книги из ГПНТБ / Волны в двухкомпонентных средах
..pdf120
( 2 i ( i 4)-i-B3F i(2v) + (% ч К (? ч ). |
(4 .3 .25) |
формулы (4.3.13) и (4 .3 .17) дают точное решение за
дачи.
Для определения точен пересечения цилиндричесного тела с поверхностью полупространства, т .е . параметров й
и£ , необходимо потребовать конечности напряжения
|
&хх. - |
&F |
|
П) |
|
(4 .3 .26) |
||
|
£Х7К |
|
||||||
в данных |
точках, |
т .е . |
при |
a -Q |
и х - - £ к |
точках |
по |
|
верхности у - Р . |
|
|
|
|
|
|
||
Для |
случая (4 .3 .22) условия |
конечности |
в |
точ |
||||
ках х -a |
и |
-г--£ |
дают: |
|
Чг |
|
|
|
|
а |
Г |
Л |
F2.P, |
- П Л |
|
|
|
|
|
(4.3.27) |
||||||
|
' 1 |
|
<Л Т |
|
||||
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо отметить, что выражение |
|
|
||||||
П = |
Л Т - & |
Л = |
0 . |
|
(4.3.28) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
является уравнением для сноростей поверхностных волн Ре-
лея. Уравнение |
(3 .3 .2 8 ) |
дает две скорости волны |
Релея |
||||
Поэтому, |
когда |
04%)s m ind*, |
|
то |
выражение |
||
под корнем в (3 .3 .2 7 ) |
положительно и |
определяет |
й и |
||||
При Ю-»н'н(Сг, ,Сг,) величины С? |
и |
ё |
стремятся к |
||||
бесконечности. |
|
|
|
|
|
|
|
Воздействие импульса вращения на ДЕухкомпонентный |
|||||||
слой (осесимметричная задача) |
|
|
|
||||
Рассмотрим задачу |
о |
воздействии |
импульса |
касательно |
|||
го напряжения на поверхность двухкомпонентного упругого слоя толщины Ь у нижняя поверхность или жестко закреп-
|
|
|
|
|
121 |
|
|
|
|
лена |
или |
свободна от |
напряжений |
/ ' 4 3 / . |
|
|
|
||
|
|
Пусть на поверхность |
^ =0 |
упругого |
двухкомпонент- |
||||
ного |
слоя |
h 72 |
при |
t=o |
прикладывается |
импульс |
|||
касательного напряжения |
интенсивности / |
( г ,2) |
, |
где |
|||||
'Y- |
1 / 5 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В цилиндрических |
координатах < |
волновое по |
|||||
ле |
из-за |
осевой симметрии |
задачи |
от угла |
& |
не |
зависит |
||
и отличными от нуля компонентами векторов смещения будут
лишь |
Ue(r,T,i) и |
|
|
|
|
|
|
||
|
Движения |
среды в |
слое будет |
описываться |
уравнениями: |
||||
Ц |
t |
дг |
д?г |
£ |
ft* |
> |
V ' /£/2A |
(4.4.1) |
|
Эгг |
|||||||||
|
Граничные условия имеют вид: |
|
|
|
|||||
% 0 =-({-Ъ)1(г,{) , |
|
? го = -Г о № ,1 ) |
|
(4.4.2) |
|||||
при |
2 - 0 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Луь' |
~0 |
|
|
|
(4.4.3) |
|
при |
2 -+/? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в случае |
нижней |
границы, |
свободной от напря- |
|||||
жений, или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ыв = IV& =0 |
|
|
|
(4.4.4) |
||
при |
? = +h |
в случае, когда нижняя |
граница |
жестко зак |
|||||
реплена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начальные условия |
нулевые. |
|
|
|
||||
|
В дальнейшем будем предполагать, |
что |
|
||||||
|
|
|
л |
Ш |
|
|
|
(4.4.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачу (4 .4.1) - (4 .4.4) будем решать, применяя пре образования Лапласа во времени.Тогда уравнения (4 .4.1) и
граничные условия |
(4.4.2) |
- |
(4.4.4) примут вид: |
|
1 |
А |
- |
а |
I j |
г |
w |
' |
К |
|
(4.4.6)
|
122 |
|
|
=■ |
и |
ПРИ |
(4 .4 .7 ) |
|
t |
||
^2В ~ ^ д ~ 0 |
при |
2 ~ + В |
(4 .4 .8 ) |
или |
|
|
|
Uo = We =0 |
при |
i = +h , |
(4 .4 .9 ) |
где Р - параметр Лапласа, черта сверху означает преобразованную по Лапласу функцию.
