книги из ГПНТБ / Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие

■ i.ö u U'i идолалгіив)

f r

s\ ІЦ и , + u, - i>t \ dS

•J \!а л *"аЛ г - a„e„* a„eH• cist„*o,bet2) cosft e,) *

Ьг

НЧА* Ч А . Ч А ^ Ч А Ч А * übt,É)2)cos(l,6j)|(Uj-t-,ijclS

•• б !. -

Таблица 1.8аіиродолаеше)

Чоьерхнос-. Hüd интегралы в случае крявошлеТиого

________________ параллелепипеда_________________

i1bl.

\Ч ^ А ’ аийк- а.ДП a6.егГ а„д< аб,еДцг-ц“г)

I ’S|

!J.

ѴаЛ ’ е Л г 1 й.Л> 4 Ч А з * Л А ' а ^ е Д и г- и;) +

*!дье..*а.,е ^зз ’ ^іі, ^ г^ 5Ё)5'

- 62 -

Таблица 1.8 б

ФУШЩИОНМРЕЙССНЕРА НЕОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОІШОГО ПИТОГО ТШ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ (вариант 2)

I I >Я >Я >Я 1Я Я >Я •*=

; ~ i p , u , + Pl u l * p , u , ) } а ѵ *

• Cv5 -

ТаблицаI.8 0(црод(ѵшеыне)

яS,

я

я i " !1 i ’^ w s l ' J . e ^ ^ c o s ^ e J - ^ c o s ^ e o i l u . - u ; ) ►

Поверхностные интегралы в случае криволинейного

Из функционала Рейсенера могут быть получены такие частные функционалы,как Лагранжа, Кастилъяно, грантннх условий, внражавдиеся через компоненты усеченного базиса.

Полный функционал является расширенным ім отношении к фупкционалу Райсснѳра.

§7, Функционала граничных.условий

Вобщем виде функционал граничных условий (табл.1.9) поду­

чается яз полного, если принять в качестве дополнительных уело -

вий:

а) геометрические в области - (табл.1.2,1); б) физические - (табл.1.2,Ш); в) статические в области - (табл.1.2, ІУ).

При этом следует учесть, что вариации перемещений на участ­

ках поверхности Sz с заданными перемещениями равны нулю» &U; |s.- О,

Аналогично вариации напряжений на участках поверхности S, с

заданными напряжениями токе равны нули: $6^ |S( = О

Уравнениями Эйлера данного функционала, как видно из назва­

ния, являются граничные условия: геометрические на 5£ и отати ~ веские на S, (табл.І,2> П я У).

Следует отметить, что функционал граничных условий в конк­

ретных случаях зависит от выбора функций, в которых решается за­ дача внутри облаоТя. В связи о этим указанный функционал может

условия ппшшмаытся как доиолнителыше. Тогда условиями стацио­ нарности фучшдозала являются статические граничные условия.

§ 8. Фушашонал физических соотношений

Функционал физических соотношений монет сытъ получен в виде прямой, обратной им сиггіетрняоьанноі-і форы (таблЛ.10 а-

1.10в), обладающих ілдСі.і оригинальных сі- йсть.

Вфункционале физических соотношении взаимосвязаны между собой ноля нанрЯЕЫшй и поли деформаций (или перемещений).Усло­ вия статической возможности и геометрической возможности компо­ нентов соответствующих колей моіут бым, ытолнеим как до, так я после варьирования (|ушпуіслала. Сделать ато можно частично шш

полностью в различной последовательнисти, Благоішіік этому, обна­

руживается многообразие вариантов одяшшитшх июрщулировок и

юс взаимосвязь с функционалами, рассмотрениями раньше.

Условия стационарности фушеционала физических соотношений могут бцть получеки путем предварительного выполнения не всех условий связи (дополнительных условий), а лишь некоторой части. Тогда разрешающая совокупность полного к. мшіекса уравнений и граничных условий (условий стадионапности полного функционала) складываются в общем случае из двух групп:

1)условий стационарности Э^> і

2)неиспользованных дошшштелъных условий.

При таком подходе проявляется эквивалентность ьаришуоиных формулировок задача с помощью потого функционала и данного частного функционала физических соотношений.

I. П р я м а я (первая) ф о р и а ф-нкционала физических

в) статические в области;

I') статические на границе.

Статические условия в области (б ) и на границе (г) принимаются выраженными через напряжения. Онп по форме совпадают с формула­

ми (ІУ,У) табл. 1,2, если положить б t : ,

Для перехода к функционалу физических соотношений можно добавить к полному фуілсііионату ,ч вычесть из него члены типа

и 7. о.

.'Затем исключить статические условия путем интегрирования по. частям. Вметавшиеся члены внести геометрические условия, кото­ рые позволяют представить рассматрг.ваеідгіічручгкіѵ.іонал в разных вариантах, например,

обязательно геометрически возможные) дает физические соотношения в форме (Ша)табд.І,2, если напряжения (аѵ -любые.

Коли напряжения явлгаотс.п статически возможными и исподъзу-

выполним условия (а). Варьирование перемещений дает в области физические соотношения вида

где /.;{■■■} - дифференциальные операторы однородных уравнений равновесия (см.табл.1.2, ГУ при р ,=0 ). На границе получаются физические соотношения для напряжений (о-ц типа

В(8. Т-8.2) 6Lj рассматриваются как обозначения по формулам

(I)табл.1.2, т.е. выражаются через u-L

С использованием условий (в) ура..і еішя (8.1) преобразуют­

ся jj уравнения равнс&е.'ШЯ в перемещениях, т.е. функционал озволяет преобразовать статические урав-

нения в напряжениях з уравнения в перемещениях. В атом проявля­ ется некоторое сиодотьо с функционалом Лагранжа.

Если нангяяения статически возможные и используется пред-