Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

		dwB	^	d*wg
Отсюда видно, что, действительно, выполнение					условий (5)	тре
бует	выполнения равенств
		^-еух^Улху	^-exz—Xezxt ^-eyz—Xezy-
Симметричность тензора				электрической восприимчивости		вле
чет	за	собой симметричность		тензора диэлектрической проницае
мости,		поскольку
о.	Эллипсоид энергии		тензора диэлектрической		проницаемости
		(эллипсоид Френеля)

Энергия электростатического поля в анизотропной среде в еди нице объема, учитывая симметричность тензора диэлектрической проницаемости, может быть представлена в виде

wa = 4 " E D = =	-^(ExDx+EyDy+EzDz)	=
= -£(вххЕ1+ууЕ+вггЕ1+2гхуЕхЕу+		(6)
+2вхгЕхЕг+2угЕуЕг)=іѵ.		(Ex,ErEz).
Из этого выражения видно, что уравнение
ws	(Ех,Еу,Еz)=const

представляет собой уравнение поверхности эллипсоида в простран

стве, координатами	точек которого являются составляющие векто
ра напряженности	поля Е r , Ev, E'z (рис. 3) . Этот эллипсоид наз-ы-

Рис. 3

веется эллипсоидом тензора диэлектрической проницаемости или эллипсоидом Френеля .

Из аналитической геометрии известно, что уравнение эллип соида принимает наиболее простой вид в прямоугольной системе координат, оси которого совпадают с осями эллипсоида. Точно

t f . K

же, по аналогии

нетрудно

видеть,

что существует прямоуголь

ная

система

координат

пространстве

Е ѵ, Еу,

Ег,

в которой

урав

нение эллипсоида принимает вид

(рис. 4),

£ l £ 2 - H 2 £ j ; + s 3 £ 2 = = c o n s t .

(7)

Величины

ei, 8 о , ез называются

главны

ми значениями

тензора

диэлектрической

проницаемости,

а направления

осей

на

зываются

главными направлениями

тен

зора

диэлектрической

проницаемости.

Физический

смысл

главных

значений

H главных

направлений

тензора

диэлек

трической

проницаемости

состоит

в том, что

если

направить

век

тор Ъ по какому-либо из главных направлений, причем оси коор

динат совпадают с последними, то		вектор	D оказывается	колли-
неарным с Е, т. е.
Dx=buZiEx,	Dy=s0e2Ey,	Dz=e0e3Ez.		(8)
Главные направления анизотропной среды, например				кристал
ла, определяются структурой кристалла .			Согласно изложенному

в кристалле имеются три главных направления и эти направления

взаимно перпендикулярны.

Если в какой-то фиксированной точке

кристалла

менять

на

правление

и величину

вектора

Е таким образом, чтобы

конец его

соответствии с формулой (7)

описывал

поверхность

эллипсоида,

Т')

при

этом

энергия

электростатического

поля остается

постоян

ной величиной. Разумеется, в качестве - составляющих

поля

Ех,Еу

должны быть взяты

проекции

вектора

Е па направление

глав

ных осей

кристалла .

Главные

значения

тензора

диэлектрической

проницаемости

можно

определить

исходя из следующих

соображений.

По

математическому

смыслу

тензор

диэлектрическрй прони

цаемости

преобразует

вектор Е в вектор D изменяя,

вообще

гово

ря, по-разному его

составляющие .

Однако, как уж е было сказано, существуют такие

направления,

что тензор диэлектрической проницаемости изменяет только

вели

чину вектора

Е, не

меняя его направления, в результате

чего

век

тор D оказывается коллпиеарным

вектору

Е.

' Поэтому если вектор Е направлен по какомулибо из главных

направлений и его составляющие в	некоторой системе координат
Ех, Еу, Е2, то будем иметь:
гхх Ех +Еху Ву+ехг	E-z=&^х !
£УХЕ1 ^-j-sууЕ y-^-£yzE£ &Еу,
егх^х~\-ѣгу^у+ггг^г	— £EZ>

где s указывает, во сколько раз по величине изменяется вектор Е, будучи направленным по какому-либо из главных направлений тензора.

Эта система однородных		уравнений		относительно Ех, Еу, Е2
имеет	нетривиальное решение только тогда,				когда ее определитель
равен	нулю, т. е.		е.
	~е)	&ху>	е.
		-1	~yz	=0.

Этот определитель представляет собой кубическое уравнение относительно е. Поскольку тензор s,-/ симметричен, все три корня получаются вещественными. Эти корни и суть главные значения тензора диэлектрической проницаемости s,, е2, s3.

