающие

и

скручивающий

моменты

N

,

действующие

в

тех

же

сечениях;

r

jV§ — усилия

в срединной

плоскости

диска, вы­

званные

центробежными

силами

и

осе-

симметричным

неравномерным

нагревом,

при

этом

N г = °г • h,

NQ = а0

• h;

"п °ъ—

соответственно радиальное и окружное

нормаль­

и(г,

ные

напряжения

в

диске;

в)—перемещение

сечения

диска

вдоль

оси

ротора

(оси

х).

Усилия

N r,

Nu

являются

решением

статической

зада­

центробежных

сил

и

неравномерного

нагрева, т. е. опре­

деляются

независимо

от изгибиых колебаний диска и для

получения

матрицы

упругого участка

являются

исходной

информацией.

2. Соотношение

между

моментами

и

деформациями

~,

ід'1и

.

( 1

du .

1

дЧс\)

Mr

= -

D

^

+

ѵ \ Т 7 Г

+ -

™

,

(12)

« „ » - o a - ^ l f i - l ) .

,14)

Из уравнения (10) следует, что

где Р = Qr

у

— обобщенная

перерезыгающая

сила.

Умножая

(12)

на

ѵ и

вычитая

из него

(13),

получаем

м ^ т г - о (

і

-

^

+

Щ .

(іб)

Подставляя

(16)

в

(15),

записываем

дМг

і _ ѵ

^

I \

du

\ дги\

2дМгЛ

Учитываем,

что

дг ~

iïr

1 ^

r

1I

r

Ml

1

rlr

r

1 I ЛгЛП

r%1

du

'

дг

r

dfi

J

dr

r

дгдО

r

тогда

уравнения

(9—11)

после

несложных

преобразова­

ний позволяют

записать

дР

=

_

\_ р

_

2_ дМ^

^

2_

дг

г

г1

да

г2

дѲа

'

д

I

ди\

,

д

I

1

ди

(18)

Дифференциальное

уравнение,

разрешенное

относи-

ди

тельно

первой

производной

параметра

^

,

можно

полу­

чить из соотношения

(12):

I 1

I 1 д!и\

. . . .

д

(ди'\

1

M

д и

д?(д?)

=

-

D М г

- '

' [ 7 Ь 7 + ^ Щ -

№

Очевидно также,

что

Теперь

положим,

что

прогиб

пластины

определяется вы­

ражением

и (г, 0, і) =

(У (г) sin пѲ cos (р/ +

е).

(21)

Соответственно

Мг

=

My (г) sin

/іѲ cos (pt +

e),

Р =

рх

(г) sin пд cos {pt + s),

(22)

du

=

dU

(г) .

„

. .

, .

F

- ^ s i n

n O cos (ßt

+ e),

где п — число

узловых

диаметров

колеблющегося диска;

р — собственная

частота

колебаний.

Подставляя

(21)

и

(22)

в

(17) — (20),

получаем

£ . _ 1 Р.+(5=+$

+

+

ѵ/Ѵ„ — /Ѵ„

+ ^ ( Л / 0 - Ѵ І Ѵ , ) К / +

—

г /

— +

L

(23)

rfM</ _

р

1 -

V

„

р (1 -

у )

(3 + у ) ..

~dT ~

х

Т~ m ,

J л

7»

и

~~

_

Д С —

С + ѵ +

2na )

dt/

или

3 F = ^ .

(24)

где

Х г = ( я , , M„, с/,

^

An

— — — ; Ai2=

R2

+

~ ,

.

Р п Ч 1 - ѵ ) [ 2

+

/ г 2 ( І + ѵ ) ] ,

» 2

(NQ-VN,)

із

^

г

'

Г "

А u

Dil2

(1 —

v)

(3

+

v)

^ N

r —

N 4 ) .

