книги из ГПНТБ / Сытник В.С. Строительная геодезия

В результате выполненных теоретических расчетов [32] полу­ чено, что при заданных условиях вероятности оптимальный вариант

соотношения ошибок ог и а0 будет тогда, когда 0,3< — <0,4,

так как при этом ошибки геодезических построений не оказывают существенного влияния на точность выполнения проектного поло­ жения конструкций или значения замыкающего звена.

Таким образом, при нормировании требуемой точности геодези­ ческих построений необходимо учитывать особенности конструк­ тивных и объемно-планировочных решений зданий. Точность геоде­ зических построений при возведении зданий должна находиться в строгом соответствии с требуемой точностью положения и раз­ меров конструкций.

§ 23. Методы статистического анализа результатов геодезических измерений при разбивочных работах

В современных условиях строительно-монтажного производства, характеризующегося быстрыми темпами и сокращением сроков строительства, классические методы оценки точности измерений, оперирующие с большим объемом результатов измерений, оказы­ ваются недостаточными. В этих условиях первостепенное значение приобретает использование всей информации, содержащейся в ог­ раниченном числе измерений, для получения обоснованных резуль­ татов с одновременной оценкой их точности и достоверности полу­ ченных выводов. Эта задача может быть решена успешно па основе применения вероятностно-статистических методов оценки точности результатов измерений.

Следует заметить, что вероятностно-статистические методы не следует противопоставлять классическим методам, наобброт, ониявляются дополнением последних и позволяют глубже анализиро­ вать точность результатов измерений с учетом присущих им эле­ ментов случайности.

При оценке точности по ограниченному числу измерений целе­ сообразно использовать доверительные интервалы [24] или, как их еще называют, интервальные оценки.

В практике оценки точности результатов измерений, как пра­ вило, находят доверительные интервалы для среднего значения, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

К определению доверительных интервалов для математического ожидания и и стандарта ст ошибки измерения, относящихся к гене­ ральной совокупности измерений, можно приступить непосредст­ венно после вычисления х и т, которые находят по формулам

(123)

п

(124)

120

где хі — результаты измерений случайной величины Х\

Ѵі —вероятнейшие ошибки результатов измерений (o;= A'j—х); б; — истинные ошибки результатов измерений; п — число измерений.

Средние квадратические ошибки среднего арифметического и

Выбрав соответствующую доверительную вероятность, т. е. вероятность, с которой действительное значение параметра а или р. попадает в доверительный интервал, можно вычислить границы либо двустороннего, либо одностороннего доверительного интер­ вала.

Обозначив доверительную вероятность через р, получим выра­ жения для границ доверительного интервала математического ожи­ дания [24]:

односторонний интервал

где Zp, 2 і_р, Z[+p — границы критической области одностороннего

2 2

(128) и двустороннего (129) изменения вели­ чины р с вероятностью р.

Выбор величины доверительной вероятности р до некоторой степени произволен. В большинстве практических приложений математической статистики ориентируются на доверительную веро­ ятность 0,95. Для одностороннего и двустороннего доверительных

2

Пр и ме р . При разбийке пролетов пром.ышленного здания вы­ полнено Ю измерений. По результатам этих измерений найдено:

12)

I —12 001,1 мм; m = 2,2 мм. Применяя формулу (129) к этим ре­ зультатам, определим доверительный интервал для р при р =0,95:

Рассмотрим методику определения доверительных интервалов для дисперсии и стандарта ошибки при малой выборке. Распреде­ ление выборочной дисперсии описывается распределением %2 L35J. Величина

распределена как %2 с числом степеней свободы ѵ = п—1. Кривые плотности вероятностей этой величины асимметричны и степень асимметрии уменьшается с увеличением ѵ.

Двусторонний доверительный интервал для а2 с доверительной вероятностью р определится по формуле

Т, УІ

где — , —----коэффициенты надежности определения границ дове-

о»

где х і - р > і С \ + р — гРаницы критической области двустороннего огра-

~~

ничения изменения величины сг2 с вероятностью р. Верхняя граница одностороннего доверительного интервала для

дисперсии с доверительной вероятностью р имеет вид

Соответственно для средней квадратической ошибки имеем сле­ дующие выражения доверительных интервалов:

122

Рассмотрим пример по оценке точности результатов разбивки

Величины z и %2 или %приводятся почти во всех курсах по тео­ рии вероятностей и математической статистике. На наш взгляд, для практического применения целесообразно табулировать вели-

дания и стандарта ошибки.

