книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций
.pdfВ О Е Н Н А Я И Н Ж Е Н Е Р Н А Я Р А Д И О Т Е Х Н И Ч Е С К А Я О Р Д Е Н А О Т Е Ч Е С Т В Е Н Н О Й В О И Н Ы
А К А Д Е М И Я П Р О Т И В О В О З Д У Ш Н О Й О Б О Р О Н Ы имени М а р ш а л а Советского Союза Г О В О Р О В А Л . А.
Ф. Б. ЧЕРНЫЙ
ТЕ О Р И Я ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО П О Л Я
КУРС ЛЕКЦИЙ
ИЗДАНИЕ АКАДЕМИИ
1 9 7 3
УДК 538.3+538.57
Ф. Б. Черный
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В настоящем курсе лекций по теории электромагнитного поля центральное место занимает теория плоских электро магнитных волн, В свя.іи с этим по сравнению с традицион ным «радиотехническим» курсом в данном курсе ТЭМП из менились значение и удельный вес других вопросов. В ряде случаев претерпела изменения и методика изложения мате-, риала. Эти особенности данного курса ТЭМП предопредели ли целесообразность опубликования настоящих лекций.
ЛЕКЦИЯГ
В В Е Д Е Н И Е
1.Понятие поля.
2.Основная характеристика скалярного поля.
3. |
Основные характеристики векторного |
поля. |
4. |
О дифференциальных и интегральных |
характеристиках поля |
инаглядном его представлении.
5.Интегральные характеристики поля.
1.Понятие поля
Все пространство пронизано полями. Мы живем в гравитацион
ных |
полях Земли и. Солнца. Н а с о к р у ж а ю т и |
пронизывают |
|
элек |
тромагнитные поля. Свет это тоже электромагнитное поле. |
Кругом |
|||
действуют поле атмосферного давления, поле |
температур |
и |
т. д. |
|
Что ж е такое поле? Поле это любая физическая величина, |
кото |
|||
рая |
в разных точках пространства принимает |
разные значения. |
||
А |
что такое физическая величина? Это величина, которая |
коли |
чественно может быть измерена. Математически поле описывается функцией пли, более обще, совокупностью функций координат и времени. Так, поле температур есть скалярное поле и описывается одной функцией координат и времени.
Гравитационное поле есть векторное поле и соответственно опи сывается тремя скалярными функциями координат и времени.
Электромагнитное поле, как увидим далее, описывается несколь кими векторными функциями координат и времени.
Структура полей и процессы, происходящие в полях, описыва ются дифференциальными уравнениями в частных производных, по скольку независимыми переменными являются пространственные координаты X, у, z и время t. И это описание поля есть точное его описание. Более точного описания поля чем то, что дает дифферен циальное уравнение, не существует.
Мы увидим, что электромагнитное поле описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных — уравнения ми! М а к с в е л л а .
3
2. |
Основная характеристика скалярного поля |
|
|
|
Основной характеристикой скалярного поля cp(,t, у , z, |
t) |
явля |
||
ется вектор |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
Ѵ = х ° - ^ . + y ° - | ^ + z 0 - ^ — д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы й |
о п е р а т о р |
„набла", |
||
или оператор |
Гамильтона; |
|
|
|
grad <р — вектор, направленный в сторону быстрейшего |
возра |
|||
стания функции <? и по величине р а в н ы й производной этой |
функции— |
|||
по этому направлению . Вектор grad <р, поскольку |
он не зависит от |
направления координатных осей и положения их начала, есть ин
вариантная |
|
величина. Ясно, что инвариантной величиной не может |
|||||||||||
|
|
|
д<? |
|
д<е |
|
до |
|
|
|
|
|
|
являться |
ни |
, |
ни |
и л и - ^ - , |
поскольку |
эти |
производные функ |
||||||
ции зависят |
|
от направления |
координатных осей. Поэтому эти про |
||||||||||
изводные в отдельности не могут быть характеристиками |
поля. |
||||||||||||
|
3. Основные характеристики векторного поля |
|
|||||||||||
Основными |
характеристиками |
векторного |
поля |
A(.v, у , z, t) |
|||||||||
являются: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div А — расхождение |
или расходимость |
вектора и |
|
|
|||||||||
rot А — вихрь, ротор или ротация |
вектора; |
|
|
|
|||||||||
Как |
известно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
л- |
A |
àAx. |
. àAy |
дА, |
, |
д / |
лч |
|
|
|
|
|
|
d i v |
А = â T + DJ |
" - ^ - V - A = v A - ( v , A ) . |
|
|
||||||
Ясно, что каждое |
слагаемое в отдельности, а т а к ж е |
производные |
|||||||||||
дА, |
|
àAy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вида — - , |
—^- и т. д. не могут |
являться |
инвариантными |
величи |
|||||||||
