книги из ГПНТБ / Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие]

дифрагированные лучи

покидают

сферу в

/

л*

точках р

и Р под уг­

лом оС* (полного

внутреннего

отражения) к нормали и идут в

точку наблюдения

Р

. На луче

Ѳ = V

происходит

фокусировка

вторые !РГ

, Щ. вычисляются методом седловой точки о исполь­

зованием асимптотики Дебая,

В работе

/1 6 _ /

получены выраже­

ния для обеих частей ( ^

и У>г

) геометрической ооо-

тавлшрщѳй поля смещения.

Кроме указанных зон света и тени существуют зон" полуте-

ни вблизи

границ

г ,

и г г .

В комплексной плоскости

они со -

ответствуют областям

\і>г—

I й Л д

^ 3.

Представленные

выше решения в этих областях по отдельности не применимы, ■

решение в

областях

полутени

бѳр'тоя

в

виде суммы рядов

% , “

Y>z я интегралов

(Ш.І8) и (Ш.І9).

Решения в

областях полуте­

ни будут "склеивать"

решѳяия в областях света и тени.

цилиндра.

Дифракционное поле смещений

точке наблюдения

будет складыватьоя

из суммы полей на

лучах трех типов: про­

в

дольного ге^'“ и поперечного

дифракционных лучей, иоцу- л

ценных в точке Р,

(рис. 14), и поперечного дифракционного

луча типа головного

, испущенного в точке р ' .

Пусть упругое полупространство

заполняет

некоторый дву­

гранный угол, больший, чем х

. Направим оси

координат л- , у ,

я , как показано на рис. 15.

Пусть

вектор смещения частицы

параллелен оси z

и картина

колебаний во воѳх плоскостях,

параллельных плоскости лгу

,

одна и та хе. Исходя из этого,

будем рассматривать

только

одну

компоненту смещения U [ u ,v v /J

компоненту по оси

Z

,

зависящую только от зг , у , t

. При

этом уравнения упругости сводятся к единственному волновому

уравнению:

9

2

а

2

a zur

га-

w _ J _

а л *

а у *

с*

a t *

’

(и.21)

т .е . задача свелась

к задаче

о дифракции линѳино поляризован­

ной поперечной волны.

Область, в которой

надо

интегрировать

уравнение

(Ш .2І), <

з л

+<* <

- j - - U ,

z

ГЛѲ

je = z cos

19 j

y =

z s in 1 9-,

Предположим, границы двугранного угла закреплены, тогда

граничные условия запишутся:

иг

= о :

и г

IV=f- -а{

= о.

(Ш.22)

Пусть при

і'< -0

в

упругом

пространстве

распространяет­

ся

поперечная

плоская

волна

/ (cs t - л

s£nJ3 + У cosJ * ))

1.23)

где

cs = j 3

;

/

и

/

-

соответственно упругий модуль

сжатия и плотность

среды;

смысл угла уЗ виден

из

рис. 16,

на котором прямая

N L

-

фронт

падающей волны.

При этом необходимо соблюдение условия

7Г

, т .ѳ . линия фронта при t- ^ O

не пересекается

со сторонами угла.

Рассмотрим волновую картину,

получающуюоя при

t > 0

.

когда волна

(Ш.23) пѳрѳсѳчѳт у го л Л Л У .

При і

= 0 плоская волна достигает контура В ОА

,

и,

на­

чиная о этого момента, вершины угла и его стороны будут

слу-

жить источниками новых возмущений,

т .ѳ . появится поле дифрак­

ции.

На основании принципа Ферма возмущение, вызванное

верши­

ной угла

О , будет сосредоточено

внутри окружности

радиуса cs t

(см .рис.І(>)ESFGH (дифракционной окружнооти). Возмущения,

вызванные отрезком стороны угла ОБ , будут

лежать внутри

этой

окружнооти,

так как люба^ точка Aj

начнет

влиять на движение

только

с

момента /■= -^г^- . Сторона Oß вызовет отраженную волну

1 0

,

причем в связи с условиями

(Ш.22) эта отраженная

волна

та

і

,

фронт падающей волны

будет

раз орван углом А

OB

на

чаоти

Р О

и ІА ' . Фронт отраженной волны I G

образует

о

линией OB

тот

же угол,

что и фронт

падающей волны.

Причем

линии разорванного углом

фронта

P Q

и І А

должны каоаться

дифракционной окружности.

Теперь, пользуясь интегралом Дюамѳля, представим наиу

функцию (падающей волны)

f

( } )

в виде ступенчатой функции:

J h ( c s i - x s in j3 * ! /c o s j» - A ) ^ ,(A )ä A t

(щ.24)

О

где

А Q )

-

единичная функция (функция Хевисайда), а

каждое

олагаѳмоѳ

h (cs i~ x s C n ß + y c o s ß )ß '(A )d A

представ­

ляет

собой элементарную плоскую скачкообразную волну.

ны

Еоли решить задачу о дифракции элѳмонтарной плоской вол­

Ь. ( ^ é -

X s<n ja

+ у со#

уз )

при

і < 0 ,

(ш.25)

то, испольвуя интеграл Дюамѳля, достаточно

проото получить

решение и для сложной волны вида (Ш.24).

областях /С ІВ

Возвращаясь к рио. 16, можно оказать,

что в

к А E f f Р

,

лежащих впереди

переднего

Фронта падающей волны,

Ыв равно

нулю. В, области,

ограниченной ломаной линией

P Q F G I К I где

не

будет

сказываться влияние

границы среды,

&£= I . В области

/6УУ, где

на падающую волну

гсгв= I

наложе­

на отраженная г<г = - I ,

функция иго обращается в

нуль.

