книги из ГПНТБ / Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие]

где

£ - вязкость

жидкости; а*“ Я <»-” ѵ

- коэффициент

гидравлического

сопротивления

среды;

-if -

проницаемость сре­

ды.

Тогда уравнение сохранения импульса в жидкости примет

вид

гіГ;

ff иг,-

Р

f- + Р, w . — -‘ =

a x ',

»

(I .I5 )

Р г s t

-t* d e x -

где

. - J S l + J L

PJZL

r

t

гтъ

Гтг

f f X ;

Уравнение

( I . 15)

соответствует

случаю,

когда

жидкость,

рой нет касательных напряжений.

Если вычесть из

уравнения полного

импульса

( І .І 4 ) урав­

нение относительного

движения жидкости

( І .І 5 ) ,

то мы получим

уравнение относительного движения твердой фазы:

d

-л ч Щ )~

d ( і л ё )

& / = ( / - * т г ) ( ( з у + р ^ у )

(I .I7 )

Q

(частицы

окружены со

всех сторон

жидкостью,

давление

в

которой

одно

и то же),

то между

час­

тицами

нет

взаимодейст­

вия, т .ѳ . сила, сжимаю­

щая пружинку, равна пу­

лю. Таким образом, сжи­

мать пружинку, т.ѳ,- соз­

давать

взаимодействие

между твердыми части­

Рис.

I .

Модель двухфазной пористой

цами среды

(скелетом),

ореды

будет разностная

сила

б г - -

(I

- г л )

(& у

называемая фиктивной

и опре­

деляющая

различие в фазовых напряжениях, Слѳдоватѳльн

, G y

является

силой,

вызывающей

относительные смещения твердой

фазы,

/

'G y ( f - r n ) - s > n â y = б у - p d i j

( f - т

) G y ~ G y - (<~ггг)р <?y .

Таким

образом, твердые

частицы в

пористой среде

воспри­

нимают на себя нагрузку

(I

- fT l) G y

, часть

которой,

равная

( - / ) ( І - г п ) р

уравнове .иваѳтся

подпором

со стороны жид­

кости,

а

часть .равная величине фиктивного напряжения

G y

,

воспринимается силами, препятствующими взаимным смещениям

твердых

частиц,

т .ѳ . силами в точках

контакта частиц,

и овя-

аи с этим плотность твердой фазы является функцией первого

инваріанта

0 = G ,/

-t-G^z

GJ3

тензора напряжений.

Примем, что плотности

твердой фазы .. жидкости изменяют­

ся по линейному закону,так

как

ш

не

будем рассматривать

боль­

ших изменений напряжений.

_ А Л І _ А .

'

)+ А ( Р -Р о )-, (Г.І8)

/ » '

j

Ѵ -™

А - а

’+а ' ;

Ѳ = ~ д /> + Ѳ * ( < - п г ) ~ * .

Бдѳсь

Ѳ -

первый инвариант тензора финишных напряжений;

ß f -

коэффициент объемного ожатия твердой фавы (постоянная

Для жидкооти справедливо

а; - А ( Р - Р о ) ,

( I .I9 )

т

у гг*.

l / . - U £ +1/£

Ѵ Г і-и Г і

у иг.

р,= ро + р ;

ъ - ъ + ъ ,

е

где т о » m

' ,

р 0 »

р [ . . . .а

величины Иі

, А

—

одно­

го порядка или еще более малые величины по сравнению с

6/t- ,

.

Подставим выражения (I .I8 )

и (I .I9 ) в

уравнения непрерыв­

ности (І.ІО )

и

( І .І 2 ) .

Пренебрегая величинами второго

порядка

малости и величиной ß

,

ччо для ѳстѳотвѳнпых грун­

тов и горных пород практически всегда возможно,

получим урав­

нения нѳразрывнооти для твердой и жидкой фаз:

л /

я

g £

У f *

р/ OZ

(<~ТГго ) а х . ;

( 1.20)

а t

<9 m

аит,.

a t

а х

’

где

'г, -

коэффициент вязкости жадкооти;

а с

X, и -

);

х 0

-

проницаемость

среды в начальном состоянии.

