книги из ГПНТБ / Волны в двухкомпонентных средах
..pdf10
Рассмотрим далее неравенство, определяющее возрастание энтропии в смеси, т .е .
|
|
|
|
~ Т ^ У ^ { т о/Г > 0 ' |
(I .I .2 3 ) |
|
|||
где |
S |
и Т - |
энтропия и температура единицы массы сре |
||||||
ды, |
причем |
Т |
>0. |
Применяя |
(1,1.23) |
к произвольному |
|
||
тетраэдру, |
как и ранее |
получим |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
|
(1.1.2Д) |
|
|
Для окончательного вывода определяющих уравнений среды |
||||||||
необходимы определяющие уравнения относительно |
величин Л//*’ |
||||||||
Очевидно, |
когда |
все |
Р.- , кроме одной |
Р 0 , |
стремятся |
к |
|||
нулю, то |
*(jO) |
|
|
’ |
|
Jd |
одыокомпонен- |
||
б*,- . |
должны давать |
напряжения для |
|||||||
тной среды, |
|
и |
A/'IJ' |
долины стремиться к нулю. |
При |
||||
отсутствии химических процессов массообмена между всеми ком
понентами |
смеси должно |
быть |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ГИ.-=0 |
, |
|
(J= i,Z , ... , п ) . |
|
|
(I .I .2 5 ) |
||||
Пусть |
для |
( |
h - НсЦк |
) определяющее |
уравнение |
имеет |
вид: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 • |
|
|
|
(1.1,26) |
||
Тогда |
из |
( 1. 1 .17) |
и |
( I .I . I 8 ) |
следует, |
что |
Ц) |
= 0 . |
и |
||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1,27) |
|
Используя |
выражения |
( I .I . I 4 ) |
и ( I .I .2 7 ) , получим |
|
|||||||||
|
|
|
r,<j) |
|
|
|
л.Ч> |
|
|
|
(I .I .2 8 ) |
||
|
|
|
Р- |
|
=У)*0£1 . |
|
|
|
|||||
Коэффициенты |
|
, |
входящие в |
выражение |
для |
кинетической |
|||||||
энергии ( I .I . 8 ) , имеют |
тот |
смысл, |
что |
J7 • |
-эффективная |
||||||||
масса |
j |
- |
компоненты при. |
ее |
относительном |
движении; |
f y |
||||||
при i t j - присоединенные массы, учитывающие взаимные влияния компонент при их движении и отрицательные по знаку.
В зависимости от природы компонент смеси выводятся до полнительные определяющие уравнения. ->
Ниже будет рассмотрен частный случай многокомпонентной среды.
Двухкомпонентная упругая изотропная среда
Рассмотрим случай, когда среда состоит из смеси двух линейных изотропных упругих компонент. В данном случае сво бодная энергия Гельмгольца равна
|
J =U-7-S |
(1.2.1) |
|
и энтропия |
S зависит |
лишь от деформаций каждой из компо |
|
нент и температуры. |
|
|
|
В данном случае закон Гука имеет вид [ 51 ] |
: |
||
Н ft?+ |
2!Л |
; |
|
|
Ы2. ~ЛУ |
|
(1.2.2) |
|
|
|
|
для первой компоненты и |
|
|
|
нс;
|
|
|
(1 .2 .3) |
для второй компоненты, |
где Л- |
упругие |
постоянные. |
e<J> i (dUz\ № |
\ . L |
п .М) |
г(1т..2..4) |
tdUt. |
|
12
Уравнения движения приводятся к виду
а№ л/ рЖ 1+ р» .
