книги из ГПНТБ / Богомолов С.И. Взаимосвязанные колебания в турбомашинах и газотурбинных двигателях

и у обозначим через U = U (z) и

V — V (г) соответствен­

но, а угол поворота сечения лопатки

относительно

ней­

трального положения — через tp =

tp (z).

Нейтральное

или

зана

система координат

І а

определяется углом а0 ,

который составляют о и этой системы

с соответствующими

осями

основной системы

координат х

о у.

Р и с . 2. Дискретная модель рабочей

Рис. 3. Системы координат

лопатки.

рабочей лопатки.

mk

=

l F (z) dz +

m„p,

с"

где

F (z) — площадь

поперечного

сечения лопатки;

Щ\р—масса

упругой

связи

(проволоки), прихо­

дящаяся на данный участок лопатки;

С*,

С*+ | — границы

/г-го

участка.

Масса

/г-го

участка

лопатки

может

быть

сосредоточена

в

его

середине, разнесена по

концам

либо

сосредоточена

в

центре тяжести.

Массовый

момент

инерции /г-го участка

относительно

оси аС определяется

формулой

0* = р $

Ір (г) dz

+ mk {ei

+ el),

с*

drU

lxMu+IxgMx

dz2

ЕІ^І^

d*V

І„МХ

+

ІхвМа

dz* ~

ЕІ^І^

'

( >

da

Mz

dz

=

—

of

'

В этих уравнениях

I x , I у,

Ixy—моменты

инерции

попе­

речного

сечения

лопатки

относительно

координат­

ных

осей;

/с,

/,] — главные

центральные

мо­

менты

инерции

попереч­

ного

сечения

лопатки;

GT — жесткость

на

кручение

поперечного

сечения

ло­

Мх,

My,

Mz

патки;

— изгибающие

и

крутящий

моменты.

Рассмотрим элемент дискретной модели, состоящий из

упругого участка и

массы

на левом конце этого участка

(рис. 4). В интервале гк,

z*+'

изгибающие

моменты

могут

быть

представлены

соотношениями

М ,

(г) =

Мх

- P k u

{ z -

zk)

-

P

\

{ U

-

-

Uk

+

е^к),

Ми

(2) =

Ml

+ Р'х (z -

z")

+

Pi

(V

+ e,<p

-

V"

-

р«

1 ~\ Р

" А

і к

п *•»

г*

г

Мх(г)

=

M't-THz-z"),

My{z)=Mky

+ PkAz-S),

(2)

где

Ру-Ру

+

Fz

[ d z

+ e * d z +

^<?

^

-

^ +

^ г ^ г

e»dz—d-fy)-

(à)

Величина

,

входящая

в выражения

(3), определяется

при расчетах

по

третьему

уравнению системы (1). Значе-

ния ех, еи

и

АХ производных в определенных сечениях

задаются

в

исходных

данных или вычисляются в про­

цессе счета на машине.

Перерезывающие

силы Рх и PtJ,

центробежная сила Ркг,

а также крутящий

момент М, по

остаются

неизменными.

Подставив

Мх(г), Ми(г) из

(2)

в

первое

уравнение

системы

(1) и

проинтегрировав

его в

интервале от гк до

г к + 1 , найдем

_

duk

, м „

Г

м

„ Г

dz

-

"57

I "м у

Ш7Г

+ м

*

ЁГГ

+

2ft+l

z

гН-1

г

г/г

г А

гк

гк

вой части

этих

уравнений

опущен

индекс

к):

^

= fz

+ АХМУ + АхиМх

+

ВХРХ

-

ВхуРу,

jjk+i = и

+ Ш 1

+ ( л , / _

В х ) Му

+

(Аху1

-

Вху) Мх +

+

(BJ - Cx) Px -

(Bxul -

Cxy)

P„.

