книги из ГПНТБ / Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие

варьирование в функционале параметров одной группы., дает в ка - честве уравнений Эйлера и естественных граничных условий зависи­ мости, связывающие между собой в общем случае параметры двух других групп. Причем указанные услов;ія не содержат варьируемый параметр;

Это свойство используете? дли построения алгоритма вывода частных функционалов. Заметим, что другие формы функционалов, например Ху-Вашицу, не обладает таким симметричным характером.

§ 4. О преобразованиях полного функционала. Частные вариациош :<? принципы и теореш

Преобразования полного фуішционала с помощью дополнитель­ ных условий ведут к частным и расширенным функционалам. Первый * путь связан с усечением полного базиса, а второй - с его расши­ рением за счет введения новых переменных. Новые переменные могут использоваться, например, для канонических преобразований Еариагционного уравнения с целью понижения порядка дифференциальных уравнений Эйлера [24} , Связи юс с компонентами полного базиса Служат дополнитэлышш услоькшвд

уоЛовиями уравнениями Эйлера и естественными граничными услови­ ями являются те, которые в совокупности с упомянутыми дополни - тельными условиями составляют полный комплекс уравнений и гра - личных условий данной задачи, т.е.-условия стационарности пол - ного функционала.

Отсюда следует тождественность постановки задач на основе полного ичастных вариационных уравнений (с соответствующими до­

полнительными условиями).

Доказательство вариационных теорем основано на рассмотре--

нив л/ ода частных функционалов из полного в соответствии с те-

Г>

орией преобразований вариационных проблем Щгранта и .Гильберта,

а также на рассмотрении уравнений Эйлера и естественных гранич­ ных условий, решения которых являются экстремалями данного част­ ного функционала с дополнительными условиями.

§ 5. Алгоритм вывода частных функционалов

Методика получения частных функционалов представляет собой переход0 от свободной вариационной задачи к другой с ней»*

- 22 -

торш.га дополнительными условиями, Независимость компонентов част­ ного базиса обеспечивается предварительным выполнением дополни - тельных условийЧтобы получить из полного частный функционал, выраженный через параметры некоторого усеченного базиса, необхо­ димо:

а) некоторую часть уравнений Эйлера и естественных гранич­

ных условий, реализующих, с ?ационарное значение полного функцію -

нала, или их комбинации выбрать 'как дополнительныеусловия (они

содержат связи между усекаемыми и остающимися в усеченном базисе параметрами) ;

б) исключить из полного функционала с их помощью усекаемые

параметры.

В итоге получается частный функционал со свободными вариа­

циями или частный функционал с некоторыми дополнительными услови­

ями, если при его выводе принятые дополнительные условия были ис­

пользованы лишь частично.

Г

Дополнительные условия (условия связи) могут быть выполнены

либо путем преобразования функционала с помощью множителей Лаг - ранжа, либо на основе использования общих решений дифференциаль­ ных уравнений связи.

Техника вывода частных функционалов может быть упрощена

sä счет свойств структуры функционала с ненриведенннми подобными

членами [ 21 , В нем при множителях Лагранжа в скобках содер­

жатся выражения для геометрических и физических условий. Когда какие-либо из этих условий надо принять в качестве дополнительных, .соответствующие выражения в скобках просто вычеркивают . из таблицы.' Затем в оставшуюся часть вносят : данные дополілтелыше условия с целью исключения усекаемых параметров. Когда надо внеотн как дополнительные статические уравнения, то функционал пред-

§ 6. О полной системе функционалов и методах расчета

Система полного и частных функционалов охватывает все

возможные постанови рассматриваемых задач. Взаимосвязь мевду ними определяется теорией преобразований вариационных проблем

[ііі] . Благодаря общност." и математической строгости, теория

полного и частных функционалов может быть положеп в основу сис­ тематизации способов постановки и методов решения рассматривае­

мых задач.

Нйждоцу методу (или нескольким методам) можно поставить

в соответствие определенный функционал, который является частным проявлением полного функционала. Учитывая полноту системы фунд-

Методы решения поставленных задач можно трактс и.ть как раз­

личные формы реализации общей идеи расчленения сложной системы на элементы. С математической точки зрения расчленение выражает­

ся ; „ыборе некоторых дополнительных условий и соответствующего частного функционала.

Действительно, полную разрешающую систему дифферент:іиьннх

уравнений и граничных условий, как правило, расчленяют яа две

части: .одну часть (тпшштелыше условия к частному фулкциона-

расчеты путем удовлетворения оставшейся части словий - уравне-

- 24 -

Ено. АЛ. Схема вариационных принципов механики твердого

деформируемого тела, иллюотрируицая связь полного и частных

функционалов'

- 25 -

ний Эйлера и естественных граничных условий, реализующих стацио­ нарное значение соответствующего частного функционала.

Можно показать в развитие схемы (рис. А, 1 ) взаимосвязь

полного и частных функционалов с соответствующей прямыми мето­ дами реализации стационарного значения функционала: аналитически­ ми (методами Еитца, Треффца, Галеркина, Власова, Кантоіювича и др.), численными (вариационно-разностными) и смешапныш.

§ 7. Об изменениях функционалов с помощью выражений типа расходимости

Выражениями типа расходимости называются [35] такце дспол-

ной функции, которые не изменяют уравнений Эйлера. Выражения типа расходимости оказывают влияние на естественные граничные условия. Их можно рассматривать как способ видоизменения естественных гра­ ничных условий при неизменных уравнениях Эйлера для полного функ­ ционала.