|
|
|
2iz |
j i i |
g*» |
J |
|
|
|
|
|
|
— |
+л/ |
\ г ц11) |
о |
|
|
|
|
|
||
|
= р Ш |
|
. + |
о |
|
|
(1 .2 .5 ) |
||||
|
Эр |
^ |
Лг |
|
т J 22 ^T1*- |
|
|
||||
где |
л/ - S k f |
|
р * £ * ] + * [ № ! - Ш 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f |
Lfi ?oL |
+J deLj^VLdi |
d t J |
> |
( |
1 . 2 . 6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
9 - |
коэффициент |
диффузии. |
|
|
|
|
|
|||
|
Систему уравнений ( I . I . 5) можно упростить, если ввести |
||||||||||
потенциалы % , |
Г |
|
■ по |
формулам |
|
|
|
|
|||
|
S"V<«5*r*t4; |
|
|
|
*Г1. |
|
|
(1 .2 .7 ) |
|||
|
Уравнения (1 .2 .5 .) |
приводятся |
к следующим |
|
|
|
|||||
|
Л Л<и +Й, йТ; |
|
|
|
|
|
- |
|
|
||
где |
А - |
трехмерный |
оператор |
Лапласа, |
|
|
|
|
|
|
+Zju- -+ |
; B~Jji?+t y j +z |
f t I -jUu. |
|
|
|
Если |
коэффициент |
диффузии |
9 = 0 , |
то уравнения |
|
|
(1 .2 .8 ) |
можно упростить. |
|
|
|
|||
|
Положим |
|
|
|
|
||
|
$>--% д = ^ , , |
(О , |
,<*v |
(1 .2 |
.9 ) |
||
|
|
v ‘“° r r £ . |
|||||
|
После |
подстановки |
(1 .2 .9 ) |
в уравнения |
(1 .2 ,8 ) для J3 |
||
и ^ |
получим алгебраические |
уравнения: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
р2 ,?чЛг~PrtJh |
п |
StlBt ,?±bflz _ q . |
|
|
|||
|
J |
Л > В г М |
|
& Л .- Я Л ~ ' |
|
(I -2 -I °) |
||
|
vi,г_ S i { |
( |
. ( |
U |
у. 9ti(^i~Xs)-^iz(.Pt+h) __q |
|
||
|
|
^ ( / Уз ^ |
у)~$г(р>з+-к) |
Szzfii . ^ s j - fa ifjls ) |
(1 .2 .II) |
|||
|
Уравнения |
(1. 2.10) и |
(1 .2 .II) имеют по |
два корня |
||||
и |
|
. Следовательно, в силу линейности |
системы |
(1 .2 .8 ), |
||||
она |
эквивалентна следующей системе волновых уравнений |
|||||||
о \ - П г . |
,„ гх.г& |
|||
|
а \ |
|
st*- |
|
в х а <*,/ |
4^ |
i - |
Л |
и) |
йЧ?’* и г |
Ъ |
д |
Г |
|
A i* |
& - & tfa $2 |
|
||
J ~ A +№ |
|
|
|
' |
^ W i+lrhfatpj-A-) |
C |
|
|
|
(1.2.12)
(1.2.13)
(Ь 2 Л 4)
|
|
|
A |
+ |
t i f n |
' |
& + $ & |
' |
C1-2*15) |
Потенциалы |
^ |
|
и ^ |
называются потенциалами продоль |
|||||
ных волн, |
|
|
потенциалами |
поперечных |
волн. |
Соответст |
|||
венно, |
Q* |
и |
ог |
- |
скорости |
распространения продольных |
|||
волн, |
ё, |
и #z |
скорости распространения поперечных волн. |
||||||
Таким образом, в случае равенства нулю коэффициента |
|||||||||
диффузии |
\> |
движение двухкомпонентной упругой |
изотропной |
||||||
среды |
описывается |
волновыми уравнениями (1 .2.12) |
и (1 .2 .1 3 ). |
||||||
Константы Ji,JUL |
должны удовлетворять |
следующим нера |
|||||||
венствам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