л

- [ - А

- - } — ! •

A

D ( 1 " v ) ( 3 + v)-

•ГІ21 — !» Л 2

2 —

1

> " 2 3

—

>

Линейность

системы

(24)

позволяет

записать решение

в виде

-Рх

Еп

El3

ГP x

1

My

Е%2 В23 E24

ми

(25)

и

E32 -^зз

•^34

и

dU

E42

•^43

dU

-dr

1

где En — коэффициенты

искомой матрицы

Е/.

Первый

столбец матрицы

E t

получаем,

интегрируя

систему (24)

при

начальных

условиях

Рх,

Ми,

U,

dr

(1,

о, 0,

0),

второй — при

Рх,

My,

U,

dU

(0,

1,

0,

0)

^ ) =

Xt^E'tXt+i.

(26)

Д л я диска с центральным

отверстием, а также для

некоторого

радиуса, можно

использовать соотношение

ка.

Матрица

массового

элемента дискретной

модели

дис­

Матрица массового элемента дискретной

модели диска

связывает

параметры

деформированного

состояния

слева

и

справа

от массового элемента. Матрица

получена

из

рассмотрения условий

равновесия

сил

и

моментов,

Г-Рх -1

1

0

,щр2

0-,

My

0

1 0

0

My

U

0

0

1

0

и

M

0

0

0

1

dU

i-dr - J

-dr

или

Xi

=

G{Xi+\

(27)

miP2UL

Р и с

6.

Усилия,

действующие

на эле­

мент дискретной модели

диска.

Матричное

уравнение

колебаний

дискретной

модели

диска.

Рекуррентные соотношения

перехода

через

упру­

гий участок (26) и массовый элемент

(27)

позволяют за­

писать

уравнение

дискретной модели

диска

в виде

Х Л о = ЕІ

•

GiE\ . . .

EiG£+i . . .

GkE\Xrk,

или

Xr,

=DXrA.

(28)

ственных

колебаний системы,

частотное

уравнение

кото­

рой

решается

методом

проб. Д л я этого необходимо,

чтобы

алгоритм

программы

предусматривал

вычисление

матриц

Et один раз и в

дальнейших

расчетах

с

пробной

часто­

той

использовал

их как готовую информацию. Получение

матрицы

D с распределенной

инерционной

нагрузкой не

позволяет

этого

сделать.

Определение

усилий,

действующих

в

срединной

плоско­

сти

неравномерно

нагретого вращающегося диска. Исполь­

зуем

уравнение

равновесия

dTr

[rhcr) — ha0 +

рШг2

=

0

(29)

и уравнение

совместности деформаций

і ( г - і -

+

^

) - Ч - ѵ ( -

- ^ = о ,

(зо)

где

аг,

оо — нормальные

напряжения

соответственно

в

радиальном

и окружном

направлениях;

h = h(r) — переменная

вдоль

радиуса

толщина

диска;

Ü — угловая

скорость вращения

диска;

Т =

Т

(г) — температура

диска на окружности

радиуса

г;

Е =

Е (Т) — модуль

упругости,

зависящий

от

темпера­

туры;

а =

а (Т) — коэффициент

линейного

расширения;

р,

м — плотность

материала и

коэффициент

Пуас­

сона.

Уравнения (29),

(30)

с

соответствующими

граничными

кающее

в диске вследствие

вращения и

неравномерного

осесимметричного

нагрева.

Рассмотрены следующие варианты граничных условий.

На

наружном

контуре

облопаченного

диска

_

РгА-Пл

где РгА

— центробежная сила

в корневом

сечении ло­

пл

патки;

— число

лопаток;

г А — н а р у ж н ы й

радиус

диска;

/і А

— толщина

диска

на радиусе г А .

На

наружном

контуре

необлопаченного

диска

о , А =

0.

Интегрирование

(29),

(30)

осуществляется методом

Рунге — Кутта . Д л я

того

чтобы

при интегрировании ис­

радиуса

толщины

диска

Іі=Іі(г),

введем

новые

пере­

менные:

в ^ г Ь г ,

а 3 =

J

—

~ о г

+

а Г .

