Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие]

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
23.10.2023
Размер:
4.82 Mб
Скачать

В общем случае теоретическое исследование распростране­ ния волн в неоднородной среде сводится к интегрированию вол­ нового уравнения с переменными коэффициентами, что прѳдотавляѳт задачу большой ыатѳматичеокой трудности. В случае слабо неоднородной среды, когда параметры, входящие в волновое урав­ нение, мало отклоняются от своих средних значений, задача мо­ жет быть решена довольно просто с помощью метода малых возму­ щений.

Допустим, плотность и скорость звука мало отклоняются от средних значений j°e и г? :

у » = /» -г * .* /» ; ■ c ~ c 0 + A o t

(У.І4)

где

с о

 

 

/ о

 

 

В нулевом приближении

решением уравнения

(У.13), которое

является первичной волной,

считаем

плоскую волну:

- і (cot-xrx)

 

 

Рв = * , е

.

 

(У*15)

Подставляем (У .15) в

уравнение

(У .13), в

результате чего

для первого приближения Pf , соответствующего вторичной рас­ сеянной волне, получаем уравнение

 

 

 

4 С

 

 

i

 

 

 

 

 

C t

о>І*

VP, = 2 'ё Г

J t *

 

v ( a /> ) v p e

 

 

(У .І6)

' S>

 

 

 

 

 

(Цуимарное действие волн, рассеянных объемом

V

,

опрѳдѳ-

 

 

 

неоднородного уравнения (У.16), которое имеет

еждующий вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po

0 * ] '

 

 

 

 

(У.Г7)

где

-z=

 

 

 

 

- расстояние

от

точки на­

блюдения

{ х ,

у , 2 ) до

рассеивающего

элемента ( f

,

£

, £•);

Ar « - f r -

-

волновое

чиоло в

среде

с усредненными характерис­

тиками.0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первый член в скобках

в

выражении

(У .17) определяет рас­

сеяние на флуктуации скорости, второй -

на флуктуации

плот-

120

нооти. Содержащиеся в выражении (У.І7) флуктуации скорости а с и плотности А /> являются случайными функциями координат.

Переход к регулярным функциям осуществляется путем возведения

в квадрат выражения (У .17)

и его

статистического усреднения.

При атом необходимо выразить флуктуации А с

и А />

через

флуктуации

параметров среды,

определяющие эти

величины (в дан­

ном случае

температуры среды

Т

) с помощью соответствующего

коэффициента корреляции В

( г ) ,

который находится

эксперимен­

тально или задается как некоторая функция. Так, например, для случая жидкой среды, статистические свойства которой изотроп­ ны, ч . в . В ( г ) зависит только от модуля % , можно получить следующую формулу рассеяния:

I Р<Г=

Ѵя ф ] Г ~О/ В (* ) sCn (К г )

z

d z у

(У.І8)

 

где уѴ= а п * = - ^ - ( g j? )

* Г

- отклонение показателя пре-

 

ломлѳния

р

от

среднего

значения;

 

г -

коэффициент корреляции для флуктуации температуры, зависящий

 

только от относительных координат;

г

- радиус-вектор рассеи­

вающей точки; К — 2 к s i n

 

іг - угол рассеяния.

 

С помощью этой формулы в

работе Г Ъ І ] получены выражения

 

для рассеяния в случае мелкомасштабной флуктуации

{ к а « і

)

и в случае крупномасштабной флуктуации

( к а » і

) . Из этих

 

формул можно сделать вывод, что мелкомасштабные флуктуации

 

создают

изотропное рассеяние,

тогда

как в случае

крупномао-

'

штабных флуктуаций раосеяниѳ имеет резконаправленный характер, при котором главная часть рассеянной мощности будет сосредото­ чена в пределах малого телесного угла i f ~ і / к а .

Важнейшей характеристикой любой неоднородной среды явяяѳтоя коэффициент рассеяния, который определяет ослабление энергии в неоднородной среде. Так, например, коэффициент рас­

сеяния в случае неоднородного олоя толщины

L

опреде-

литоя следующим .образом:

 

 

 

 

 

 

,

_

А І

 

(У.©)

 

 

 

 

I L

 

где А I

-

Ослабление

потока

энергии при. ппехождонии волной

слоя; /

-

поток энергии

через

грань куба со

стороной L .

