книги из ГПНТБ / Цифровые многозначные элементы и структуры учеб. пособие
.pdfТеорема. Любую многозначную функцию из множества Рк можно представить в виде
/( * ) = |
v |
^ |
f(a )(x \-a')(x'ra')(x'2- a‘) ( x t a*) ... |
|
|
по всем а, |
где /(а)^ 0 |
|
|
|
|
. .. |
(Хп~ап) |
(2.34) |
Доказательство. Зафиксировав произвольный набор а=(а,, а.,, ...
...,g„), а также принимая во внимание свойства функции (2.30) и со отношение (2.33), убеждаемся, что выражение
|
х2 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
(х\~а') (а-,1-* 1) ( x t a!) ( х ^ ) . .. |
|
• • • (*;-“») (* '-“") |
(2.35) |
равно 1 при хг = сеь |
х.г = а 2, • •• |
... , х п — а п и равно 0 в остальных слу чаях. Дальнейший ход доказательства такой же, как и в § 2.1.
Рассмотрим пример. Представим в форме (2.34) функцию / (хъ х2), заданную табл. 12.
/ (а1, х2) = 1 (а! - 3) (а{ -3) ( x t 0) (А'2_°) V 2 (а[-°) (а|-°) |
(аГ ) (а^ 1) V |
||||
v |
1(a! - 3) (a} -3) ( x t l) U ~ ' ) |
V 3 (а!-0) (а!-0) |
(аП |
(х\ ~2) V |
|
V |
3 (а! - 2) (а!“ 2) (Xl2- 2) ( x t 2) |
V 1 (а!_ ‘) (а! - 1) |
(Аз-3 ) (А2_3) - |
||
|
= (А?) (А?) (А2) (а2) V (ХЬ (ХЬ (*2) (А2) V (*1 W |
(-^2) (Аг) V |
|||
V 2 (а!) (а!) (а2) (а2) V 3 (а!) (а!) (а2) (а2) V 3 (а?) (а?) (а3) (а2). |
|||||
Назовем кснституентами константы |
а функции |
|
|
||
|
f а при At = а и |
х2 = а2, . . . . |
хп = |
ап, |
|
|
fa W = ( 0 в остальных |
случаях ( a £ E k, |
а^=0). |
Любую конституенту константы можно получить в результате выпол нения операции (2.30) над константой а и выражением (2.35). Таким образом, каноническая форма (2.34) представляет собой дизъюнкцию конституент констант.
Используя взаимооднозначные отображения множества Ek на себя, можно определить полные системы операций, являющихся изоморф ными отображениями операций (2.30)—(2.32). Примеры таких систем приведены в [1 ].
При построении вычислительных устройств иногда целесообразно использовать в качестве одной из основных операций сложение по mod k.
50
Теорема. Система, включающая константу 1 и операции х 4- у
(mod к), ху, функционально полна во |
множестве Рк |
(операция ху |
определяется выражением (2.30)). |
единицу, получаем х' = х + |
|
Доказательство. Взяв в качестве у |
||
+ 1 (mod k). Как было установлено, |
конституенты |
всех констант |
можно представить в виде суперпозиции функций ху и х ', после чего
произвольная функция / (х) представляется в виде суммы некоторых из этих конституент.
Операции х + у (mod k) и ху . вязаны между собой соотношением
(х + у) {гг) = х {гг) + у {гг),
в справедливости которого легко удостовериться, взяв сначала z =
=1, а затем г ф 1.
Вработе [1 ] приведен также ряд полных систем, в которых для об разования одноместных конституент и конституент констант использу ется операция
(2.36)
При этом целесообразно выделять классы полных систем, состоя щие из систем, каждая из которых включает в себя конъюнкцию вида (2.30) или (2.36), а также другие операции, позволяющие строить канонические формы типа дизъюнктивных нормальных форм. Необ ходимым условием для построения таких канонических форм являются свойства операций типа дизъюнкции и конъюнкции
а у х = x \J а =■ х,
ах — ха = а, {а£Ек)
(в рассмотренных примерах а — 0). При k = 2 эти операции превра щаются в обычные операции дизъюнкции и конъюнкции булевой ал гебры.
