
книги из ГПНТБ / Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие]
.pdfВ общем случае теоретическое исследование распростране ния волн в неоднородной среде сводится к интегрированию вол нового уравнения с переменными коэффициентами, что прѳдотавляѳт задачу большой ыатѳматичеокой трудности. В случае слабо неоднородной среды, когда параметры, входящие в волновое урав нение, мало отклоняются от своих средних значений, задача мо жет быть решена довольно просто с помощью метода малых возму щений.
Допустим, плотность и скорость звука мало отклоняются от средних значений j°e и г? :
у » = /» -г * .* /» ; ■ c ~ c 0 + A o t |
(У.І4) |
||
где |
с о |
|
|
/ о |
|
|
|
В нулевом приближении |
решением уравнения |
(У.13), которое |
|
является первичной волной, |
считаем |
плоскую волну: |
|
- і (cot-xrx) |
|
|
|
Рв = * , е |
. |
|
(У*15) |
Подставляем (У .15) в |
уравнение |
(У .13), в |
результате чего |
для первого приближения Pf , соответствующего вторичной рас сеянной волне, получаем уравнение
|
|
|
4 С |
|
|
i |
|
|
|
|
|
C t |
о>І* |
VP, = 2 'ё Г |
J t * |
|
v ( a /> ) v p e |
|
|
(У .І6) |
|||
' S> |
|
|
|
|
|||||||
|
(Цуимарное действие волн, рассеянных объемом |
V |
, |
опрѳдѳ- |
|||||||
|
|
|
неоднородного уравнения (У.16), которое имеет |
||||||||
еждующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Po |
0 * ] ' |
|
|
|
|
(У.Г7) |
|
где |
-z= |
|
|
|
|
- расстояние |
от |
точки на |
|||
блюдения |
{ х , |
у , 2 ) до |
рассеивающего |
элемента ( f |
, |
£ |
, £•); |
||||
Ar « - f r - |
- |
волновое |
чиоло в |
среде |
с усредненными характерис |
||||||
тиками.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый член в скобках |
в |
выражении |
(У .17) определяет рас |
|||||||
сеяние на флуктуации скорости, второй - |
на флуктуации |
плот- |
120
нооти. Содержащиеся в выражении (У.І7) флуктуации скорости а с и плотности А /> являются случайными функциями координат.
Переход к регулярным функциям осуществляется путем возведения
в квадрат выражения (У .17) |
и его |
статистического усреднения. |
||||
При атом необходимо выразить флуктуации А с |
и А /> |
через |
||||
флуктуации |
параметров среды, |
определяющие эти |
величины (в дан |
|||
ном случае |
температуры среды |
Т |
) с помощью соответствующего |
|||
коэффициента корреляции В |
( г ) , |
который находится |
эксперимен |
тально или задается как некоторая функция. Так, например, для случая жидкой среды, статистические свойства которой изотроп ны, ч . в . В ( г ) зависит только от модуля % , можно получить следующую формулу рассеяния:
I Р<Г= |
Ѵя ф ] Г ~О/ В (* ) sCn (К г ) |
z |
d z у |
(У.І8) |
|
||
где уѴ= а п * = - ^ - ( g j? ) |
* Г |
- отклонение показателя пре- |
|
||||
ломлѳния |
р |
от |
среднего |
значения; |
|
г - |
|
коэффициент корреляции для флуктуации температуры, зависящий |
|
||||||
только от относительных координат; |
г |
- радиус-вектор рассеи |
|||||
вающей точки; К — 2 к s i n |
|
іг - угол рассеяния. |
|
||||
С помощью этой формулы в |
работе Г Ъ І ] получены выражения |
|
|||||
для рассеяния в случае мелкомасштабной флуктуации |
{ к а « і |
) |
|||||
и в случае крупномасштабной флуктуации |
( к а » і |
) . Из этих |
|
||||
формул можно сделать вывод, что мелкомасштабные флуктуации |
|
||||||
создают |
изотропное рассеяние, |
тогда |
как в случае |
крупномао- |
' |
штабных флуктуаций раосеяниѳ имеет резконаправленный характер, при котором главная часть рассеянной мощности будет сосредото чена в пределах малого телесного угла i f ~ і / к а .