121

 

Величины

I и / i f

определяются следующий образом:

 

 

 

 

А

і

 

 

 

(У.20)

 

 

 

A l ^ J Z Ф \Р ,\2d s \

 

 

 

 

где

j b

- коэффициент

пропорциональности;

L

-

сторона куба;«

А д -

амплитуда падающей волны.

 

 

S

 

 

 

Интеграл берется по поверхности

сферы

радиуса^ .

 

В случае изотропной среди, у котгрой коэффициент корре­

ляции зависит только от

модуля

х ,

подставив

в выражения

(У. 19) и (У.20) значения для

І^ /І

7

 

 

получить

следующую формулу для коэффициента рассеяния:

 

 

 

 

оСр = 2

лГ*Кг /

[ / - с м ( 2 к г ) ] в ( г ) с ( г .

(У.2І)

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

В

частном

случао,

полагая

B (x )= ~ Q ^a (

 

получим:

. = а Я * к * а л

Рі+Чкго*

В случае мелкомасштабных неоднородностей ( /га с< і ) эта формула примет вид

т .ѳ . коэффициент рассеяния пропорционален четвертой степени

частоты (релеѳвская зависимость).

 

К а » і )

В случае крупномасштабных неоднородностей (

 

Ы.р = 2 л Г * к г а ,

 

 

т .е . коэффициент

рассеяния раотст пропорционально

квадрату

частоты подобно

коэффициенту вязкого

поглощения.

 

флуктуации

амплитуды и Фазы волн,

распространяющихся в

неоднородных средах. Как уже говорилось, в среде

со случай­

ными неоднородностями в связи с флуктуациями параметров сре­ ды, в результате которых происходит случайное наложение рас­ сеянных волн на первичную волну, наблюдается флуктуация ха­ рактеристик волнового поля. Рассмотрим вывод форѵулы флукту­ аций амплитуды и фазы методом малых возмущений. Пусть из од-

122

неродного полупространства ( х ^ о

)

проходит плоская волна

Р

в неоднородное

полупространство

( х

 

 

 

/ (/*

—І

 

 

 

Р .= Л о е * л- А о е

 

 

 

Поле, принимаемое приемником в

неоднородном полупростран­

стве

в точке

X

состоящее

из

рассеянных на неоднород­

ностях волн,

будем

описывать функцией

Ъ - А , е і9'.

Согласно выражению (У .17)

первое приближение Pf

можно

ааписать

 

 

p< = Is^ t J — ~ - ^ N

( S ’ ' i ' V d v '

(у-22>

где х - расстояние от рассеиваю­ щего объема d w координатами

^^ до точки наблюдения

(дг , у , г );

N

-

случайная функ­

 

ция коэффициента преломления

 

 

Интегрирование в (У.22) нѳ“’-

 

обходимо производить

по той час­

 

ти пространства

V

,

из которого

 

в точку наблюдения приходят рас­

 

сеянные волны.

 

 

 

 

Рио. 36. Смещение луча от

В

результате

наложения

пер­

вичной волны

ро и рассеянных

первоначального направле­

ния в случайно неоднород­

волн р(

приемник

принимает

сиг­

ной среде

нал, соответствующий

полному

полю р :

 

 

р

- л е

ГУ

с у

ж ІУ.

 

 

= А с е

 

которое

можно переписать следующим образом:

А

Член А .

А

 

Л

 

(У.23)

‘ (у ,- *.)

 

 

является

комплексной величиной:

 

А ,

І ( * ,- * .)

Х + і У

(У.24)

А .

 

 

 

123

и на основании (У.22) записываемся следующий образом:

j l r J V - V

л - Ѵ

е ‘ * ^ г <Х * Л ({ ,? £ ) d Y . (У.25)

А ° е

~ 2*1

 

Так как амплитуда рассеянных волн А ( мала по сравнению с амплитудой первичных волн А о , выполняются следующие соот­ ношения:

 

«

у ;

 

где

А - А 0 ;

д У = У -

У0 .