§2.5. Модулярная система операций
иполиномиальные представления многозначных функций
При синтезе схем вычислительных устройств, работающих в &-й системе счисления, среди типовых логических элементов желательно иметь элементы, реализующие операции сложения и умножения по mod k. В связи с этим представляют интерес такие формы представ ления многозначных функций, в которых вместо операций дизъюнк ции и конъюнкции используются операции модульного сложения и ум ножения. Одной из форм представления, использующего эти операции, является так называемая сигма — пи форма [16] (название происходит от греческих букв 2 и П, являющихся символами операций сложения и
51
умножения по mod k). Если в систему, содержащую константы, опе
рации х + у (mod |
k), |
х |
X у (mod k), |
включены |
также функции |
|||
|
( |
1 |
при X = /, |
|
|
|
|
|
ф/ (*) ~ |
{ |
0 |
при х ф j |
(/ = |
О, 1, .. ., |
k — 1), |
37) |
|
то можно сформулировать следующую |
теорему [16]. |
представить |
||||||
Теорема. Любую функцию из |
множества Рк можно |
|||||||
в виде 2 — П формы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
= |
2 |
/(«) |
П Фа/ (v.\ |
|
(2.38) |
|
|
|
|
|
по всем а, |
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где f(a)* 0
Доказательство теоремы становится очевидным, если принять во
внимание, что при фиксированном наборе а произведение, стоящее пос ле знака суммы в выражении (2.38), является конституентой константы
^ ______ f i ____________Ж ) (§2.4). |
являет |
|||||||
^ о |
1 |
|
2 |
з |
Рассматриваемая система |
|||
0 |
0 |
|
0 |
0 |
ся функционально полной и при от |
|||
|
сутствии в ней функции (2.37), |
если |
||||||
0 |
0 |
| |
0 |
0 |
только k — простое число. |
В |
этом |
|
случае каждую из функций (2.37) мож |
||||||||
0 |
0 |
|
1 |
1 |
||||
|
но представить выражением |
|
|
|||||
0 |
° |
I |
1 I |
2 |
Ф/(*) = (6- 1 ) ( х - / ) * - ' + |
1, (2.39) |
в справедливости которого легко убе диться при непосредственной проверке. Если же k — составное чис ло, однозначного соответствия между функцией Ф/- (х) и суперпозицией операций сложения и умножения по mod k построить не удается.
Рассмотрим пример. Запишем в форме (2.38) функцию переноса при умножении по mod 4, заданную табл. 13.
f (*i. хг) = 1 Фз (*i) Фз (*з) + 1 Фз (*г) Фз (*з) +
+ |
1ф3 (*1) Фз (*2) + |
2ф3 (*j) Фз (*з) = |
Фз (*i) Фз (*а) + |
+ |
Фз (*i) Фз (*з) + |
Фз (хх) Ф 2 (х2) + |
2Фз (Хх) Фз (х2). |
Более общей формой представления многозначных функций являют ся полиномиальные представления — суммы по mod k некоторого конечного множества произведений вида
aNк (xr) N,t (х2) . . . N jn (Xn)t |
(2.40) |
причем некоторых из членов, составляющих такое произведение, может и не быть. В выражении (2.40) а — константа; N ^ (хг) — функ
ции одного переменного; (i =« 1, 2, ..., п), (J = 1, 2.......kk).
52
Найдем представление любой функции одного переменного в виде полинома
/ (х) = #о ~h aix “Нa2,N2 (х) -f- • • ■ -f- (ik-iNk—i (x), |
(2.41) |
||
где al — константы |
(/ |
= 0, 1.......k — 1); N t (x) — функция одного пе |
|
ременного (i = 2, 3, |
.... |
k — 1). Если существует однозначное представ |
ление любой функции одного переменного вида (2.41), то можно найти такое представление и функций (2.37). Представляя их в (2.38) и про изводя умножение, получим полином относительно переменных xt(i=
= 1, 2, ..., п) и функций N2 (х с), N 3 (xt), ..., Nk_i (xt). В работе [16]
показано, что необходимым и достаточным условием единственности представления любой функции одного переменного в виде (2.41) яв ляется равенство единице определителя
1 |
0 |
JV2(0) . .. W*_,(0) |
1 |
1 |
Л72 (1 ) . .. jV/;_l (1) |
1 k — l N t (k— l ) . . . N h- l (k— l)
Этому условию, например, удовлетворяет система функций, опре деленных в табл. 14.