нами, т. е. не могут быть характеристиками |
поля. |
|
|
||||||||||
П о определению, |
, |
à А, |
|
|
дАс_ |
дА, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
rot А = х ° |
ду |
dz |
dz |
dx |
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ z ° |
дАу |
â ^ ) = V X A = |
f v A ] = [ V ) A ] |
|
||||
|
|
|
|
|
|
ду |
ду |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
x° |
y 0 |
z° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
rot A = |
_д |
д |
d_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
ày |
dz |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
Ay |
Az |
|
|
|
|
4
Векторное поле, у которого div А = 0 , называется полем, свобод
ным от источников |
или соленоид'альным |
(трубчатым) |
полем. |
|
|
Векторное поле, |
у которого г о 1 А = 0 , называется |
безвихревым |
|||
или |
потенциальным. |
|
|
|
|
4. О дифференциальных и интегральных характеристиках |
поля |
||||
|
и |
наглядном его представлении |
|
|
|
Определенные выше характеристики поля характеризуют |
поле в |
||||
точке, |
в к а ж д о й точке в отдельности. |
Поэтому они являются |
диф |
ференциальными характеристиками . Наиболее простым примером дифференциальной характеристики является плотность вещества
Ясно, 'что как-то наглядно изобразить то, что непосредственно
относится |
к точке, |
невозможно. Однако дифференциальные харак |
||
теристики |
имеют |
физический |
смысл. Следовательно, |
физический |
смысл и |
наглядность это не |
тождественные понятия. |
Физический |
смысл это более широкое понятие, чем наглядность, так как суще
ствуют величины, имеющие физический смысл, |
но |
их |
наглядно |
|||
представить невозможно. |
|
|
|
|
|
|
Н а г л я д н о |
изобразить можно характеристики |
поля, |
относящие |
|||
ся к области |
пространства |
конечных размеров . |
Так, |
|
наглядное |
|
представление |
о скалярном |
поле температур Т(х, |
у , |
z) |
дает се |
мейство кривых
Т(х, у , z) = const
внекоторой плоскости; эти кривые называются изотермами (рис. 1)
На этом ж е |
рисунке |
изображены |
изобары — семейство |
|
кривых |
||||||||||
равного давления р(х, у , z) |
= const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Примером |
наглядного |
представления |
скалярного |
поля |
в |
тео |
|||||||||
рии электромагнитного |
поля являются |
эквипотенциальные |
по |
||||||||||||
верхности |
<Р (х, |
у , z)=consl . Очевидно, что |
чем |
больше |
по |
абсо |
|||||||||
лютной величине |
grad 7", grad р , тем |
гуще |
проходят |
изотермы и |
|||||||||||
изобары . |
Точно |
т а к ж е , |
чем больше |
I grad<p|, |
тем гуще |
проходят |
|||||||||
эквипотенциальные |
поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
• Векторные |
поля |
и з о б р а ж а ю т с я |
при помощи |
векторных |
линий. |
||||||||||
Векторная линия это линия, в каждой |
точке |
которой |
касательная |
||||||||||||
совпадает |
с направлением' |
вектора |
в |
этой |
точке. |
Густота |
|
вектор- |
Рис. 1 |
Рис. 2 |
ных линий дает представление о величине вектора. Пример нагляд ного изображения векторного поля приведен на рис. 2. Абсолютная
5
величина вектора |
А, т . е . |АІ, в левой части рисунка |
больше, чем в |
правой части. |
|
|
5. |
Интегральные характеристики поля |
|
Интегральная |
характеристика векторного поля |
А, соответству |
ю щ а я дифференциальной характеристике div .4, есть поток Ф век
тора А через замкнутую поверхность (рис. 3), т. е. |
|
|||
|
Ф=$А |
ndS = l f A n d S = ^ A d S ; |
|
|
|
.S |
5 |
S |
|
dS=ndS; |
n - н о р м а л ь к поверхности |
S. |
|
|
Интегральная характеристика векторного поля А, |
соответству |
|||
ю щ а я |
дифференциальной |
характеристике roi А, есть |
циркуляция |
Ц, равная криволинейному интегралу по замкнутому контуру от
проекции |
вектора А па |
касательную |
в каждой точке контура |
(•рис. 4), |
т. е. |
|
|
|
Ц^А |
idl=$Al°dl=jkdl; |
|
|
"i |
i |
i |
|
|
Рис. |
3 |
|
Рис. |
4 |
|
d\=l°dl; |
І° —единичный |
в е к т о р |
по |
касательной |
к |
к о н т у р у . |
|
Связь |
межд у интегральными |
и дифференциальными характери |
|||||
стиками |
поля устанавливается |
теоремой Остроградского — Гаусса |
|||||
и формулой |
Стокса. |
|
|
|
|
|
|
Теорема |
Остроградского — Гаусса |
формулируется |
соотношением |
§AndS=ftlvAdV,
где V — объем, ограниченный замкнутой поверхностью 5. Отсюда получаем
§A„dS d i v A = l i m ^
I/-+0 V •
Из данного определения понятия div А сразу следует инвариант ность этой характеристики поля.