 

Разлагая левую часть уравнен.,я

(У.23) по степеням малых

флуктуаций на основании только что сделанных предположений и

ограничиваясь

старшими членами,

получим

 

 

 

 

 

 

- -& i S У = х + L У.

 

 

 

 

 

 

А 0

 

 

 

Приравнивая по отдельности действительные и мнимые части

в атом выражении и выражая X

и У с помощью формул

(У.24)

и (У.25),

получим для флуктуаций амплитуды S'А и фазы S y

следующие формулы:

 

 

 

 

^ У = іж ~ I

Т sin K ['t - ( Х ~ ? )] М (1

£

(У,26>

 

 

 

 

 

 

t . V d V ,

(У.27)

в которых аргумент

[ ъ — ( х -

f ) ]

определяет

разность

хода в точке приема (д :, у , з )

между волной, рассеянной эле­

ментом ( f

, t

,

f

) , и первичной волной.

Причем эта

разность

хода обращается в нуль, если рассеивающий элемент лежит на

прямой, проходящей че;ез точку наблюдения параллельно осимг .

Однако полученные выражения (У.26)

и (У.27) ограничены усло­

виями малых флуктуаций S

У и S A

по сравнению с параметрами

прямой волны

Ув и А е .

Но с увеличением дистанции флуктуа­

ции растут,

таким образом, выражения (У.26) и (У.27) ограни­

чены малыми

дистанциями.

 

 

124

Более общие выражения для флуктуаций фагы и амплитуды, справедливые при любой дистанции, были получены Рытовым

/3 1 , ЗВ/:

 

f - £ s £ n x [ z - ( x - t ) ] M

d Y ;

(У.28)

/? =

еп ^ 1 = ~ J C O S

x [ z - ( x - } ) ] N d

V ,

( у*29)

где ф -

флуктуация фазы;

R -

флуктуация уровня.

 

Выражения (У.28) и (У.29) справедливы при условии малого

изменения уровня на длине

волны

J

- \ v

Л 0

1

, т .е .

малости рассеяния на длине волны,

К

'

 

и условии

малого изменения

на длине

волны флуктуации фазы

 

|

,

что

означает

малость угла отклонения луча от первоначального направления.

Условие малости рассеяния

на длине волны всегда выполняется

в слабонеоднородной среде

( \ / / | -* < /). Условие малости угла

отклонения луча выполняется для крупномасштабных неоднород­ ностей, которые создают резко направленное рассеяние. Для мелкомасштабных неоднородностей, которые создают изотропное рассеяние, это условие выполняется лишь, если амплитуда рас­ сеянных волн мала по сравнению с амплитудой падающей волны. Причем в случав малых флуктуаций выражения (У.28) и (У.29) автоматически переходят в формулы (У.26) и (У.27).

Выражения (У.26) + (У.29) позволяют определить флуктуа­ ции амплитуды и фазы для случая отдельной реализации. Однако ‘ можно получить выражения для статистических оценок флуктуации амплитуды и фазы в зависимости от статистически^ характерис­ тик флуктуации параметров среды. Так, в случае крупномасштаб­ ных неоднородностей ( На » / ), в котором можно пренебречь отражением волны и ограничить область интегрирования в форму­

лах (У.28), (У.29) слоем,

лежащим перед

приемником

и заклю­

ченным между плес-остями

f = 0 и

в р аб о те

/Зі/бы ли

получены общие выражения для флуктуаций фазы и амплитуды, в случае больших дистанций ( / » e r )

Ф 2= /Т * L ' f Ы ? [В {? ' 0 ,0 )- fS c c B(z)dsJ; (у-3°)

125

 

 

 

'О

 

o

 

 

 

 

 

f

df[B(}, 0,0)+JSiS B(z'jctsjf

(У.ЗІ)

. t

=

/

 

(приемник находится в

/

О , О );

где L

к L,

 

точке ( L ,

& = - £ 7

 

;

Р

-

радиус-вектор полярных координат

 

7А

£

2

г

;

ß t ë - интегральный

синус.