X |
Ыг (х) |
N3 (лг) |
N4 (х) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
k — Ъ |
1 |
2 |
3 |
k — 2 |
1 |
2 |
3 |
k — 1 |
1 |
2 |
3 |
|
Таблица 14 |
Nk_2 (X) |
Nk - \ <*) |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
2 |
k — Ъ |
k — Ъ |
k — Ъ |
k — 2 |
k — Ъ |
k — 2 |
Определитель Д этой системы функций принимает значение 1 при любом k. Условие единственности представления любой й-значной функции в виде (2.41) не что иное, как дополнение системы функций суммы и произведения по mod k одноместными функциями N z (х), N 3 (х)...... Nk—i (х) до полной системы функций.
Число одноместных функций, дополняющих двухместные операции х + у (mod k) и х X у (mod k) до полной системы, не обязательно
53
равно k — 2. При к = 4 представление функции одного переменного можно искать в виде [16]
/ (А-) = а„ + агх -[- а2Ы2(а) + a3x N 2(а).
Этому условию удовлетворяют 64 функции N2 (а).
Одноместные функции (табл. 14) Nt (а), (г = : , 3...... к — 1), можно представить как
N t (а) = min (г — 1, а).
Отсюда вытекает справедливость следующей теоремы.
Теорема. Функции а + у (mod k), х X у (mod k), min (а, у) обра зуют полную систему функций при любом к, позволяющую представить любую функцию из множества Рк в виде полинома.
Отметим, что помимо (2.41) существуют и другие представления одноместных функций, дающие возможность получить полиномиальные представления функций многих переменных. Если k — простое число, то одним из таких представлений может быть выражение (2.39). Под
ставляя |
представление каждой функции (2.37), согласно (2.39), в |
2 — П |
форму и производя умножение и сокращение, получим ис |
комый полином.
Рассмотрим пример. Представим в полиномиальном виде функцию, 2 — П форма которой имеет вид (к = 4):
/ (хи Х2) = q>! (Ai) ф0 (а2) + 2ф1 (хх) ф2 (х2) -I- Зфх (хх)Фз (а2).
Функции (2.37) в рассматриваемом случае можно представить как
Ф0 (а) = 1 |
+ 3N2(а); |
фх (а) = |
2.N2 (а) + ЗЛ/3 (а); |
Ф2 (а) = За + |
3N 2(а) + |
2N3(а); |
ф3 (х) = а + 3jV3 (х). |
Тогда
/ (xv хг) = (2 ^ 2 (*i) + 3N з (ах)) (1 + 3N 2 (х2) + 2N 2(а2) -]- N 3(а2) -(- -J- 2а2 -(- За2) = (2N 2 (Aj) -{- 3Nз (хх)) (1 -|- N2(а2) -(- N3(а2) -)- а2) =;
=2N2 (ах) + 3Nз (aj) -f- 2А;2 (ах) N а (а2) -f- 3N3(хх) N2 (х2) -|-
+2N 2(Ai) N3(а2) -|- 3Nз (Aj) iVg (а2) -f- 2N 2(ах) а2 -f- 3N3(XjJ х2.
§2.6. Другие полные системы операций
Кроме ранее рассмотренных, известны также другие полные си стемы операций, представляющие определенный теоретический интерес. Однако канонические формы представления произвольных переклю чательных функций в этих системах получаются очень громоздкими и менее наглядными по сравнению с рассмотренными в § 2.2—2.5. Поэтому при выполнении функциональных построений в таких си стемах иногда используют представление базисных операций одной из систем, для которой существует простая каноническая форма, в виде суперпозиций функций данной системы.
64
Теорема. Система |
функций |
хх V х2 = |
max (*i> |
*2). |
х1 — х + 1 |
|
(mod k) (система Поста) полна во множестве Рк. |
|
|
||||
Доказательство. Очевидно, что |
|
|
|
|
||
x \J х1 У х2 \/ |
••• |
у xk~ l = k — 1. |
|
|
||
Отсюда посредством функции х1 можно получить |
все |
константы. |
||||
Далее, нетрудно убедиться, что |
|
|
|
|
||
J , (*) = |
k-\ |
х1— |
k- |
1 при X — S, |
|
|
V |
|
|||||
|
/=0 |
|
|
О при х ф s. |
|
|
|
\фк—1—s |
|
|
|
|
|
Затем построим функцию k — 1 — х.
/ = * - 1
|
& — 1— X = |
V |
fti (х), |
|
i=k—1 |
|
|
|
|
/=О |
|
где ft, (х) = (J, (х) |
V (k - 1 - »)),+1. |
|
|
Отсюда получим |
хгх2= min (хъ |
х2), |
|
Xfy = k — 1 — ((k — 1 — Х г) |
V (k — 1— х2)). |
||
Таким образом, |
исходя из функций х1 \J х2 и х1 путем их супер |
позиции, мы построили функции полной системы Россера — Тьюкетта. Следовательно, и исходная система полная.