JtA 4 B\ =Bl; (At -tfjlfijfJ-tB fjio, |
(1.2.i6) |
||||
f t f * 4 |
- f \ ; a i d e d , |
/ - |
Q3 j o |
и м <x>, |
(I .2 .I ? ) |
где |
|
|
|
|
|
a * A t* / к |
) i - J z + f z |
i |
c = (Ai^JUs)', d |
z h w , |
|
|
d M - A |
d) . |
n |
d*(AQ~&c) |
|
9s~ Oi-бг |
9i~ f ( Q i - c d ) |
’ Vl~ |
f t o t - c d ) • |
||
В некоторых задачах полезно иметь уравнения движения в перемещениях. Для двумерных задач уравнения движения в пе ремещениях имеют вид:
t!f,- |
|
|
|
<л - |
|
Sic/г I дг и ^ |
Z . f/-J |
. Л |
£t°ti yfulc . / ., |
J y)ZU t\ |
|
- S ' |
|
J 4 i |
|
4 № W v j j T 1 |
|
- и |
t „ |
, |
j? |
xiiM |
pitas |
W |
+/ 3 |
Иг |
!Ьхщ J Jit gt* |
Эт^ |
|
|
|
|
15 |
|
|
. St |
\ Ut |
£ + f/j +р и , |
j дг |
a 19 1 |
, |
+ S |
дхдц |
J |W v+<?_//,+ |
j, Jg^ |
gyi |
+ |
+ |
|
|
|
|
a-2-18’ |
► fa м + ^ $ ! f ^ к Щ § * а ,
= р |
1 1 |
14 |
й + 0 Ш и |
||
f i z |
g fi |
+Jzz gt* |
|
Двухкомпонентная среда, |
содержащая жидкую |
|||
|
|
компоненту (модель М. Био) |
|
|
|
|
Другим частным случаем двухкомпонентной среды рассмот |
||||
рим среду, |
состоящей из упругого и жидкого |
компонента. |
|||
|
Данная среда также является частным случаем уже рассмот |
||||
ренной п - |
компонентной сплошной среды. |
|
|
||
|
Изложем ее как модель М. Био /46-477, |
причем упругую |
|||
составляющую будем считать в общем случае |
анизотропной. |
||||
|
Для такой среды связь между компонентами тензора напря |
||||
жений б"у- упругой компоненты и средним давлением |
6 в жид |
||||
кой |
компоненте равна |
|
|
|
|
|
|
G ^ - K o P , |
|
|
( I .3 .I ) |
где |
40- |
пористость среды,в таком случае |
Р - |
гидродина |
|
мическое давление в жидкой среде. |
имеет вид |
|
|||
|
бхъ |
+ Qt3 Si |
+ Q' So |
г |
|
16
- @чч
6- = £?• £ + R ' £ 0 '
здесь
c |
dUx . |
_ Ъ@Ц . r |
<-*д: |
За: |
' <-УУ~<9у ' c t* |
|
|
(1 .3 .2 ) |
_ ЭУа |
f. ~ d_{c +c |
+c ) |
3 3 ' |
c ' a |
i |
Ux,u%,ui |
- |
смещения |
в |
точке упругой компоненты; |
|
|||
У х . Щ Л - |
смещения в |
точке.жидкой компоненты; |
|
|||||
- константы двухкомпонентной среды. |
|
|
||||||
|
Уравнения движения |
(1 .2 .5 ) принимает вид |
|
|||||
|
djt |
- м |
, |
0 |
- W |
|
|
|
|
д +> + |
& |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 .3 .3 ) |
где |
a f ,jj |
~ |
пробегают значения |
(2 /У , 2-) i U , |
U |
|||
- вектора |
смещения с |
компонентами |
t Uoc. |
|
||||
|
Если среда изотропна, т .е . |
|
|
|||||
Огг ~@ъъ |
|
|
|
) |
@it ~ Q ii-Л ' |
@чч -J J , |
(1 .3 .4 ) |
|
то, |
вводя потенциальные функции по формулам, |
|
||||||
|
и = g ta d ф + r o t Щ ; |
|
|
|||||
(1 .3 .5 )