Важнейшей характеристикой любой неоднородной среды явяяѳтоя коэффициент рассеяния, который определяет ослабление энергии в неоднородной среде. Так, например, коэффициент рас
сеяния в случае неоднородного олоя толщины |
L |
опреде- |
|||||
литоя следующим .образом: |
|
|
|
|
|||
|
|
, |
_ |
А І |
’ |
|
(У.©) |
|
|
|
|
I L |
|
||
где А I |
- |
Ослабление |
потока |
энергии при. ппехождонии волной |
|||
слоя; / |
- |
поток энергии |
через |
грань куба со |
стороной L . |
121
|
Величины |
I и / i f |
определяются следующий образом: |
||||||
|
|
|
|
А |
і |
|
|
|
(У.20) |
|
|
|
A l ^ J Z Ф \Р ,\2d s \ |
|
|
|
|
||
где |
j b |
- коэффициент |
пропорциональности; |
L |
- |
сторона куба;« |
|||
А д - |
амплитуда падающей волны. |
|
|
S |
|
|
|||
|
Интеграл берется по поверхности |
сферы |
радиуса^ . |
||||||
|
В случае изотропной среди, у котгрой коэффициент корре |
||||||||
ляции зависит только от |
модуля |
х , |
подставив |
в выражения |
|||||
(У. 19) и (У.20) значения для |
І^ /І |
7 |
|
|
получить |
||||
следующую формулу для коэффициента рассеяния: |
|
|
|||||||
|
|
оСр = 2 |
лГ*Кг / |
[ / - с м ( 2 к г ) ] в ( г ) с ( г . |
(У.2І) |
||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
В |
частном |
случао, |
полагая |
B (x )= ~ Q ^a ( |
|
получим: |
. = а Я * к * а л
Рі+Чкго*
В случае мелкомасштабных неоднородностей ( /га с< і ) эта формула примет вид
т .ѳ . коэффициент рассеяния пропорционален четвертой степени
частоты (релеѳвская зависимость). |
|
К а » і ) |
|
В случае крупномасштабных неоднородностей ( |
|||
|
Ы.р = 2 л Г * к г а , |
|
|
т .е . коэффициент |
рассеяния раотст пропорционально |
квадрату |
|
частоты подобно |
коэффициенту вязкого |
поглощения. |
|
флуктуации |
амплитуды и Фазы волн, |
распространяющихся в |
|
неоднородных средах. Как уже говорилось, в среде |
со случай |
ными неоднородностями в связи с флуктуациями параметров сре ды, в результате которых происходит случайное наложение рас сеянных волн на первичную волну, наблюдается флуктуация ха рактеристик волнового поля. Рассмотрим вывод форѵулы флукту аций амплитуды и фазы методом малых возмущений. Пусть из од-
122
неродного полупространства ( х ^ о |
) |
проходит плоская волна |
|||
Р |
в неоднородное |
полупространство |
( х |
||
|
|
|
/ (/* |
—І |
|
|
|
Р .= Л о е * л- А о е |
|
|
|
|
Поле, принимаемое приемником в |
неоднородном полупростран |
|||
стве |
в точке |
X |
состоящее |
из |
рассеянных на неоднород |
ностях волн, |
будем |
описывать функцией |
Ъ - А , е і9'.
Согласно выражению (У .17) |
первое приближение Pf |
можно |
ааписать |
|
|
p< = Is^ t J — ~ - ^ N |
( S ’ ' i ' V d v ' |
(у-22> |
где х - расстояние от рассеиваю щего объема d w координатами
^^ до точки наблюдения
(дг , у , г ); |
N |
- |
случайная функ |
|
|||
ция коэффициента преломления |
|
|
|||||
Интегрирование в (У.22) нѳ“’- |
|
||||||
обходимо производить |
по той час |
|
|||||
ти пространства |
V |
, |
из которого |
|
|||
в точку наблюдения приходят рас |
|
||||||
сеянные волны. |
|
|
|
|
Рио. 36. Смещение луча от |
||
В |
результате |
наложения |
пер |
||||
вичной волны |
ро и рассеянных |
первоначального направле |
|||||
ния в случайно неоднород |
|||||||
волн р( |
приемник |
принимает |
сиг |
ной среде |
|||
нал, соответствующий |
полному |
полю р : |
|||||
|
|
р |
- л е |
ГУ |
с у |
ж ІУ. |
|
|
|
= А с е |
|
||||
которое |
можно переписать следующим образом: |
А
Член А .
