книги из ГПНТБ / Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие]

В общем случае теоретическое исследование распростране­ ния волн в неоднородной среде сводится к интегрированию вол­ нового уравнения с переменными коэффициентами, что прѳдотавляѳт задачу большой ыатѳматичеокой трудности. В случае слабо неоднородной среды, когда параметры, входящие в волновое урав­ нение, мало отклоняются от своих средних значений, задача мо­ жет быть решена довольно просто с помощью метода малых возму­ щений.

Допустим, плотность и скорость звука мало отклоняются от средних значений j°e и г? :

для первого приближения Pf , соответствующего вторичной рас­ сеянной волне, получаем уравнение

120

нооти. Содержащиеся в выражении (У.І7) флуктуации скорости а с и плотности А /> являются случайными функциями координат.

Переход к регулярным функциям осуществляется путем возведения

тально или задается как некоторая функция. Так, например, для случая жидкой среды, статистические свойства которой изотроп­ ны, ч . в . В ( г ) зависит только от модуля % , можно получить следующую формулу рассеяния:

штабных флуктуаций раосеяниѳ имеет резконаправленный характер, при котором главная часть рассеянной мощности будет сосредото­ чена в пределах малого телесного угла i f ~ і / к а .

Важнейшей характеристикой любой неоднородной среды явяяѳтоя коэффициент рассеяния, который определяет ослабление энергии в неоднородной среде. Так, например, коэффициент рас­

121

. = а Я * к * а л

Рі+Чкго*

В случае мелкомасштабных неоднородностей ( /га с< і ) эта формула примет вид

т .ѳ . коэффициент рассеяния пропорционален четвертой степени

ными неоднородностями в связи с флуктуациями параметров сре­ ды, в результате которых происходит случайное наложение рас­ сеянных волн на первичную волну, наблюдается флуктуация ха­ рактеристик волнового поля. Рассмотрим вывод форѵулы флукту­ аций амплитуды и фазы методом малых возмущений. Пусть из од-

122

Ъ - А , е і9'.

где х - расстояние от рассеиваю­ щего объема d w координатами

^^ до точки наблюдения

123

и на основании (У.22) записываемся следующий образом:

Так как амплитуда рассеянных волн А ( мала по сравнению с амплитудой первичных волн А о , выполняются следующие соот­ ношения:

флуктуаций на основании только что сделанных предположений и

прямой, проходящей че;ез точку наблюдения параллельно осимг .

124

Более общие выражения для флуктуаций фагы и амплитуды, справедливые при любой дистанции, были получены Рытовым

/3 1 , ЗВ/:

малость угла отклонения луча от первоначального направления.

отклонения луча выполняется для крупномасштабных неоднород­ ностей, которые создают резко направленное рассеяние. Для мелкомасштабных неоднородностей, которые создают изотропное рассеяние, это условие выполняется лишь, если амплитуда рас­ сеянных волн мала по сравнению с амплитудой падающей волны. Причем в случав малых флуктуаций выражения (У.28) и (У.29) автоматически переходят в формулы (У.26) и (У.27).

Выражения (У.26) + (У.29) позволяют определить флуктуа­ ции амплитуды и фазы для случая отдельной реализации. Однако ‘ можно получить выражения для статистических оценок флуктуации амплитуды и фазы в зависимости от статистически^ характерис­ тик флуктуации параметров среды. Так, в случае крупномасштаб­ ных неоднородностей ( На » / ), в котором можно пренебречь отражением волны и ограничить область интегрирования в форму­

получены общие выражения для флуктуаций фазы и амплитуды, в случае больших дистанций ( / » e r )

Ф 2= /Т * L ' f Ы ? [В {? ' 0 ,0 )- fS c c B(z)dsJ; (у-3°)