Для обеспечения требований СНиП, ГОСТ, инструкций, указа­ ний и т. д. важно не только выявить действительную точность, но и определить влияние производственных и внешних факторов, вызывающих дополнительные погрешности. Эта задача может быть успешно решена на основе применения специальных вероятностно­ статистических критериев.

Выполнение анализа точности измерений путем только сопос­

тавления эмпирических предельных ошибок А с допусками СНиП не позволяет выявить степень влияния указанных факторов, что затрудняет решение проблемы точности в строительстве вообще и установление наиболее оптимальных и дифференцированных до­ пусков на выполнение геодезических разбивочных работ в част­ ности.

Рассмотрим некоторые статистические критерии.

Пусть имеются две независимые выборочные совокупности

средние значения которых равны соответственно х', х ". На осно­ вании этих совокупностей получим выборочные характеристики т\, ml дисперсий

123

для которых число степеней свободы соответственно равно Ѵх = Пх — 1 ; ѵ2 = п2— 1 .

Требуется выяснить, являются ли выборочные характеристики т2 и т\ существенно различными вследствие влияния факто­

ров или же данные выборочные совокупности можно рассматри­ вать как случайные из нормальных общих совокупностей, имеющих равные дисперсии пг2. Это можно проверить с помощью критерия Фишера F [35].

Критерий F, называемый дисперсионным отношением, представ­

причем т\ >т \.

Для дисперсионного отношения F при разном числе степеней свободы ѵі и Ѵ2 построены таблицы значений Fq, которые могут быть превзойдены соответственно с вероятностью q, равной 0,05;

ния критерия Fq при выбранном уровне значимости, то такое F может считаться случайным и расхождение между выборочными характеристиками т\ и т\ — несущественным.

При случайности расхождения между выборочными характери­ стиками т2 и т\ можно считать подтвержденной гипотезу о

том, что выборочные совокупности принадлежат одной и той же нормальной общей совокупности; если же расхождение между этими величинами существенно, то рассматриваемая гипотеза о влиянии производственных факторов должна быть отвергнута.

Если необходимо сопоставить выборочные характеристики дис­ персий из g выборочных совокупностей, то такое сравнение произ­ водится с помощью критерия Бартлета [35]:

где

т

Пі — число измерений в выборке; т\ — выборочная дисперсия;

М2 — общая дисперсия для всей совокупности измерений. Применение этого критерия является целесообразным при ана­

лизе нескольких выборок измерений (более двух). Дисперсии /77: и М2 считаются одиородиьими, если '

(НО)

где %2 —критическая граница изменения величины В, выбирае­

мая из специальных таблиц [24, 35] по заданному уров­ ню надежности <7 = 1 —р и числу степеней свободы

v = g—1 . Если g>30, то

Критерий Бартлета основан на сравнении средних взвешенных эмпирических дисперсий т\. В частности, когда щ — п, получим

с{

В том случае, когда объемы выборок одинаковы, т. е. /г,- = п, проверка гипотезы об однородности дисперсий может быть выпол­ нена упрощенным способом, при помощи критерия Кочрена [24]:

»

где і — номер выборки.

Этот критерий используется для проверки значимости самой большой эмпирической дисперсии из данных g дисперсий, т. е. для проверки гипотезы о том, что случайная выборка, имеющая мак­ симальную оценку дисперсии |/п :|Шах, принадлежит к генераль­

ной совокупности с большей дисперсией, чем та совокупность, из которой взяты остальные выборки.

где Gq—табличное значение критерия G.

125

Значение Gq выбирается из специальных таблиц по заданной надежности q—1 —р, числу g рядов измерений и объему п этих рядов.

Используя критерий Бартлета (138), проверим гипотезу о рав­ ноточное™ высотного положения оголовков колонн на различных этажах многоэтажного каркасного здания. В качестве измерен­ ных величин будем рассматривать разности отметок оголовков колонн, измеренных, например, на втором, пятом и седьмом этажах здания.

Для проверки гипотезы возьмем 27 измеренных разностей, по 9 измерений на каждом из указанных этажей. Пусть по резуль­

татам измерений вычислены дисперсии т | =70,6 мм, т~ =75,4 мм и т% =22,1 мм, а общая дисперсия из 27 измерений равна /п = = 46,9 мм. Тогда при іѴ = 27, п2 = п5= п7=9 и g = 3 по формуле (143)

чением этажности зданий точность высотного положения колонн существенно снижается.