Подбор членов типа расходимости для односвяаных областей основан на использовании формул Остроградского (для трехмерного случая в прямоугольных декартовых координатах)

11 |Pcos(4.eJ+ QCo&^.eJ ♦ Rcoe(V,e,)}dc!b

или Грина (для двухмерного случая в прямоугольных декарто­ вых координатах)

Первый вариант. К функционалу можно добавить выражение типа расходимости в виде интеграла по поверхности

JI jpcosO .e,) - (icos('),eJ+ Rcos('i,es)]dö-0

функционалов в этих случаях не изменяются.

‘Примером использования выражений типа расходимости являет­ ся добавление к функционала'- соответственно поверхностных и кон­

где

Q* ц заданные на границах напряжения и усилия. Ери этом, очевидно, уравнения Эйлера не меняются, а естественные граничные условия

В полном функционале поедусмотрен полный набор заданных контурных факторов. Этш самым, по-впдш.гому, исчерпаны какиелибо возможности изменения естественных граничных условий помощью членов типа расходимости.

Таким образом, полный функционал содержат все возможные изменении, которые могли бы быть сделаны о помощью выражений типа расходимости без нарушений естественных граничных условий, т.е, функционал является действительно полным.

Б.РЕБРИСТЫЕ И ДРУГИЕ КОНСТРУКТИВНО-АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНИЗОТРОПИИ ДЛЯ ОБОБЦЕНШ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ

ЗАДАЧ

Учет анизотропии я неоднородности материала преследует две

цели:

1) некоторое более совершенное описание свойств природных

материалов - с одной стороны и искусственно создаваемых компози­ ционных материалов[23,5б] - с другой ;

2) обобщение некоторых видов задач для так называемых конст­

руктивно-анизотропных тел.

Первая цель является вполне естественной и нуждается лишь

в справочных данных [15] . Следует лишь указать, что в современ­ ной технике анизотропия материалов рассматривается как действен­ ный способ уменьшения расхода материалов на детали машин и конст­ рукции. Развитие регулируемой анизотропии за счет армирования с определенной ориентацией волокон позволяет создавать новые анизо - тропикематериалы (стеклопластики и др») с наперед заданными механичеокя*і« характеристиками в зависимости от условий работы ма­

- 28 -

териала в конструкции.

Вторая цель связана с тем, что анизотропия и неоднородность материала, списываемые полной матрицей соотношений упругости, эле­ менты которой являются функцігями координат точек тела, позволяют сделать определенные обобщения теоретического характера. Удается обобщить следующие задачи для конструктивно-анизотропных тел: оболочки и пластинки, подкрепленные ребрами различного вида и ориентации, некоторые слоистые оболочки (см.§2 ), часто перфори­ рованные пластинки и оболочки [21} и др.

Отметим, что развитие общих методов расчета конструкций из анизотропных материалов продолжает оставаться вопросом не решен­ ным [і і ] * поэтому вариационная формулировка этих задач, беэуо - ловно, окажется полезной.

§ I. Использование анизотропии для обобщения некоторых видов задач

Рассмотрим неоднородное анизотропное упрут je тело произволь­ ной формы, обладающее некоторой регулярностью в смысле неоднород - них включений однотипного характера (локальные специфические зоны), Пусть в пределах каадой типичной Локальной специфической зоны бу - дут справедливы определенного вида гипотезы, позволяющие от нагіря*: жений на этих зонах перейти к соответствующим статическим интег - ральным характернотикам - обобщенным усилиям. Для всех видов тел рассматриваемой категории геометрические зависимости и отатичес - кйе дифференциальные уравнения в обобщенных усилиях будут одина - новыми. Поэтому можно утверждать, что все различия межлу видами тел данной категории должны быть выражены лишь в физических зако­ номерностях, т.е. в коэффициентах упругости анизотропного тела.

- 29 -

Таким образом, благодаря учету анизотропии и неоднородности; для определенных задач удается построить общую теорию.

Проиллюстрируем сказанное на примерах ребристых1и некоторых других конструктивно-аниэотропнкх оболочек и пластинок.

§ 2. Ребристые и другие конструктивно-анизотрошые оболочки и пластинки

Рассмотрим два подхода к ребристым оболочкам, имеющим оцраделрнную область применения, ограниченную рамками теории, используеыо'й для описания ребер. В первом случае (узкие ре^ра) для ре - бер используется теория стержней Кирхгофа-Клеоиа, во" втором (ши - рокие ребра) - техническая теория оболочек* Условия сопряжения ре­ бер с оболочкой осріествляются в соответствии с гипотезами о йенадавливании волокон и прямых нормалей. Оси ребер не лежат на средин­ ной поверхности оболочки (т.е. расположены с эксцентриситетом) и могут быть различным образом ориентированы по отнопешш к копту- • ру.

Несмотря на различия в этих двух теориях ребристых оболочек, -

произвол расположения ребер и т.д., можно поотроить для всех типов

(для анизотропных неоднородных оболочек переменной толщины^ см.

гл.П и Ш), уравнениями Эйлера и естественными граничными условиями . которого являются:

- дифференциальные уравнения равновесия и статические гра­ ничные условия в о<5с<Зщенннх усилиях, одинаковые для всех типов конструкций {

•- геометрические зависимости п геометрические граничные