А
|
Л |
|
(У.23) |
‘ (у ,- *.) |
|
|
|
является |
комплексной величиной: |
|
|
А , |
І ( * ,- * .) |
Х + і У |
(У.24) |
А . |
|
|
|
123
и на основании (У.22) записываемся следующий образом:
j l r J V - V |
л - Ѵ |
е ‘ * ^ г <Х * Л ({ ,? £ ) d Y . (У.25) |
|
А ° е |
~ 2*1 |
||
|
Так как амплитуда рассеянных волн А ( мала по сравнению с амплитудой первичных волн А о , выполняются следующие соот ношения:
|
« |
у ; |
|
где |
А - А 0 ; |
д У = У - |
У0 . |
|
Разлагая левую часть уравнен.,я |
(У.23) по степеням малых |
флуктуаций на основании только что сделанных предположений и
ограничиваясь |
старшими членами, |
получим |
|
|
|||
|
|
|
|
- -& i S У = х + L У. |
|
|
|
|
|
|
|
А 0 |
|
|
|
Приравнивая по отдельности действительные и мнимые части |
|||||||
в атом выражении и выражая X |
и У с помощью формул |
(У.24) |
|||||
и (У.25), |
получим для флуктуаций амплитуды S'А и фазы S y |
||||||
следующие формулы: |
|
|
|
|
|||
^ У = іж ~ I |
Т sin K ['t - ( Х ~ ? )] М (1 |
£ |
(У,26> |
||||
|
|
|
|
|
|
t . V d V , |
(У.27) |
в которых аргумент |
[ ъ — ( х - |
f ) ] |
определяет |
разность |
|||
хода в точке приема (д :, у , з ) |
между волной, рассеянной эле |
||||||
ментом ( f |
, t |
, |
f |
) , и первичной волной. |
Причем эта |
разность |
|
хода обращается в нуль, если рассеивающий элемент лежит на |
прямой, проходящей че;ез точку наблюдения параллельно осимг .
Однако полученные выражения (У.26) |
и (У.27) ограничены усло |
||
виями малых флуктуаций S |
У и S A |
по сравнению с параметрами |
|
прямой волны |
Ув и А е . |
Но с увеличением дистанции флуктуа |
|
ции растут, |
таким образом, выражения (У.26) и (У.27) ограни |
||
чены малыми |
дистанциями. |
|
|
124
Более общие выражения для флуктуаций фагы и амплитуды, справедливые при любой дистанции, были получены Рытовым
/3 1 , ЗВ/:
|
f - £ s £ n x [ z - ( x - t ) ] M |
d Y ; |
(У.28) |
||||
/? = |
еп ^ 1 = ~ J C O S |
x [ z - ( x - } ) ] N d |
V , |
( у*29) |
|||
где ф - |
флуктуация фазы; |
R - |
флуктуация уровня. |
|
|||
Выражения (У.28) и (У.29) справедливы при условии малого |
|||||||
изменения уровня на длине |
волны |
J |
- \ v |
Л 0 |
1 |
, т .е . |
|
малости рассеяния на длине волны, |
К |
' |
|
||||
и условии |
малого изменения |
||||||
на длине |
волны флуктуации фазы |
|
| |
, |
что |
означает |
малость угла отклонения луча от первоначального направления.
Условие малости рассеяния |
на длине волны всегда выполняется |
в слабонеоднородной среде |
( \ / / | -* < /). Условие малости угла |
отклонения луча выполняется для крупномасштабных неоднород ностей, которые создают резко направленное рассеяние. Для мелкомасштабных неоднородностей, которые создают изотропное рассеяние, это условие выполняется лишь, если амплитуда рас сеянных волн мала по сравнению с амплитудой падающей волны. Причем в случав малых флуктуаций выражения (У.28) и (У.29) автоматически переходят в формулы (У.26) и (У.27).