	ЛЕКЦИЯ	11
	М А Г Н И Т О С Т А Т И К А . П О Л Е	П О С Т О Я Н Н О Г О ТОКА .
	П О Л Е П О С Т О Я Н Н О Г О М А Г Н И Т А
1.	Поле постоянного тока. Векторный потенциал.
2.	Магнитное поле линейного тока. Магнитный диполь.

3.Магнитные свойства вещества.

4.Поле постоянного магнита.

5. Ферромагнитный шар в	однородном магнитном поле.
1. Поле постоянного	тока. Векторный потенциал

Уравнения М а к с в е л л а
П. r o t H = J ,
I V . d r v B = 0
и материальное уравнение
В = ^ Н	(1)

описывают закономерности магнитостатики. Поле постоянных маг

нитов является частным случаем магнитостатики, который									имеет
место при	j =	0.
Уравнение		I V		утверждает,		что	вектор В соленоидален		и по
скольку d i v r o t A =				0,	то можно	положить
					B = r o t A .				(2)
Считая	fAa =		const		и подставляя		это выражение	д л я В с	учетом
( I ) в уравнение			I I , получаем
					rot rot A = [ i . a J .				(3)
Воспользуемся				тождеством
rot rot A = g r a d di v A — ( х ° ѵ 2 Л v + y V ^ y+20v2A								z)>
и полагая					d i v A = 0 ,				(4)
					d i v A = 0 ,				(4)

найдем вектор А; апостериори убедимся, что это условие выпол няется. В результате (3) представится тремя скалярными уравне ниями Пуассона

или одним векторным уравнением Пуассона

Ѵ2 А = - М -

Аналогично решению

уравнения Пуассона для электрического потенциала

.мы можем написать

	V
и соответственно
	4uJ г
	V
П о к а ж е м ,	что условие (4) действительно выполняется. В самом
деле, так как	в дифференциальной операции d i v A дифференци

рование .производится по координатам точки наблюдения, т. е. по координатам х, у, z, входящим только в выражении

то

Здесь замкнутая поверхность 5 должна быть взята столь боль ших размеров, чтобы ею были охвачены все токи, не пересекая их. Поэтому поверхностный интеграл равен нулю и, действительно, div А = 0 . '

2. Магнитное поле линейного тока. Магнитный диполь

Так как div rot H =	div j = 0, то	токи в магнитостатике		всегда
замкнуты и поэтому на практике		в большинстве	случаев	имеют
дело с линейными замкнутыми токами. Д л я этих			случаев	найдем
векторный потенциал	(рис. 1). Имеем
		=/Д1
и, следовательно,
	d\			(5)
	4îtJ	г		(5)

Магнитное поле равно

	1-гот А	' frot A		' f g r a d
		4я J	г	4it J ь
Это хорошо известный закон Био-
Вычислим поле		кругового		витка
тока. Пусть	плоскость		витка	лежит
в координатной плоскости ху				и точку
наблюдения	будем	считать л е ж а щ е й
в плоскости	xz (рис. 2).

J - x d l = f

4л J rz

Савара .

х.ЦЛ

Рис. 1

Рис. 2

Как видно из формулы (5), вектор А не имеет составляющей по оси oz. Рассмотрим выражение для векторного потенциала, созда ваемого каким-либо из 4 элементов тока длины dl (рис. 2):

сІА=

Jd\

4хг

Как видно из (рис. 2)

dA=dAy=2^/dl[-jr	COS tp .
5 Черный	65

Будем	вычислять вектор А на больших расстояниях по		сравне
нию с радиусом а кругового		витка тока, тогда, как видно	из рис. 2,
п мы	r2 —/"i~2acos fs'in *
п мы	получаем	к 2
		к 2
	Л = j d . 4 y =	j ^ - ^ ^ s i n a c o s V ? .
Отсюда		'о
Отсюда

(S — площадь витка), причем

А=Лср°=Л9 <р°,

где ф° — единичный вектор координатной линии гр сферической си стемы координат г, Ф, ф, (рпс. 2).

Имея в виду, что B = rot А в тон ж е системе координат, будем иметь

r o t 8 A = 4 - - ^ ( M ? ) = - ^ s i n & ;

откуда, обозначая IS = m, получаем

H = - ^ r ( r ° 2 c o s & + 9 ' ° s i n & ) .

(7)

Сопоставляя эту формулу с выражением для напряженности поля электрического диполя

E = 4 ^ ( r ° 2 c o s *M'°sin&),

ввдим, что круговой виток с током эквивалентен диполю — магнитному диполю с моментом

m = / S n ,

(8)

где п — нормаль к плоскости витка.