В практике разбивочных работ весьма часто приходится сравни­ вать между собой средние значения из результатов измерений двух выборок, для того чтобы проверить различие в оценках х { и xj из-за влияния того или иного фактора производственных условий. Эта задача решается с помощью статистического 7-критерия [24].

Пусть имеется два ряда измерений случайной величины X. По формулам (123) и (124) вычисляются средние арифметические значения хі и Xj и средние квадратические ошибки т* = т j соот­ ветственно при Пі и а, рядов измерений с нормальным распреде­ лением. Равенство оценок дисперсий m?=m? проверяется с по­

мощью критерия Фишера.

Задача заключается в статистической проверке гипотезы равен­ ства средних из генеральных совокупностей цг= Цз.

Если она подтверждается, то разность 8х ц = хі—х, имеет слу­ чайный характер; если нет, то эта разность является точечной оценкой систематической ошибки, выражаемой смещением центров группирования ц,- относительно щ, т. е. в форме разности

6р.із = р,г— Щ-

Две арифметические средние хі и х%сравниваются при помощи критерия

126

Эта статистика (оценка) распределена по закону Стьюдента [24]. Для нее можно построить с заданной доверительной вероят­ ностью критическую область

где гр выбирают из специальных таблиц [1, 24] по заданной дове­ рительной вероятности р и числу степеней свободы

выборкам есть существенное различие.

Рассмотрим следующий пример с применением ^-критерия. Пусть в двух пролетах одноэтажного промышленного здания про­ изведены измерения расстояний между осями смонтированных под­ крановых путей. По результатам измерений с применением формул

127

Сопоставляя эмпирическое значение критерия 1^1= 3,69 с таб­ личными ^95=2,02 и /“0,99 = 2,70 с учетом (149), видим, что харак­ теристики 11 и І2 имеют существенное расхождение между собой.

При определении суммарных погрешностей по составляющим весьма важно знать, являются ли последние зависимыми или нет. Если между составляющими ошибками имеет место стохастиче­ ская зависимость, то суммарная ошибка изменит свое абсолют­ ное значение.

■Степень зависимости между двумя случайными величинами х и у выражается через коэффициент корреляции [1]

Для подтверждения реальности связи между х и у необхо­ димо оценить эмпирическое значение коэффициента корреляции ?(х, у), найденное по результатам измерения.

Надежную оценку близости г к г по данным измерений можно дать в том случае, когда распределение величин х и у прибли­ жается к нормальному распределению и между этими величинами имеется линейная зависимость. В этом случае для больших выбо­ рок (п>50) можно использовать для среднего квадратического отклонения Г от г [ 1] оценку

(151)

1 п

и считать, что г приближенно следует закону нормального распре­ деления с параметрами (г, а,).

Определив для уровня значимости q отклонения г от г, будем иметь следующий доверительный интервал:

где tg — нормированная величина, зависящая от я и q.

128

В практике принято считать достаточным условие

Если нижняя граница доверительного интервала для коэффи­ циента корреляции окажется мала, то по данной выборке нет еще оснований считать исследуемые величины в генеральной совокуп­ ности связанными корреляцией. При малом числе измерений эти оценки не совсем пригодны.

В этих случаях для оценки надежности коэффициента корреля­

Функция z, независимо от значения коэффициента корреля­ ции, подчиняется закону нормального распределения или близкому к нему. Вычисляется она по специальным таблицам.

Средняя квадратическая ошибка функции z определяется по формуле

(156)

у п — 3

Достоверность средней квадратической ошибки коэффициента корреляции молено определить с помощью критерия Каппа

Достоверность функции p(k) табулируется через функцию Лап­

ласа Ф(і) или

Вкачестве примера подвергнем корреляционному анализу из­ меренные значения смежных площадок опирания ферм на колонны Цф. Всего обработано 180 измерений.

Врезультате обработки было получено, что коэффициент кор­ реляции между ошибками в размерах смежных площадок опира­ ния ферм на колонны г(щ, а,) составляет — 0,25.

По вышеприведенным формулам оценим эмпирические коэффи­ циенты корреляции. Коэффициент г(аь а;і) определен по 180 изме­ рениям (п=180). Тогда из формулы (151) имеем

129