125

ракция Фраунгофера) средние квадраты флуктуаций уровня и фазы одинаковы и растут пропорциональнэ дистанции. В случае же ма­ лых значений волнового параметра ( d « і ) средний квадрат флуктуации фазы растет пропорционально дистанции, как и в предыдущем случае, а средний квадрат флуктуации интенсивности R* пропорционален кубу дистанции, как в случае лучевого при­ ближения. Различную зависимость среднего квадрата уровня от дистанции в области малых и больших значений волнового пара­ метра можно объяснить тем,что в первом случае размеры зоны Френеля малы по сравнению с масштабом неоднородностеЙ.Откдонѳниѳ показателя преломления /У от среднего значения в преде­ лах зоны имеет один и тот же знак,поэтому все волны,рассеянные различными элементами первой зоны, приходят в точку наблюде­

ния показателя преломления от среднего значения в различных точках зоны имеют различные знаки, поэтому не все элементар­ ные волны приходят в точку наблюдения в одной фазе. Происхо­ дит их частичная компенсация, в результате чего флуктуации

сдистанцией растут медленнее (

Впромежуточной области значений волнового параметра d

в случае задания определенного вида корреляционной функции

—^ У

были получены/31 ] следующие выражения для флуктуаций фазы и уровня:

126

Корреляция флуктуаций параметров. Квадраты флуктуаций уровня и фазы не дают еще полной характеристики статистиче­ ских свойств волнового поля. Более полно статистические свой­ ства флуктуаций волнового поля можно охарактеризовать с по­ мощью коррелятивных функций, определяющих корреляцию между флуктуациями уровня и фазы в точке приема, а также автокорре­ ляцию флуктуаций уровня и фазы.

Корреляционная функция /? ф флуктуаций уровня и фазы в точке приема в случае статистически изотропной среды опреде­ ляется следующим образом:

127

Автокорреляцию флуктуаций уровня или фазы можно рассмат­ ривать в двух случаях:

1. Два приемника располагаются вдоль прямой распростране­

автокорреляция уровней или фаз простирается на расстояние, в пределах которого пригодно лучевое рассмотрение. Это расстоя­ ние во много раз превышает радиус корреляции в среде.

Коэффициенты автокорреляций и Вф в случае попереч­ ной корреляции уровней и фаз определяются довольно громоздки­

совпадает с коэффициентом корреляций для флуктуаций показате­

128

Однако корреляция между флуктуациями уровня простирается на расстояние того же порядка, что и корреляция между флуктуа­ циями показателя преломления.

В случае d » / поперечная автокорреляция между флуктуа­ циями уровня и фазы также простирается на расстояние порядка радиуса корреляции неоднородностей в среде. (Ложно предполагать, что эта закономерность справедлива и для промежуточных значе­ ний волнового параметра d .

Проведенные экспериментальные исследования статистических овойств жидких и газообразных сред со случайными неоднороднос­ тями дали удовлетворительное совпадение результатов расчета и эксперимента, причем наиболее хорошее совпадение с эксперимен­ том дают результаты дифракционной теории.

§ 2. Распространение волн в твердой среде со случайными неоднородностями

Как видно из вышеизложенного, вопрос распространения волн в жидких к газообразных средах со случайными неоднород­ ностями довольно подробно исследован. В частности, особенно полно решена первая задача - определение характеристик поля по статистическим характеристикам неоднородной среды.- Проблема исследования распространения упругих волн в твердых средах со случайными неоднородностями значительно сложнее, что объясняется наличием в твердой среде двух независимых типов волн, а также значительно более сложной связью между парамет­ рами среды и характеристиками волновых полей. В связи с этим

теория распространения упругих волн в статистически неоднород­ ных средах только развивается, и в данное время исследованы некоторые частные вопросы, на которых мы остановимся ниже.

Сейсмическая "мутность" массива. Как уже было сказано, случайные неоднородности среды, которыми в общем случае могут быть отклонения параметров от своих средних значений, изменя­ ют форму распространяющейся в среде волны, модулируют парамет­ ры формы сигнала в широком смысле этого значения. Изменяя фор­ му сигнала, с^твда тем самым передает в сигнал информацию о своих упругих свойствах. Пр:-. этом поле акустических парамѳт-

129