Суммируя

равнения

в

(.1.21), получим уравнение

движения

всей

среды в

целом:

ага,-

а

Ку

О.

(1.22)

a t

а X ,

Будем предполагать,

что деформации скелета пористой срѳ-

ды

можно разбить на два слагаемых:

/

/•

/

/a £ t

aéj \

f

&іГ

6Ч * 6 < / ;

г * і ' ’

где

S£ . - деформация,

обусловленная действием фиктивных на­

пряжений

G...

, т .ѳ . взаимными смещениями

частиц и их сжатием

из-за контактных сил;

<5^.- деформация,вызываемая давлением

в жидкой фазе;

~ смещение

скелета

орѳды (

).

Предположим, что скелет среды является упругим,

гогда

фиктивные напряжения в изотропной пористой среде оказываются

связанными с полными деформациями согласно обобщенному закон;

Гука:

б £

- ( ' - ” > )(*, *

+г л * е ѵ ) *‘

(1.23)

+ éJ3 ,

где

(1 - т в)

-At

и (I

-

т 0)

-

первый и второй коэф­

фициенты Ламэ; (I - т 0)

z

= A f

(I - т ,)

+ 2.^(1 - т ѵ)/Ъ -

«?О;

&6

(1.24)

так как

âa:i

~

â i

Система уравнений (1 .20),

(1 .23),

(1.24) будет замкнута,если

дополнить ее уравнениями

совместности деформаций <5,у Сен-

Вѳнана.

Полученная система уравнений полностью описывает движе­

ние двухфазной среды.

А

и Лл характеризуют

Можно показать, что параметры

переупаковку частиц.

Соотношение ß ,

X

является механической

ких" горных пород j3f x<Li. Чем ближе f i y

* к единице, тег

труднее происходит переупаковка частиц,

тем жестче они связа­

ны друг

с другом. Пористая

среда, для

которой выполняется

услови '

f i X (I - т ) = I ,

называется

идеально сцементирован­

ных породах (глубинных) соотношение f i x

обычно не выше 0,5.'

Рассмотрим распространение бегущих волн в предполагаемой

модели пористой среды.

и жидкости S по­

Введем для смещений твердой ерьды

^

тенциалы продольного смещения соответственно

,Уг и в0КТОР”

ныѳ потенциалы поперечного сдвига

^

, такие, что

После

подстановки

выражений (1.25) в систему уравнений

(1.20), (1

.23), (1.24)

можно получить следующие уравнения, ре­

-Л’Ц І - £, " .

і ' У *

= ° ;

Гp °

—р 0-£-%л-— £ АП .

\ a t

a t

/_

я 2

^

rt

■'•

(1 .27)

f t

эa іt г2

jf ~Tz aT t *

a 0 '

ГДѲ

f * a t * *

° (

• ) ( a i

a t

/

•

(1.28)

r = (O t, + 2 Лл ) ~ '.

Уравнения (1.26) описывают распространение

в пористой

среде продольных волн, а уравнения (1.27) - распространение

поперечных волн.

Распространение продольных волн в наоыщѳнной пористой

среде. Ограничимся рассмотрение»« плоских волн. Исходя из это­

го,

решения

системы (1.26)

ищем в виде

y~ A e x p i(co t-A p x ) ;

У >~Вехр i(eü â -A ■х ); р = Р е х р с ( a t

Арх )

.

результате

подстановки

решений (1.29)

(1.29)

в систему (1.26)

можно получить систему однородных уравнений

относительно А ,

В ,

Р . Приравнивая определитель данной системы нулю,

полу­

чаем дисперсионное

уравнение:

•

V

г

(*-

л

' аг )]+

f *

, - f

Л ,

Г

*

f

' f z

» f

г

- Г * Г '7, (1.30)

где

( x ’ r '

t ,

f

2°*” <,);

Ло /

;

^ =

-а-

а

и)

Y

s f

'

2

(*> r >ß

t f * ,

(

x f t , J h ,ß f

7 f i

i rne ) i

Ту ( * , f t ,

f z t f t f f z

t m o).