 

f>*=

у-

f

 

Выражения для

ф г и /? г

существенно зависят

от

так наА

аываемого волнового

параметра

^ß//<cf3t определяемого от­

ношением размеров зоны Френеля

и масштабу неоднородностей.

Так, в случае

больших значений параметра d »

/

(диф­

ракция Фраунгофера) средние квадраты флуктуаций уровня и фазы одинаковы и растут пропорциональнэ дистанции. В случае же ма­ лых значений волнового параметра ( d « і ) средний квадрат флуктуации фазы растет пропорционально дистанции, как и в предыдущем случае, а средний квадрат флуктуации интенсивности R* пропорционален кубу дистанции, как в случае лучевого при­ ближения. Различную зависимость среднего квадрата уровня от дистанции в области малых и больших значений волнового пара­ метра можно объяснить тем,что в первом случае размеры зоны Френеля малы по сравнению с масштабом неоднородностеЙ.Откдонѳниѳ показателя преломления /У от среднего значения в преде­ лах зоны имеет один и тот же знак,поэтому все волны,рассеянные различными элементами первой зоны, приходят в точку наблюде­

ния^ фазе,

и флуктуации быстро

растут

с увеличением дистанции

( R * ~~ L 3

) .

Во втором случае

( л ' »

у ) размеры зоны Фре-^

неля велики

по

сравнению с масштабом неоднородностей, отклоне­

ния показателя преломления от среднего значения в различных точках зоны имеют различные знаки, поэтому не все элементар­ ные волны приходят в точку наблюдения в одной фазе. Происхо­ дит их частичная компенсация, в результате чего флуктуации

сдистанцией растут медленнее (

Впромежуточной области значений волнового параметра d

в случае задания определенного вида корреляционной функции

—^ У

в =

е

°

были получены/31 ] следующие выражения для флуктуаций фазы и уровня:

126

ф 2= - ^ ~ М г К * а гЬ (і* -

e r e c t e d ) ;

(У.32)

R * = }! f N i t c * a L ( i - - § - a t e £ y d ) .

(У.ЗЗ)

Корреляция флуктуаций параметров. Квадраты флуктуаций уровня и фазы не дают еще полной характеристики статистиче­ ских свойств волнового поля. Более полно статистические свой­ ства флуктуаций волнового поля можно охарактеризовать с по­ мощью коррелятивных функций, определяющих корреляцию между флуктуациями уровня и фазы в точке приема, а также автокорре­ ляцию флуктуаций уровня и фазы.

Корреляционная функция /? ф флуктуаций уровня и фазы в точке приема в случае статистически изотропной среды опреде­ ляется следующим образом:

R < p — - N * L ' f d $ J C i 6 ß C ^ ' ) d & ,

(у.з4)

/> г

\

 

-

интегральный

косинус.

 

 

где & = ^ Т Г

 

 

 

•Если N

(?■')= е ~

* о - ф о р м у л а

(У.34-)

перепишется

следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р Ф = ^ г - М гк 3сх.3 е п .( і +<£г) .

(У.35)

Коэффициент корреляции флуктуации уровня и фазы опреде­

лится

 

 

 

 

 

___

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

Х Ф

 

 

 

 

 

 

 

* ф

 

V

F W

 

 

 

 

 

На основании выражений (У.32),

 

(У.ЗЗ), (У.35) получим

 

д* +_*

Jг_ _

 

%с1)*)

 

 

 

 

ЧЫt r z *J-(Jогс.

 

(У.36)

На малых дистанциях

(

 

 

где

можно

пользоваться

лучевым методом,

В ^ ф =

 

 

 

 

, т .ѳ . корреляция

на

этих дистанциях существует.

На больших дистанциях { d

» i )

мится к нулю.