Далее формулируемые три теоремы можно доказать как следствие
приведенной выше [28]. |
|
а (mod k), где а и |
Теорема. Система функций хх \] х.г и ха = х + |
||
k — это взаимно простые числа, функционально полна. |
||
Теорема. Функции хг V х2 и ха составляют полную систему, если |
||
а и k — взаимно простые числа. |
Вебба) составляет полную |
|
Теорема. Функция (хг V х2)х (функция |
||
систему во множестве Pk. Функция Вебба |
является |
й-значным анало |
гом двоичной функции Шеффера. |
|
константу k — 2, |
В [28] доказано полноту системы, включающей |
||
функции k — 1 — х и хх zd х2 ~ min |
(k — 1, |
х2 — хг + /г — 1), |
причем операции сложения и вычитания в |
выражении х2 — хх + k — |
—1 обычные, а не по mod k.
Особый интерес представляют системы операций, для которых
характерны канонические формы представления произвольных мно гозначных функций типа совершенных дизъюнктивных нормальных форм (СДНФ). С целью выяснения условий, которым должны удов летворять операции полной системы для того, чтобы в ней была
55
каноническая |
форма типа |
СДНФ, |
рассмотрим |
систему, включаю |
||||||||||||
щую все константы |
и операции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
х V У, |
ху, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
J, (х) = |
а |
при х = s, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
b |
при |
х Ф s, |
(s = 1, |
2, |
|
|
1) , |
|
|||||||
где афЬ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
х, |
у, |
a, |
b £ E k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема. |
Если функции х V У и ху удовлетворяют условиям |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x \ J b = b \ / x — х, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
xb = bx — Ь, |
|
|
|
|
|
|
(2.42) |
||||
|
|
|
|
|
ха = ах = х, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
то любую функцию f (х) можно представить в виде |
|
|
|
|
||||||||||||
|
/ (х) — |
V |
/ (а) ^а, (*l) Ja, (Х2) • • ■ Jan (Х„). |
|
(2.43) |
|||||||||||
|
|
|
по всем а |
|
|
|
V |
•••V хп означают соответственно |
||||||||
Выражения хгх2 |
... хп |
и х1 |
\/ |
х2 |
||||||||||||
|
|
|
*1*2 |
. . . хп = |
{... ((*х*2) х3) .. .) хп, |
|
|
|
|
|||||||
Xi V *2 V |
• • |
• |
V хп = ( . . |
. ((* х v *а) V *з) |
V |
• • |
•) |
V *„• |
||||||||
Доказательство. |
Пусть |
х = |
а. |
Тогда |
левая |
часть |
( \43) |
равна |
||||||||
/ (а). Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (°0 |
|
(*1) Лх, (*2) |
• • • |
^а„ ( |
п) — |
/ (а) |
при х = |
а, |
|
|||||||
|
, |
при х Фа. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
||||
Следовательно, правую часть (2.43) можно представить в виде |
||||||||||||||||
N—1 |
|
-* |
|
|
|
|
(as) |
... ./«„ (a„) V |
kn |
|
b. |
|
||||
V ь V / (“) -Ах, (“1) Ja, |
V |
|
||||||||||||||
t= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=ЛГ+1 |
|
|
|||
Отсюда последовательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
b v f(<x)Jat (ttJJa, (a2) . . . |
Jan(an) \/ b = f(a)aa . . . |
a = |
/(a). |
|||||||||||||
Так как |
аналогичные |
рассуждения |
справедливы |
для |
любого |
набора а, то теорема доказана.
Рассмотренная система полна при любом доопределении функций х У у, ху и / , (х). Условиям (2.42) удовлетворяют, например, функции шах (х, у), min (х, у), х + // (mod k), ху (mod k) и др. Таким образом, существует класс полных систем, в каждой из которых прэи:-вольную многозначную функцию можно представить канонической формой ти па СДНФ. Признаком принадлежности системы функций к этому клас су служат условия (2.42).