3. М а г н и т н ы е свойства вещества

Рассмотрим очень длинный соленоид, по .виткам которого про текает ток / и соответственно на единицу длины ток I \ = NI, где Л' — число витков на единицу длины. Поскольку вне соленоида

ноле Н = 0 согласно I I уравнению Максвелла в интегральной фор ме, где интеграл ^Hidl берется по контуру, указанному на рис. 3,

для поля внутри соленоида получим (рис. 3,о)

Я = / 1					(9)
Ампер впервые обнаружил, что если внутрь
соленоида поместить железный сердечник, то
вектор магнитной индукции В изменяется — он
увеличивается. Ампер	предположил,		что		это
увеличение происходит в результате			того,		что
на поверхности сердечника появляется				доба
вочный ток — поверхностный ток намагниче
ния /.Унам, создаваемый	молекулярными			круго
выми токами (рис. 3,6).
К а ж д а я молекула представляет собой круго
вой ток с днпольным	моментом	т М О л ( р и с .			3,е)	Рис. 3
и согласно формуле (8) можем		для	суммар

ного момента молекул, находящихся в объеме единицы длины сер

дечника,		написать
где	S — площадь			с е р д е ч н и к а , I s « a » \ —			поверхностный	ток	намагни
чения на		единицу длины			сердечника.
В последней формуле учтено, что							при суммировании		круговых
молекулярных			токов остается			только	переферийный,	поверхност
ный	ток.
Можно внести в рассмотрение вектор магнитного момента еди
ницы объема			сердечника, по величине				равный
				М =					(10)
Сопоставляя				формулы	(10)	и (9),	заключаем, ч т о / j „ a M i связан
с M	аналогично			тому, как	ток	/ связан с И, т. е. аналогично соот
ношению

можем написать

§MldUJs„^.

Отсюда делаем вывод о том, что существует не только поверх ностный ток намагничения, но и объемный ток намагничения, плот ность J „ n M которого определяется в соответствии с последним инте гральным соотношением формулой Стокса

{rotMdS=$J„à„dS,

То есть

	JHaM = rOt M .
Таким образом,	согласно	второму	уравнению Максвелла вну
три' вещества имеет	место равенство
	g
	rot — = J + J H a M = J+rot M ,
	ft>
откуда
	rot ( — - M
Вектор
	н	- і - м	( И )
		ft:
и есть напряженность магнитного поля			в веществе.
Из этого соотношения получаем

•в=ын+м).

Вбольшинстве веществ вектор M прямо пропорционален век тору Н, т. е.

м=хт н,

где хт — магнитная		восприимчивость. Так что
		в=іѴД+хт )н=^н
и относительная	магнитная		проницаемость		равна
П р и Х ш > 0	в е щ е с т в о — п а р а м а г н е т и к ,				при Хт<®	вещество —
диамагнетик, причем		в обоих случаях I / J C 1 - При / т > 1				вещество—
ферромагнетик.
	4.	Поле	постоянного	магнита
Итак, внутри вещества			постоянного	магнита согласно четвер
тому уравнению'Максвелла

d i v B = i v l i v ( H + M ) = 0 ;

можем написать

сііѵ Н = — d i v M .

Величину —div M формально можем трактовать как объемную плотность «магнитных зарядов»

p m — d i v ' M .

В этомслучае уравнения Максвелла принимают вид уравнений

rot Н = 0 ; d i v H = P m ,

ьоторые формально аналогичны уравнениям Максвелла для элек тростатики:'

				r o t E = 0 ;
			;	d i v E = - L .
			;		«о
Следовательно, в			магнитостатике		постоянных	магнитов можем,
.к?к и	в	электростатике,		ввести понятия магнитного потенциала
<рт по	формуле
				H = - g r a d <?„„
который		удовлетворяет		уравнению	Пуассона	•
				V2 ?m = -Pm.
решением		которого	является выражение

В частности, поле магнитного диполя на больших расстояниях можно рассматривать как поле двух «магнитных зарядов» и соот ветственно потенциал его будет равен

/«COS 9-

Ти- 4лгг '

где m — момент диполя.

5. Ферромагнитный шар в однородном магнитном поле

В качестве примера применения полученных в п. 4 формул рас смотрим ферромагнитный шар в однородном магнитном поле Н 0 (рис. 4).

Здесь граничные условия на поверхности ш а р а для потенциала аналогичны граничным условиям в случае диэлектрического шара, т. е.

4m\\s=<?m2\s>

дп = ^ 2 дп

Рис. 4

Поэтому здесь можно воспользоваться готовым решением для диэлектрического ш а р а (формулы (8) и (9) лекции 9), но с уче том отличия выражений для потенциалов электрического и магнит ного диполя

ср.	/1COS Э-	/7/.COS 9-
ср.	4 КЕП Л2	'

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