т *ѳ*

 

к°РРеля«ия на

больших дистанциях стре­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

127

Автокорреляцию флуктуаций уровня или фазы можно рассмат­ ривать в двух случаях:

1. Два приемника располагаются вдоль прямой распростране­

ния в точках

с

координатами

0

, 0

) ' и

( L ', 0 , 0 ) - папдоль-

ная автокорреляция.

 

 

 

 

х =

L

 

 

2. Оба приемника лежат в плоскости

на расстоянии^

друг от друга в точках (Л , 0 , 0 )

и

(Л ,

О ,

О)

- автокорреля­

ция поперечная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для автокорреляций в первом случае можно указать следую­

щие закономерности. На расстоянии л

L порядка

радиуса

кор­

реляции

о.

показателя преломления как флуктуации уровня Я) R2 ,

так и Флуктуации фазы <56 Фх полностью коррелированы. С

ростом

л L коэффициенты автокорреляции Вя ~

 

;

вф=

>

( Вя = В ^=

Л л ь р

) убывают.

Расстояние

 

между прием­

никами, на которой: коэффициент корреляции уменьшается вдвое,

определяется

следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к а

 

 

 

 

 

 

(У.37)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сопоставляя это выражение с выражением для волнового па­

раметра

d =

^

. ,

можно сделать

вывод о том,

что продольная

 

 

к а *

 

 

 

 

 

 

 

 

автокорреляция уровней или фаз простирается на расстояние, в пределах которого пригодно лучевое рассмотрение. Это расстоя­ ние во много раз превышает радиус корреляции в среде.

Коэффициенты автокорреляций и Вф в случае попереч­ ной корреляции уровней и фаз определяются довольно громоздки­

ми выражениями и зависят

лишь от трех безразмерных параметров:

, d , k a .

Коэффициент

автокорреляции Вф в

случае,

когда

>> / ,

, для

флуктуаций фазы имеет

Гауссов

вид и

совпадает с коэффициентом корреляций для флуктуаций показате­

ля преломления

 

.

 

 

 

 

е

 

 

я Ф = - < ?

 

аЯ .

 

(У.38)

Вид коэффициента автокорреляции Вк

для уровней

отли­

чается от Гауссова распределения.

 

 

В - е ° г[ і - 2

+

( £ ) * ]

(У-39)

128

Однако корреляция между флуктуациями уровня простирается на расстояние того же порядка, что и корреляция между флуктуа­ циями показателя преломления.

В случае d » / поперечная автокорреляция между флуктуа­ циями уровня и фазы также простирается на расстояние порядка радиуса корреляции неоднородностей в среде. (Ложно предполагать, что эта закономерность справедлива и для промежуточных значе­ ний волнового параметра d .

Проведенные экспериментальные исследования статистических овойств жидких и газообразных сред со случайными неоднороднос­ тями дали удовлетворительное совпадение результатов расчета и эксперимента, причем наиболее хорошее совпадение с эксперимен­ том дают результаты дифракционной теории.

§ 2. Распространение волн в твердой среде со случайными неоднородностями

Как видно из вышеизложенного, вопрос распространения волн в жидких к газообразных средах со случайными неоднород­ ностями довольно подробно исследован. В частности, особенно полно решена первая задача - определение характеристик поля по статистическим характеристикам неоднородной среды.- Проблема исследования распространения упругих волн в твердых средах со случайными неоднородностями значительно сложнее, что объясняется наличием в твердой среде двух независимых типов волн, а также значительно более сложной связью между парамет­ рами среды и характеристиками волновых полей. В связи с этим

теория распространения упругих волн в статистически неоднород­ ных средах только развивается, и в данное время исследованы некоторые частные вопросы, на которых мы остановимся ниже.

Сейсмическая "мутность" массива. Как уже было сказано, случайные неоднородности среды, которыми в общем случае могут быть отклонения параметров от своих средних значений, изменя­ ют форму распространяющейся в среде волны, модулируют парамет­ ры формы сигнала в широком смысле этого значения. Изменяя фор­ му сигнала, с^твда тем самым передает в сигнал информацию о своих упругих свойствах. Пр:-. этом поле акустических парамѳт-

129

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