56
Однако канонические (то есть в виде канонической формы) пред ставления многозначных функций слишком громоздки, чтобы с их помощью решать практические задачи синтеза комбинационных схем. Как и в булевой алгебре, огромное значение имеет минимизация многозначных функций, то есть процесс нахождения наиболее просто го представления этих функций в виде суперпозиций функций данной базисной системы. Следует заметить, что на практике первостепенное значение иногда приобретают требования максимальной надежности или быстродействия комбинационных схем, в то время как сложность схем не является решающим фактором. Однако методы синтеза много значных схем, обеспечивающие максимум их надежности и быстро действия, еще не разработаны. Далее задачу минимизации будем рассматривать более узко, для получения минимальной (согласно определенным критериям) дизъюнктивной нормальной формы.
§2.7. Минимизация многозначных функций
вклассе дизъюнктивных нормальных форм ( Д Н Ф )
Рассмотрим более подробно систему Россера — Тьюкетта, в кото рой, как нетрудно убедиться, канонические представления принадле жат к классу СДНФ (§ 2.6). При этом а = k — 1,6 = 0. Будем счи
тать, что функция fi (х) накрывает функцию /2 (х) на наборе а, если
на этом наборе fx (а) > /2 (а) [19]. Функция /у (х) поглощает функцию
/2 (х), если на всех наборах fx (а) >. f2 (а).
Если функция fx {х) поглощает функции /2 (д), /3 (х), ..., fm (х),
то она поглощает и их дизъюнкцию. Кроме того, соотношение погло-
—¥ —►
щения транзитивно, то есть если fx (х) поглощает /2 (х), а /2 (х) погло- |
||
—► |
—► |
—► |
щает / з (х), то fx (х) поглощает /3 (х). |
||
Функцию / |
—► |
поглощаемую данной функцией и накрывающую |
(х), |
ее хотя бы на одном наборе, называют, исходя из аналогичного по нятия, принятого в булевой алгебре, импликантой данной функции.
Любую конъюнкцию, состоящую из константы и конечного множе ства попарно различных между собой букв (под буквами понимаем произвольные переменные х, а также операции J t (х)), называют эле ментарным произведением.
Элементарное произведение — импликанта данной функции — не поглощаемое никаким другим произведением, которое является им пликантой этой же функции, называется простой импликантой данной функции.
Любое конечное число элементарных произведений, объединенных знаками дизъюнкции, называется дизъюнктивной нормальной формой этой функции {ДНФ).
57
Дизъюнкцию всех простых импликант называют сокращенной ДНФ. Представление заданной переключательной функции в виде дизъ юнкции простых импликант, из которых ни одну нельзя исключить,
называется тупиковой ДНФ.
Рассмотрим следующие тождественные соотношения, полученные на основе (2.6) и (2.7):
/У 0(*) V-PAW V |
••• V PJk-i (х) = |
Р, |
(2.44) |
1 P J l (х) V 2P J 2 (х) V • • • |
V (Ь — 1) PJk-i (х) = Рх, |
(2.45) |
|
где Р — произвольное выражение. |
дизъюнктивную |
||
Соотношения (2.44) и (2.45) |
позволяют любую |
форму функции / (х) привести к совершенной ДНФ.
Рассмотрим пример. Восстановим совершенную ДНФ функции, за данной в виде (к = 4),
/4*1, х2) = 2У2(Xi) \/ 2У2(х2) V A (*i)x 2 V *iA (*2) V
V 1A (*1) А (-^г) V A (*i) A (*2)-
Применим к первому и второму дизъюнктивным членам этого выра жения соотношение (2.44), а к третьему и четвертому — соотношение (2.45). Тогда можно записать, что
2У2(Xj) = 2У2(хх) J 0 (x2) V 2У2(xt) У, (x2) V 2J 2(xx) J 2 (x2) V
V 2У2 (*1) У3 (x2),
2 J 2 (x 2) = 2У0(xx) У2(xa) V 2У1 (*i) У2(*2) V 2Л (X j) У2(x2) V V 2У3(xx) J 2(x2),
A (Xj) x2 = 1У2 (Xx) У! (x2) \ f 2 J j (Xj) У2 (x2) V A (*1) А (*2)» х Д i (x2) — 17i (xi) Уi (x2) V 2У2 (xx) Уj (x2) V A (*1) A (x2).