Параметр*; определяет фильтрационные овойства среды. Выра­

жения для функций

Q ,, <?г ,

t?/t

R 2

можно найти в работе / з /

Дисперсионное уравнение (1.30; позволяет найти связь

между частотой колебаний в продольной волне и скоростью ее

распространения в изотропных однородных пористых (двухфазных)

средах.

Для большинства

осадочных пород

(включая грунты)

величи­

ны

ииѳют порядок един :цы, тогда как величи­

на

• Причем,

чем меньше

уплотнена

порода,

тем

Для "мягких"

сред уЗ^гг

«

/

,

, поэтому ь урав­

нении (1.30) можно пренебречь величинами

и у 3, ^ ' ^

по сравнению с единицей.

Г результате

этого (1.30)

примет

вид

( І .з і )

Корни уравнения ( І .З І ) ,

определяющие волновые

числа про­

дольных плоских волн, находятся

из

следующих выражений:

т ~ J J

т

~£Ң ~"f^

І,32)

После вычисления радикала

получим

Рассмотрим волны первого рода,

которым соответствует

вѳрх-

ни.. знак в (1.32).

-

„

„

„

Л *, &ха, ,

Л * '- *£ Г

Г

у + і

Вычисляя радикал в правой части этого выражения, можно полу­

чить для волны, бегущей в

положительном направлении оси гс

,

K-\lf-wm 7(\IWx:

*х.

,

(I. ,„

- 1Ѵ/(к;

где использовано неравенство Л ^> /Р ,

(так как/>+> уз> ).

В частном случае приу?, - />z

,

JPy

= J?z

волны первого

рода незатухающие.

Для волн первого рода

можно записать

/га

Л а Т > о ,

( Л . )

*= J -

- I

.

(1.35)

I

'и )

с о>

На основании

(1.34)

и (1.30)

можно получить

І

Л

Л

\

4 +

'

( І .Зб)

где

Cf

~ VF |/(

у + ъ*

/

У*КЯ

j 3 = ( s

~

m

,

) A

; /

>о = ( / - т ) А ° + гпо / >* ■

величина f = соуз а 0

О

, тогда

в пределе при ^ •

С( . І

(а А )

В случае очень больших частот или же при малом фильтра­

ционном сопротивлении

среды (

£

- —=) получено следующее

предельное значение скорости

волны:

%

(1.38)

V yF p i,

Гос. г

где

i

m

s>~ A ‘

vy

Величина

затухания

°^C1) и скорость

с0) очень сильно за-

виоят от фильтрационных свойств пористой

среды (^ ).Эт6 показав

на рис. 2, где

у /(0 -ы .9м Ц & - '

КГ (А А У '

В олучае

водонасыщенных грунтов для

сейсмических частот

ос пропорционален квадрату частоты:

а .щ

(')

2

и

R . )

А^сог

*

= Ш

. / / _ j S )

где

Я .

~

Р-

Яг

Р 0

рода необходимо в

(1.33)

Для рассмотрения волн

второго

предыдущим, можно

получить выракг іше для скорости

распростра­

нения волн второго

рода:

.

( ! - - £ ■ Р , ) /г -

частот“ і

\*А

(')

УГГ\ Ѵ + г

1 г

(? ^ j)V f £ 7

'-(i

При

C —

^

, при £

<*0)

(1.42)

i

при

^ -* -0

Ы ( і Г 0 ,

при

/

S y ß [ f -

Л S~ ~

„

\lV*

f ( 2

R 2- 3 /? ,)] 'A

Вависимость

ос(/;

от параметра Л» С'представлена

на

рис.

3 ,а ,

где

ѴѴ

г (Г А )"'

СсА

■

18

V«, =<<#■'

с (II