Выражения (У.26) + (У.29) позволяют определить флуктуа ции амплитуды и фазы для случая отдельной реализации. Однако ‘ можно получить выражения для статистических оценок флуктуации амплитуды и фазы в зависимости от статистически^ характерис тик флуктуации параметров среды. Так, в случае крупномасштаб ных неоднородностей ( На » / ), в котором можно пренебречь отражением волны и ограничить область интегрирования в форму
лах (У.28), (У.29) слоем, |
лежащим перед |
приемником |
и заклю |
ченным между плес-остями |
f = 0 и |
в р аб о те |
/Зі/бы ли |
получены общие выражения для флуктуаций фазы и амплитуды, в случае больших дистанций ( / » e r )
Ф 2= /Т * L ' f Ы ? [В {? ' 0 ,0 )- fS c c B(z)dsJ; (у-3°)
125
|
|
|
'О |
|
o OÖ |
|
|
|
|
|
f |
df[B(}, 0,0)+JSiS B(z'jctsjf |
(У.ЗІ) |
||
. t |
= |
/ |
|
(приемник находится в |
/ |
О , О ); |
|
где L |
к L, |
|
точке ( L , |
||||
& = - £ 7 |
|
; |
Р |
- |
радиус-вектор полярных координат |
|
|
7А |
£ |
2 |
г |
; |
ß t ë - интегральный |
синус. |
|
f>*= |
у- |
f |
|
Выражения для |
ф г и /? г |
существенно зависят |
от |
так наА |
аываемого волнового |
параметра |
^ß//<cf3t определяемого от |
||
ношением размеров зоны Френеля |
и масштабу неоднородностей. |
|||
Так, в случае |
больших значений параметра d » |
/ |
(диф |
ракция Фраунгофера) средние квадраты флуктуаций уровня и фазы одинаковы и растут пропорциональнэ дистанции. В случае же ма лых значений волнового параметра ( d « і ) средний квадрат флуктуации фазы растет пропорционально дистанции, как и в предыдущем случае, а средний квадрат флуктуации интенсивности R* пропорционален кубу дистанции, как в случае лучевого при ближения. Различную зависимость среднего квадрата уровня от дистанции в области малых и больших значений волнового пара метра можно объяснить тем,что в первом случае размеры зоны Френеля малы по сравнению с масштабом неоднородностеЙ.Откдонѳниѳ показателя преломления /У от среднего значения в преде лах зоны имеет один и тот же знак,поэтому все волны,рассеянные различными элементами первой зоны, приходят в точку наблюде
ния^ фазе, |
и флуктуации быстро |
растут |
с увеличением дистанции |
|
( R * ~~ L 3 |
) . |
Во втором случае |
( л ' » |
у ) размеры зоны Фре-^ |
неля велики |
по |
сравнению с масштабом неоднородностей, отклоне |
ния показателя преломления от среднего значения в различных точках зоны имеют различные знаки, поэтому не все элементар ные волны приходят в точку наблюдения в одной фазе. Происхо дит их частичная компенсация, в результате чего флуктуации
сдистанцией растут медленнее (
Впромежуточной области значений волнового параметра d
в случае задания определенного вида корреляционной функции
—^ У
в = |
е |
° |
были получены/31 ] следующие выражения для флуктуаций фазы и уровня:
126
ф 2= - ^ ~ М г К * а гЬ (і* - |
e r e c t e d ) ; |
(У.32) |
R * = }! f N i t c * a L ( i - - § - a t e £ y d ) . |
(У.ЗЗ) |
Корреляция флуктуаций параметров. Квадраты флуктуаций уровня и фазы не дают еще полной характеристики статистиче ских свойств волнового поля. Более полно статистические свой ства флуктуаций волнового поля можно охарактеризовать с по мощью коррелятивных функций, определяющих корреляцию между флуктуациями уровня и фазы в точке приема, а также автокорре ляцию флуктуаций уровня и фазы.
Корреляционная функция /? ф флуктуаций уровня и фазы в точке приема в случае статистически изотропной среды опреде ляется следующим образом:
R < p — - N * L ' f d $ J C i 6 ß C ^ ' ) d & , |
(у.з4) |
||||||||||
/> г |
\ |
|
- |
интегральный |
косинус. |
|
|
||||
где & = ^ Т Г |
|
|
|
||||||||
•Если N |
(?■')= е ~ |
* о - ф о р м у л а |
(У.34-) |
перепишется |
|||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Р Ф = ^ г - М гк 3сх.3 е п .( і +<£г) . |
(У.35) |
||||||||
Коэффициент корреляции флуктуации уровня и фазы опреде |
|||||||||||
лится |
|
|
|
|
|
___ |
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
Х Ф |
|
|
|
|
|
|
|
* ф |
|
V |
F W |
|
|
|
|
|
|
На основании выражений (У.32), |
|
(У.ЗЗ), (У.35) получим |
|||||||||
|
д* +_* |
Jг_ _ |
|
— |
%с1)*) |
|
|
|
|||
|
ЧЫt r z *J-(Jогс. |
|
(У.36) |
||||||||
На малых дистанциях |
( |
|
|
где |
можно |
пользоваться |
|||||
лучевым методом, |
В ^ ф = |
|
|
|
|
, т .ѳ . корреляция |
на |
||||
этих дистанциях существует. |