(5)

dVk+l

dV

—

—

s r = i ~ A " M x - A*»My

+ B"p« -

B*»p»

VA '+' =

V + d^l - (Ayl -

By) M.x -

(Axyl

- BXy) My

+

+

{Byl - Су) Py ~(Bxul

-

Cxl)

P„

где

cp&+' =cp —

AZM2,

z ft+l

г А +І

А к -

Г - ^ -

Я * - f

^ Z f Ü d -

- J * V , '

, _

J

* v „

"

г*

г*

В

этих

выражениях

индекс

/' принимает

значения х, у

и

ху.

Чтобы проинтегрировать уравнения (1) иа следующем

участке,

необходимо

найти

силы и моменты слева от

массы тк+1.

Если лопатка совершает гармонические коле­

бания

с угловой

частотой

р,

то

из условий

равновесия

выделенного

участка модели

следует

Ppt-PÎ+mWp'iU-efi)*1,

Му+>

=Му

+

PhJk

+ Pi (Uk+>

- е * + У + І - U k +

etf),

P ^

=

P

l + l

n

^

(у

+ е*)™

( р а +

а « ) ,

М*+'

=

Mkx

+ Pkyl" + Р\ ( Ѵ * + І

+ е*+У+1

-

V*

-

*

*ч

І

н

dV\k+[

(6)

Mî+i

= Ml + 6 * +

, р У + '

+ (mexV)k+>

(p2

+

Q2 )

-

— p2 (tnUey)k+l

— (аЯ 2 «р)*+І ,

где

mf t

— масса

é-ro

элемента

дискретной

модели;

Ну,

Нг

— изгибная

жесткость

упругой

связи

в плос­

костях xz

и

ху;

Системы

уравнений

(5), (6) можно

записать в виде

одного

матричного

равенства

F*+i

=

bkYk,

(7)

связывающего

обобщенные

силы

и перемещения

лопатки

в

сечениях

к

и к +

1 матрицей Ьк,

которая

характери­

зует

упругие и инерционные

свойства

элемента

дискрет­

ной

модели.

YT

Матрица-столбец

записывается так:

Рх,

м„,

и,

—,

V,

^ ,

с,

Р„, Мх,

Mz

а

элементы

матрицы

Ьк

имеют следующие

значения:

Ьі , =

mH-'p2

(BJ—

Cx)h;

bu = mk+lp4Axl

-

Вх)к;

b13

= m * + y ; им =

H +

- Q Pz)k;

b10

=

— іп^

p

(Bx,,l

— Сед)

P 2 ;

b 1 7 = m ^ p V

;

ô 1 8 = -

/ и * + і р2 ( ß v

y /

_ cxu)k;

ô,e = mf c +'p2

И V

-

öi.jo =

-

m +

x

рЧ+х

A\;

ô a i

= /f e

+ Pfcz

(5,Z -

C,)f t ;

ô*2

=

1 +

(Axl

- Bx)k;

b u

= P\lk

+

(BJ -

Cx)k

(P*)2;

b2B

=

-

{Pif

{Bxul

- C , / ;

b27 = -

P

k

(ek+i

-

e*) ;

è 2 8

= _

рк (Bxul

-

Cxy)k;

Ö29 = Pk (Axul

-

Bxyf\

02.10 =

{Axul

- Bxy)k;

Ô3i =

-

Q * ;

i

3 2

=

-

fix)*;

озз =

1;

Ö34 = [/ +

(BJ

-

Cx)

Pz]k;

Öse = -

(BXJ

-

Cxy)kPk;

ô 3 8 =

-

(Bxyl

_

CXIJ)k;

b39 = — {AxJ

— BxlJ)k;

b

Bk;

bi2

A

ъ « = { \ +

р г

в х ) к \

ь і &

=

-

Ркгв'хи;

548

Ô49 =

Л.ѵУ;

ôsi = — (BXyl

— Cxy)k;

b52

=

-

(AXyl

—

Bxy)k;

b5i

=

-

(Дед/ -

Сед)* • Pk;

b55 = 1 ;

b5 6

=

[/

+

(BJ

-

C„)

b58

= (ß„/ -

Q A ;