(31)

Относительно новых

переменных

уравнения

(29) и

(30)

запишутся

следующим

образом:

йТ =

+ Eka2 — (aE/iT

+

?Q2hr2),

dr

Ehr^-^

}

— a

I

'

или

в матричном

виде:

§

=

'Z

+

F.

(32)

где

Eh

'—{aEhT

+p9.2hr2'

,

3

—

1 — - ; F =

1 — V „

3 2

Ehr2

al

В

новой

системе

переменных

граничное

условие

на

наружном

контуре

облопаченного диска

записывается

в виде

Р,

• п„

(33)

2*

'

соответственно для

необлопаченного

диска

0| . д

= 0 .

На внутреннем контуре диска с центральным отвер­

стием

01.0

=

0,

(34)

для диска

без

центрального отверстия

zro

EhQr0

"°

1

П р и интегрировании системы

(32) методом

Рунге

Кутта решение краевой задачи сводится

к решению

трех

начальных

задач. Д л я

этого запишем

решение

для

диска

с центральным

отверстием в виде

'Un

У

а

V

1

" V i l

(35)

° 2

ГА

У 21

У

22.

„°2

"Г

Ѵ2 /А

где Vi]

— частные

решения

системы

(32)

при

F

=

0.

Столбец

получаем

при

U.2 l J

' 1

"

стол бец

°2.

г0

_0_

U и

Un,

— при

0 "

Столбец

.а2

1

Ух

является

частным

решением

неоднородной

системы

(32)

при нулевых

начальных

условиях,

т. е.

а.

0.

Д л я

диска

без

центрального

отверстия

интегриро­

вание

необходимо

выполнять

от

наружного

контура к

внутреннему,

использовав

отрицательный

шаг

интегри­

Un

Ul2

+

Ух

Un

U\2

(36)

получаем распределение

по

радиусу

диска

параметров

аг,

с2. Н а п р я ж е н и я

в

срединной

плоскости

диска,

со­

гласно

(31)

определяются выражениями

„

—

а

'

а0

=

агЕ

— ѵол

-\-

аТЕ.

Д л я

диска

без

центрального

отверстия

при

опреде­

лении напряжения в точке г0

=

0

используется

соотно­

шение

о

ѵ

т

Т

° 2 г 0

=

~ Г

~

¥

"'о

+

'

записываемое

в

виде

°'о = п Ё ^ К о — t

t T

) -

Найденное таким образом распределение нормальных

напряжений

по радиусу диска

может

быть использовано

для

получения

матриц

упругих

невесомых

кольцевых

пластин

дискретной модели диска.

Отметим

лишь

обстоятельства, связанные

с разработ­

кой

алгоритма

и

программы на

ЭЦВМ.

1. Закон

изменения

температуры

по радиусу

диска,

а также

модуля

упругости

и

коэффициента

линейного

расширения

в

зависимости

от

температуры

могут

быть

ходима программа

интерполяции.

В

программах,

разработанных авторами, исполь­

зуется

линейная

интерполяция.

где

Х1+х

=

CtX,,

(37)

ХТ=\РХ,

Ми,

U, dx

'

Рис. 7. Усилия, действующие на

W,

V, Ру,

Р;

элемент оболочки.

При

этом

Рх,

Ру,

Рг — соответственно

нормальное,

обобщенные

скалывающее

и перерезывающее

усилия;

изгибающий момент, вектор которого направ ­

лен

по касательной

к

кругу

поперечного

сечения

оболочки;

U,

W,

V — соответственно перемещение вдоль

образу­

ющей, перпендикулярно

к образующей

и по

касательной к

кругу

поперечного

сечения

оболочки.

Матрица Ci характеризует упругие и

инерционные

свойства

участка

оболочки

между

сечениями

і

и

Эта

матрица

получена путем

интегрирования

методом

Рунге—Кутта системы восьми

дифференциальных

урав ­

нений,

разрешенных

относительно

первых

производных