Таким

ва-Соболева

Г 17 У .

уравнение относительно л: , у

и t

Рассмотрим линейное

с коэффициентами, зависящими от

некоторого

параметра

( Z ) y - X ( Z ) = 0 ,

(Ш.26)

г д в іѴ ( £ )

hjV ( C )

-аналитические

функции

комплексного

переменногоС , обладающие свойством [ м (£ )] +[/Ѵ(£)]*= і

jt ( £ ) - аналитическая функция

того.же

аргумента £ ,

опреде­

ленная в той же области,

где М

( f )

и jV

( £ ) •

Решение уравнения (Ш.26).относительно

?

зависит

от ве­

щественных аргументов

х

, у ,

2f

и является

комплексной..

функцией. Можно доказать,

что

произвольная

функция {

( ? ) ,

решением волнового

уравнения.

Если выбрать:

(11!.27)

то решение

для f

в области 0 < x < c s t

будет иметь

вид

с=(-¥--УЦ£*~* ) е *

(ш-28)

При

c o n s t

внутри круга х< , С . і

величина Q

при­

мент f

равен Ѳ , и между

кругом

|< ів

плоскости

комп­

лексного

переменного

£ и

кругом

г< cs t в

плоскости х

, -

У при t

— c o n s t существует

простое

взаимное

однозначное со-

гтертг-тиие. Каждому

радиусу

одного

круга со

гветствует

радиус

ного /

( f ) , определенная

в круге

а значит и ее вещест­

венная и мнимая части

порознь, будут

решениями волнового урав­

нения,

которые зависят

в

конечном счете лишь от отношений -х-

функции комплексного

переменного С 'І. .

В нашем случае

функция ъсг из (Ш.25)

при 9 < О

пред­

ставляла собой однородную функцию нулевого намерения

относи­

тельно х , у и t

, а следовательно,

она должна быть веще­

ственной частью некоторой аналитической

функции С :

Перенося

значения

w 0

для, точек границы дифракцион­

ного сектора из соображений непрерывности на сектор (Ш.29),

можно

сказать,

что функция переменного

?

на радиус ах ОЛ

и

OB и в

точках дуг СА

и В В

обратится

в

нуль,

а ці

дуге

СВ

будет

равна единице:

п р и

\ £ \ = r , - f ^ * y ? < ^ S ‘x - / 3

АѴ ( Ч

(

ф

№

О при

a zp

З Х

,

•>= J L

— сС

(Ш.30|

ахН ^

2

Задача свелась к задаче Дирихле, т .ѳ .

к определению {ве­

щественной части

аналитической

функции,

т .е . гармоническо|й

го-0 ,

w

—'

функции

.по предельным значениям на контуре

области.:

В данном случае задача Дирихле легко решается с помощью

метода

конформных отображений,

заключающегося в

том,

что

вместо

независимого

переменного

f

вводят

переменное

соответствующие значения которого меняются в другой области,

где решение получается проще.

Преобразуем

сектор

OACD BO

плоскости £

(см.

рис.17)

в

нижний

полукруг

плоскости

£

(рис. 18) с

помощію

функции

і ^ е ‘ 2 ( е ‘ 'Г ) * * - * * .

(Ш.ЗІ)

При

этом

задача

сводится

к

построению функции

с ш* 32)

в

нижнем полукруге

w,tt)-v/AC)

| | | < / ;

- Х ^ т д ^ к о

(Ш.ЗЗ)

при граничных

условиях:

P f> j\V (% )I~ О

при

J?e{W f

( } ) } = 0

при /

} / =

/ ; —Ж a "Lg

;

Л е ( Н ( ( t ) } = *

при /

/■ /= /;

;

(Ш.34)

R e { 'W , ( t ) } - О

при / ? / = . /

- % < * * /? < & ,

где

чѳрѳа

и

обозначены аргументы тех точек

С

и

2 7 ,

в которые

перейдут после

преобразования координаты

для точек

С и

Д

(см.рис.Г7).

Л

Ж

Ж

,

г

*Г■-Ѵаі

2Ж ~2оС *

Ж

I П.35)

2

ѴЛ-*/<*. +{2еі+ /3 '

2 . ’ 2 Я - 2Ы-

В дальнейшем мы будем основы­

ваться на принципе симметрии, ко­

торый гласит, что гармоническая

функция, определенная в облаоти,

лежащей по одну сторону от вещест­

венной оси и обращающаяся в нуль

на самой оси, всегда продолжается

и в область,

симметричную исходной,

причем ее значения в точках,сим­

метричных относительно вещественной

оси, обратны по знаку.

Зеркально

отразим полукруг в нижней полуплос­

кости в верхнюю полуплоскость координаты £ . Функция

Щ ( Р )

может быть определена в круге единичноію

радиуоа | f

При__

этом должны выполняться следующие граничные условия: Re[

-

~ѵУа обращается в

нудь на д у г а х лИ ,іг ,ъ

единицу -

на дуге СД

и в минуо единицу -

на дуге Ct 3a .

На основании этого можно построить функцию

( ? ) ,

ко­

торая будет удовлетворять этим условиям:

_

_ 1_

е ( е Г' ~ t Х е 1* -

V

(Ш.36)

Ц ( Ѵ

жг

f . ( e ‘r* - t ) ( e ' r* - t )