ббэ =

-

(A J

~

By)*;

Ьы =

-

В%\

Ьы

=

-

Акху\

Ьбі =

~

В%Рк;

6 6 6

-

(1 +

ВкРк);

Ьйй

=

Ви;

Ьб9 =

— Л * ;

677

=

1;

67,іо =

— Акг;

Ьн

=

- m * + i

{pi

+

Q2){{Bxb.i

_

C x u r ,

bs-2 = - m * + ' (p2 + 92 ) (Axyl

-

fc84

=

-

mk+l

(p2

+

92 )

.ßxJ

-

Cx „)* Я*;

68 6 -

m*+'

(p2

+

S2 );

ô a 6

=

(p2

+

Ü2) [/ +

(ß„/

-

-

Су) PAk\

637 = mk+1

(p2 +

Q2)

;

bm

=

1 +

/м*+' (p2

+ S2) W

— C„)*;

bS9

= _

(p2 + Qa)

-

&в.ш = - т й + , ( Р а

+ и * ) е * + , Л £ ;

69 1

=

P*

(ßV

-

С . ѵ

/

-

а * + ,

Я * + % ;

Ö92 =

Рк

( < V

-

ß , /

-

а * + 1

Я / + 1 A%;

h< =

(P*)2

(ß,,/

-

CX B )f t

-

ак+1Пк+1

ß*,p*;

ö 9 6

= - P * ( e * + , - e * ) ;

698 =

[1 +

Pz (Ayl

-

By)]"

- а * + 1 Я * + 1 л 2 ;

69,10

= PUPLA*;

ЬІОЛ

=

- ,/г*+ 1 е*+ 1

(p2 +

^ 2 ) ( ß ^

-

-Сху)к

+

тк+1ек+1р2(ВхІ-Сх)к;

Ь10Л

=

- m f t + , e * + 1

(p2

+

Ö2) И,/

- ß /

-

Ô 1 ( M = _ {тк+1ек+і

Рк (p2 + Q2) {BxlJl

- Cxu)k +

+ m * + 4 * + V

[l + .BJ-CJ

Р г ] ) \

модели

диска.

на к

Диск

разбивается

кольцевых

полос

постоянной

ширины

Определяются

радиусы на­

ружного и внутреннего кон­

тура

полученных

кольцевых

пластин

r ' i + l

=

r'i +

8,

r'i =

r0

(t = 1, 2 , . . . , k).

Вычисляется

погонная

масса

кольцевой

пластины

по формуле

г<+і

Рис. 5.

Дискретная модель

р У

rh{r)dr

п

диска.

пь

=

,

Г де п — радиус

центра

тяжести

погонной

массы

кольца

£

h(r)r4r

Гі

=

l

h (л)

rdr

p — плотность

материала

диска;

h (/') — переменная вдоль радиуса толщина

диска.

Масса т, сосредотачивается на радиусе

Интегралы

вычисляются путем численного

интегрирования.

Умень­

пластины.

Д л я получения этой матрицы можно восполь­

зоваться

методом,

предложенным

в работе

Эриха [48].

Д л я

получения матрицы невесомого упругого участка

Эрих

предлагает

представить его

кольцевой

пластиной

точности

дискретной модели в большей мере сказывается

не число

масс, а правильный учет упругих

свойств не-'

весомых

участков. На основании этого для

получения

матрицы

упругого участка между массами можно разбить

сил и

неравномерного

осесимметричного нагрева диска.

Матричное

уравнение

упругого

невесомого

элемента

диска.

Матричное уравнение изгиба

невесомой

кольцевой

ния в ее крайних

сечениях

и

записывается в виде

"

рх~

P.K 1

My

My

и

=

Et

U

dU

dU

и,

— амплитудные значения

линейного и

углово­

го перемещений сечения

пластины.

Матрица Et

получается путем интегрирования

методом

Рунге—Кутта

системы четырех дифференциальных

урав­