Общее решение уравнений (4 .4 .6 ) имеет вид:
J |
t |
d |
4Р7/^ |
d |
|
)Ум z)doC |
(4 .4 .10) |
|||
|
|
|
|
|
' |
|||||
где dijid) |
и |
Bjid'] |
- произвольные |
функции |
от |
cL, кото |
||||
рые определяются |
из |
условий |
(4 .4 .7 ), |
(4 .4 .8 ) |
или (4 .4 .7 ), |
|||||
(4 .4 .9 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
выражения |
(4 .4 .10) для |
^ |
|
в_граничные |
|||||
условия (4 .4 .7 ), |
(4 .4 .9 ) |
или |
(4 .4 .7 ), |
(4 .4 .8 ), |
получим: |
|||||
Т 4 щ -В<)№Т?УёГ+ Ш - В г )
©О
(4 .4 .II)
= о ;
(4.4.12)
+вг&’^ ттг)Н (^ ш =0
|
|
123 |
или вместо |
(4 .4 .12) |
|
И ^ ^ Ш |
' ( А ё Млчр',‘! '-В1е ’е ; т '>* |
|
О |
|
|
+ 2 « |
|
i g ^ h'S>*PV1' ') ) x m d « -О', |
^ ! L f ^ r ( A e i^ |
r -Bt e h^ ^ ’) * |
|
|
|
|
(4 .4 .13) |
где |
2,z определяются |
из (2 .1 .8 ). |
|
Определим |
A , B t , A , & i |
из |
выражений ( 4 .4 .II) - |
(4 .4 .1 2 ): |
|
|
|
п&(Р)&Ж-1С°)~Ъ<Псо)1________ . п л ^ А ч Щ ’
Л<_ V
я. |
А (Р)[?,па-Ы -Ук°)1________ .п п 2i>ifc4P'/e\’ |
||
|
™ |
|
■ (4.4.14) |
|
Затем, определяя А , Bt , А >Вг. |
из |
выражений |
( 4 .4 .I I ) , (4 .4 .13) получим: |
|
|
|
f t _________ {<(р][Ы1~>Со)~}н(к\ |
_ . |
q |
|
‘' 4 и г 1 о и 1 ~ е ^ ^ - щ т т ‘ 1'
а ______ /* ^pJtZo (j-ico)- % г»]_______ •
(4.4.15)
g , = I ^ а а т щ '
124
Подставляя (4.4.14) или (4.4.25) в выражения
(4.4.10) для ^ ( г ,2 ,Р ) |
|
получим:__ |
||
оо |
|
г гъкЧР/е' ' |
7 л |
|
Ш 2 Я - С |
.Л т - е |
- |
fc i + р у ^ |
|
№ |
[ |
1 |
||
(4.4.16)
или
ооГaya'Zfpi/.'.’ —/ г ' | п г-+Я/^3 /
a t o |
( . у |
t o v O ? * |
y w |
e __________" Н |
^{br)dcL |
||||||
37 |
о |
|
[ { ~ 4 h^ |
pl/el] )[ d z +P7/e]'' |
|
||||||
|
|
|
(4 .4 .17) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
_ 2n-(i~&)- s’fftp) |
J j |
|
Sjo(-)C0il 1 |
|
|
|
|
|||
^ |
_ |
Д |
& |
|
|
||||||
Квадратуры в выражениях |
(4 .4 .16) |
и |
(4 .4 .17) |
вычис |
|||||||
ляются |
и получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
й . . Ш |
А Т п Н Г р &^ А г - |
ё (^ |
|
/,',ЧТ’ |
|||||||
<57 " |
|
Р |
ЙГ |
/iC |
|
|
|
|
|
|
|
- [е £i^Ap - ё« |
|
|
|
' I |
|
|
|
(4.4.18) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w f _ |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 .4 .19) |
Обращая |
выражения |
(4 .4 .18) или |
(4 .4 .19) по |
Р , окон |
|||||||
чательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
^ |
- ( |
|
|
|
|
|
|
|
125
л п и'/1
У к р - л
ОО |
|
I------------------------------------------- -----, -, |
-> |
, |
|||||
-JfM -tfH lS -fkuft-zliciD kF |
Jd${ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.4.20) |
или |
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
3 Щ Ы , |
** |
|
|
|
|
|
|
|
|
д г |
т |
к-0 0 |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
<) |
|
|
|
|
|
|
|
‘ f |
f |
w |
- |
s |
M |
S |
- |
- |
|
О О |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
^ |
z -L?-2(k + £ )h F lc (li i > |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 .4.21) |
|
где М( Х) |
- целая |
часть |
числа |
|
|
, |
|
||
Hi'=L^ -4 (r iJ4 . |
|
2 Ъ |
, легко определить |
|
|||||
Зная |
величины |
|
смещения |
||||||
|
по |
формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
дг |
' |
We-fidr |
т0г |
%7 |
• |
|
|
(4.4.22)
Формулы (4 .4 .20) |
И |
(4 |
.4.21) дают решение задачи, |
когда нижнее основание |
или |
жестко скреплено или, соот |
|
ветственно, свободно от |
напряжений. |
||
Г л а в а |
У |
ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
Дифракция плоской волны на полубесконечном разрезе
Задача о дифракции волн в сплошных сжимаемых средах представляв! большой теоретический и практический инте рес. Основные результаты получены для акустических и уп ругих изотропных сред.