На больших дистанциях { d |
» i ) |
|||||||||
мится к нулю. |
’ |
т *ѳ* |
|
к°РРеля«ия на |
больших дистанциях стре |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
Автокорреляцию флуктуаций уровня или фазы можно рассмат ривать в двух случаях:
1. Два приемника располагаются вдоль прямой распростране
ния в точках |
с |
координатами |
0 |
, 0 |
) ' и |
( L ', 0 , 0 ) - папдоль- |
|||||
ная автокорреляция. |
|
|
|
|
х = |
L |
|
|
|||
2. Оба приемника лежат в плоскости |
на расстоянии^ |
||||||||||
друг от друга в точках (Л , 0 , 0 ) |
и |
(Л , |
О , |
О) |
- автокорреля |
||||||
ция поперечная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для автокорреляций в первом случае можно указать следую |
|||||||||||
щие закономерности. На расстоянии л |
L порядка |
радиуса |
кор |
||||||||
реляции |
о. |
показателя преломления как флуктуации уровня Я) R2 , |
|||||||||
так и Флуктуации фазы <56 Фх полностью коррелированы. С |
ростом |
||||||||||
л L коэффициенты автокорреляции Вя ~ |
|
; |
вф= |
> |
|||||||
( Вя = В ^= |
Л л ь р |
) убывают. |
Расстояние |
|
между прием |
||||||
никами, на которой: коэффициент корреляции уменьшается вдвое, |
|||||||||||
определяется |
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
к а |
|
|
|
|
|
|
(У.37) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопоставляя это выражение с выражением для волнового па |
|||||||||||
раметра |
d = |
^ |
. , |
можно сделать |
вывод о том, |
что продольная |
|||||
|
|
к а * |
|
|
|
|
|
|
|
|
автокорреляция уровней или фаз простирается на расстояние, в пределах которого пригодно лучевое рассмотрение. Это расстоя ние во много раз превышает радиус корреляции в среде.
Коэффициенты автокорреляций и Вф в случае попереч ной корреляции уровней и фаз определяются довольно громоздки
ми выражениями и зависят |
лишь от трех безразмерных параметров: |
|||
, d , k a . |
Коэффициент |
автокорреляции Вф в |
случае, |
когда |
>> / , |
, для |
флуктуаций фазы имеет |
Гауссов |
вид и |
совпадает с коэффициентом корреляций для флуктуаций показате
ля преломления |
|
. |
|
|
|
|
е |
|
|
я Ф = - < ? |
|
аЯ . |
|
(У.38) |
Вид коэффициента автокорреляции Вк |
для уровней |
отли |
||
чается от Гауссова распределения. |
|
|
||
В - е ° г[ і - 2 |
+ |
( £ ) * ] |
■ |
(У-39) |
128
Однако корреляция между флуктуациями уровня простирается на расстояние того же порядка, что и корреляция между флуктуа циями показателя преломления.
В случае d » / поперечная автокорреляция между флуктуа циями уровня и фазы также простирается на расстояние порядка радиуса корреляции неоднородностей в среде. (Ложно предполагать, что эта закономерность справедлива и для промежуточных значе ний волнового параметра d .
Проведенные экспериментальные исследования статистических овойств жидких и газообразных сред со случайными неоднороднос тями дали удовлетворительное совпадение результатов расчета и эксперимента, причем наиболее хорошее совпадение с эксперимен том дают результаты дифракционной теории.
§ 2. Распространение волн в твердой среде со случайными неоднородностями
Как видно из вышеизложенного, вопрос распространения волн в жидких к газообразных средах со случайными неоднород ностями довольно подробно исследован. В частности, особенно полно решена первая задача - определение характеристик поля по статистическим характеристикам неоднородной среды.- Проблема исследования распространения упругих волн в твердых средах со случайными неоднородностями значительно сложнее, что объясняется наличием в твердой среде двух независимых типов волн, а также значительно более сложной связью между парамет рами среды и характеристиками волновых полей. В связи с этим
теория распространения упругих волн в статистически неоднород ных средах только развивается, и в данное время исследованы некоторые частные вопросы, на которых мы остановимся ниже.
Сейсмическая "мутность" массива. Как уже было сказано, случайные неоднородности среды, которыми в общем случае могут быть отклонения параметров от своих средних значений, изменя ют форму распространяющейся в среде волны, модулируют парамет ры формы сигнала в широком смысле этого значения. Изменяя фор му сигнала, с^твда тем самым передает в сигнал информацию о своих упругих свойствах. Пр:-. этом поле акустических парамѳт-
129