Следовательно, совершенная ДНФ рассматриваемой функции имеет вид
/(х1, х2) = 2У2(х1)Уп(х2) V 2У2(х1)У, (*2)V 2У2(х1)У2(х2) V V 2У2(Xj) У3(х2) V 2У„ (Xj) У2(х2) V 2У1 (*Д Уа (*а) V
V 2У3(хх) У2(х2) V |
1А (*1) J 1 (*2) V A (*i) А (*2) V A (*i) А (*2) V |
|
V |
1A (*i) А (*2) V A (*i) А (*г)- |
|
Перейдем к алгоритму нахождения простых импликант. Любая |
||
простая импликанта имеет вид |
|
|
|
|
aRQ, |
где а — константа; R |
— xj,x/, . . . |
x ir, |
Q == Уа;1 (*/,) A /s (*/2) |
• • A ^ (x;?), /" + |
58
причем is Ф ls, так как в противном случае соответствующая перемен ная величина xis превращается в константу, например x3J5 (х3) =
= 5Jb (х 3).
Рассмотрим выражение
|
V o W V ^ A W V |
••• |
|
у Pak_Jk-i(x). |
|
|
(2.46) |
|||||||||||
Среди всех |
выберем наименьшее at |
и запишем |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
V o w v v ^ v |
|
|
••• |
|
v v * - 'W |
- |
|
|
(2-47) |
|||||||
Выражение (2.47) поглощается выражением (2.46) и, согласно со |
||||||||||||||||||
отношению (2.44), равно Ра1- Поэтому |
V Pak_ xJk-\ (х) = |
|
|
|
||||||||||||||
|
V o ( x ) W |
i W |
V |
|
• |
• |
• |
|
|
|
||||||||
|
= V o W |
W i W |
V |
|
• • |
• |
|
У Рак_Ук—1 (х) У Раг |
|
(2.48) |
||||||||
Аналогично, исходя из (2.45), получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
QoA ix) У QaJ<i (х ) У |
• • • |
V |
|
|
М = |
|
|
|
|||||||||
|
— QaJi (х) У Qaji (х) |
V |
' ' • |
|
V |
|
Qak_ J k - 1(А) V 0 в/ , |
|
(2.49) |
|||||||||
где at — наименьшее |
из |
at, коюрые |
меньше |
индекса |
при |
символе |
||||||||||||
J своего дизъюнктивного члена. |
|
|
|
соотношениям |
(2.48) |
и |
(2.49), |
|||||||||||
Операции, |
выполняемые согласно |
|||||||||||||||||
называют операциями склеивания по операторам и аргументам |
[19]. |
|||||||||||||||||
Рассмотрим пример. Определим множество импликант переключа |
||||||||||||||||||
тельной функции, совершенная ДНФ которой имеет вид (к — 4) |
|
|||||||||||||||||
/ |
х2) — Jo (Ai) Jо(x2) У 'JJi (Xi) Jo (xz) V 1A (xi) J 1 (X2) V |
|
||||||||||||||||
|
V ^Jl (Xl) |
(Хг) |
V |
(Xj) J3(x2) V U i |
(Al) J l (X2) V |
|
|
|||||||||||
V %Jг (Al) J‘2 (Xi) V 2</2(Al) J3 iXi) |
V |
|
1J3 (Al) Jl (X‘l) V |
JJ3“ |
(Al) J3 (X‘i)- |
|||||||||||||
Из членов этой ДНФ составим все возможные выражения, удовлетво |
||||||||||||||||||
ряющие соотношения (2.48) и (2.49), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F i — 2 J i (хг) J0(х2) v |
(Ai) Ji |
(хг) У 1A (Ai) J%(x i ) V 2-/i (Xj) |
J3(x2) |
|||||||||||||||
F-i = |
Jo (xi) ^3 (Аг) V |
(Xj) 73 (x2) у |
|
2У2 (xx) У3 (x2) \J 2J3(Xj) |
У3 (x |
|||||||||||||
|
F3 = |
\ J2(Xj) Ji (x2) V 2J2(Xj) J2(x2) V 2J2(xx) У3 (x2), |
|
|
||||||||||||||
|
/Г4= |
(Xj) J x (x2) V |
l</2(Al) J l |
i X2) V |
^ |
(A'l) J l (X2)- |
|
|
||||||||||
Обозначив в выражении для F\ функцию |
(хх) |
как Р, |
получим |
|||||||||||||||
|
Fi = P2J0(х2) У P\Ji (х2) V F>\J2{x2) у P2J3(х2). |
|
|
В двух последних дизъюнктивных членах этого выражения константы меньше индексов при функциях Ji (х2). Наименьшей из этих констант является единица. Следовательно, согласно (2.48), можно записать
F1 = F1 y P l = F 1 y i J 1(x1).
59