U = $ ta d Фг + t o t Уг ,
V r - { D - ,V j “ ; V ; ' l ,
|
|
|
|
17 |
|
|
|
вместо уравнений |
(1 .3 .3 ) получим следующие: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2. |
|
U + 2 j u ) A (Pi4 QA<pz = J i £ & |
+ |
|
|||||
Q Дф< |
•+ |
|
=£ z ! ^ |
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 .3 .6 ) |
|
Э*г " |
JU |
ЭР ’ |
^ = / г / 2 ) . |
|
||
Если ПОЛОЖИТЬ, |
ЧТО |
|
|
|
|
||
Ф> = f > |
|
Ф, |
^ |
|
|
(1 .3 .7 ) |
|
|
|
|
|
||||
в первые |
два уравнения |
(1 .3 .6 ), |
то |
для Ji |
получим алгеб |
||
раическое |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
р*, |
Ш 2 /и )& г- 2 & ± р _ A±Q М + гу)£ г_ |
(1 .3 .8 ) |
|||||
^SzzQ -J3*/? ^ &*Q-RSb
откуда имеем два действительных значения |
р. |
|
|
||||||||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ф > = ^ + <4 |
) Фг =^*¥* |
+ / г ^ |
, |
(1 .3 .9 ) |
||||||
где |
^ |
и |
^ |
удовлетворяют волновым уравнениям: |
|
|
|||||
|
А (д - |
^ |
У ^ |
. |
л (О |
г- jL. . д |
V* • |
/ I |
3 |
10} |
|
|
|
а \" Я * ~ |
»' |
|
|
|
’ |
(I .3 .I0 ) |
|||
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
а 4 |
^ н е ж |
_ |
<3 |
+/?а |
_ |
, т |
о |
тт\ |
|
Очевидно, последние два уравнения можно привести к виду:
АЦ/« ± l t b |
9 ! Г _ & Г У ? |
(1.3.12) |
d t z ‘ |
d t г ~ Лг д t z |
’ |
Гос. публичная
Бмучно-техничес*ая библиотека ССОР
18
где
p z = cT^Jzz
~ S * 2
Следовательно, в случае изотропной двухкомпонентной среды, состоящей из упругой и жидкой компоненты, в среде распространяются две продольные и одна поперечная волны.
Г л а в а |
2 |
ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ
Воздействие подвижной нагрузки на двухкомлонентное упругое полупространство.
Пусть по поверхности двухкомпонентного упругого изотроп ного полупространства у £0 перемещается с постоянной скорос тью 0 нагрузка интенсивности P0S~( х 1- 9>{) под углом 9
к поверхности, что соответствует следующим для компонентов тензоров напряжений выражениям:
=в$(х'-&} (i - t o );
|
£,*. = - £ С я в |
|
|
-Ъ -t) |
|
|
|
Луу - |
d.i_ ~ Р0 Siy, в |
|
«Г |
> |
(2 . I . I ) |
|
= - Р0 С * 9 )C o Ji-№ -W |
|
||||
при |
у - О |
, где |
£0 |
- |
коэффициент пористости. |
|
|
Движение |
среды в полупространстве у 4 0 |
описывается |
|||
системой волновых уравнений |
|
(1 .2 .1 2 ), (1 .2 .13) (при 9=0- |
||||
отсутствия диффузии): |
|
|
|
|
||
■ B tг |
■1 |
j = i и 2 |
|
А = ' ТэЧ-г |
.1.2) |
||
|
|
(2 |
где скорости |
и |
|
|
определяются |
по |
формулам |
(1 .2 .14) - (1 .2 .1 5 ); |
|
|
А - |
двумерный оператор Лапласа. |
||
Потенциалы |
|
и |
^ |
будем искать |
в |
виде: |