|
Ниже решается двумерная задача дифракции плоской вол |
||||
ны на полубесконечном |
разрезе |
в двухкомпонентной сплошной |
|||
среде |
[ 45 ] . |
|
|
|
|
|
Пусть |
в плоскости |
( х ,^ Ь |
заполненной двухкомпонент |
|
ной упругой изотропной средой, |
сделан |
разрез вдоль луча |
|||
у -О, |
хъ-О, |
края которого закреплены |
или свободны от |
||
напряжений.Рассматривается задача о распространении волн
в |
такой среде, |
причем при t > o |
в среде |
распространяют |
ся лишь плоские |
волны. |
|
|
|
|
Движение частиц в двухкомпонентной среде описывает |
|||
ся |
уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
Р) АФг = & $ |
37* |
( р з + Ь ) Д Щ + (//г - Ж ) Д К |
+ Я г |
> |
( 5 . 1 . I)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
где |
|
Д |
- двухмерный |
оператор |
Лапласа. |
|
|
||||||
|
Система уравнений ( 5 . I . I ) приводится |
н системе вол |
|||||||||||
новых уравнений, |
если: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
, |
Фг |
|
|
|
|
|
= |
Щ ^ У г У г , |
|
где |
|
£, |
,&г |
, р |
,Тг |
|
|
" К°РНИ ^Равнений |
|
||||
|
«г2+ л ^ - а , = о , ( Г ^ л ^ - в ^ о , |
|
|
||||||||||
Л _ . р „ с л +*р * - $ - р)-А 1 (а + 2 .* 1 + 4 -р) . |
|
||||||||||||
|
|
3z i( h +2jbl3-^ fP)~ &z(Ai~ >'2jUz + -fyp) |
|
|
|||||||||
о |
_ |
Pit (Ач+2'ju, -t ф-p)~Piz(Ji + 2 Ж |
P) . |
|
|||||||||
|
" |
Я г (Лъ m - |
f p |
) |
-Лг(Лг +2JUZ + f p ) |
’ |
|
||||||
J |
|
|
|
|
|
|
|
. |
g _ |
|
|
--^ ) |
|
|
J2 2 (JKj+Jsj ~$г(^г~~Лг) |
|
JzifjMi'tJs') |
|
|
||||||||
|
Потенциалы |
^ |
|
|
|
продольных и |
% , У'г |
попереч |
|||||
ных волн удовлетворяют |
уравнениям: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
O': |
d i‘ |
- |
Л ¥ |
* |
Х . Ш |
|
|
|
||
|
|
|
‘ |
a r i |
|
( ' |
Ы г |
|
(5 .1 .2) |
||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
где |
скорости |
0^ |
и |
|
|
равны. |
|
|
|
|
|||
qz _ (L + s P i ~ ^ P ) + S j 3 P), |
|
|
|
||||||||||
6 |
|
|
$ a |
- + £ ji: |
|
|
|
|
j~ |
S ti+ Q /< 3 |
|||
|
|
|
|
|
"el |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
задаче |
можно рассматривать |
граничные условия четы- |
|||||||||
рех |
типов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I. |
U x ^ U y |
= W x = W ^ O |
|
Vtjvu |
у - 0 , 3 0 , 0 , |
(5.1.3) |
|||||||
(условия жесткого контакта); |
|
|
|
|
|||||||||
П. |
0^=-Р I |
|
Pi |
|
|
|
|
ь[ш У=о |
5.1.4) |
||||
(стороны разреза |
свободны |
от напряжений); |
|
|
|||||||||
|
|
|
129 |
|
|
Ш. |
' |
|
|
H.tut tf- o ' X >С |
(5 .1 .5) |
(жесткие края при отсутствии |
трения); |
|
|||
1У. |
Ух |
Уу |
IVx ~ ® |
у~& , DC-tpO |
(5 .1 .6) |
(когда одна из |
комповевт - невязкая жидкость) |
|
|||
|
При |
-t<0 |
в плоскости |
( я , у ) имеются |
лишь плос- |
кие |
волны вида: |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 .1 .8) |
Из (5 .1 .7 ), (5 .1 .8) непосредственно |
вытекают начальные |
|||||||||||
условия для |
|
и |
Ijj |
при |
t |
= 0. |
|
|
|
|||
Таким образом, |
в данной |
задаче имеются |
шестнадцать |
|||||||||
частных задач |
в соответствии |
с граничными условиями (5.1.3) |
||||||||||
- (5 .1 .6) и началъньыи |
функциями |
/*, |
. / 3 |
, J V. |
||||||||
В дальнейшем для |
простоты |
будем |
полагать Qt >Q^>L >{г. |
|||||||||
Дифракция продольной волны I типа в случае |
||||||||||||
|
жесткого |
контакта |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
при |
j; 4 О |
в плоскости |
[Ъ,Ч) |
|
распространяю |
||||||
тся плоские |
продольные |
волны |
типа |
|
(5 .1 .7 ), |
что соответст |
||||||
вует |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
■ |
о Ы < & ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 &‘УК |
уСм<<- ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Q7 |
+ |
о , |
J • |
|
|
||
(5.1.9)