Формула Стокса имеет вид
<М |
idUlxoinkdS, |
•*i |
s |
6
где 5 — произвольная поверхность, о п и р а ю щ а я с я |
на |
контур |
/, с на |
||||||||
правлением обхода, указанным на рис. 5. |
|
|
|
||||||||
Р а з |
и навсегда |
условимся, |
как |
это |
|
|
|
||||
обычно |
делается |
в |
математике, |
направ |
|
|
|
||||
ление |
обхода |
|
считать |
положительным, |
|
|
|
||||
если |
нормаль |
п |
к поверхности 5 |
при |
об |
|
|
|
|||
ходе |
все |
время |
остается |
слева. |
|
|
|
|
|
||
Из |
последней |
формулы, получаем |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
§Atdl |
|
|
|
|
|
|
|
|
r o t . A = l i m Z |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
" |
s~o |
S |
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При предельном переходе поверхность 5 берем в |
виде |
площад |
|||||||||
ки, ограниченной |
контуром / и при этом площадку |
поворачиваем до |
|||||||||
тех пор, |
пока |
|
|rot„A| |
« е примет максимального значения, рав |
|||||||
ного |
(rot А[. Из |
данного |
определения |
понятия rot А |
сразу |
следует |
|||||
инвариантность этой |
характеристики |
поля. |
|
|
|
ЛЕКЦИЯ 2
У Р А В Н Е Н ИЯ МАКСВЕЛЛА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
1.Общий смысл уравнений Максвелла .
2.Формулировка уравнений Максвелла в интегральной форме.
3.Уравнения М а к с в е л л а — обобщенная формулировка экспери ментальных законов.
4.Закон сохранения зарядов .
1.Общин смысл уравнений Максвелла
Электромагнитное |
поле характеризуется четырьмя |
векторами. |
|||||
Эти векторы |
таковы: |
|
|
|
|
|
|
Е(х. у , z, |
t) |
— вектор |
напряженности |
электрического |
поля; |
||
B(.v, y, z, |
I) |
—вектор |
|
магнитной индукции; |
|
||
D(x, у , г, t) — вектор электрического смещения; |
|
||||||
H(.v, у , z, |
L) — в е к т о р |
напряженности |
магнитного поля. |
||||
Размерность этих |
векторов |
|
|
||||
|
|
вольт |
|
в |
|
|
|
[Е] |
= метр |
|
м |
|
|
||
IDl — К У Л 0 И |
= |
|
. |
|
|
||
L ' ~ метр2 |
|
-«а ' |
|
|
|||
[В] = тесла = Т; |
|
|
|||||
|
|
ампер |
А |
|
|
|
|
|
|
метр |
м |
|
|
|
|
Источники электромагнитного поля характеризуются:
— вектором плотности электрического тока J;
— плотностью электрического з а р я д а р- Размерность этих величин
|
ампер _ |
А |
|
||
|
метр |
2 |
м2 1 |
||
|
|
|
г |
|
|
[Р] |
кулон |
Кл |
|
||
метр |
3 |
|
•3ъ |
• |
|
|
|
|
м |
|
8
Уравнения Максвелла имеют следующий вид:
I I . |
r o t b U cm |
Г J; |
|
dt |
|
I I I . |
d l v D = p ; |
|
IV. |
d i v B = 0 . |
|
Уравнения Максвелла формулируют в наиболее общем компакт
ном виде |
законы электромагнитного поля. |
Они суть законы, |
выра |
|
ж а ю щ и е |
в наиболее общем виде структуру |
электромагнитного |
поля, |
|
и устанавливают связь между |
электромагнитным полем и его ис |
|||
точниками, которыми являются |
токи и заряды . |
|
Уравнения Максвелла установлены на основе необъятного ко личества экспериментальных фактов . Нет ми одного эксперимен тального факта, который бы противоречил уравнениям . Теоретиче ски эти уравнения не доказываются . Чем полезна формулировка закономерностей поля в обобщенном виде уравнений? Т а к а я фор мулировка позволяет установить частные закономерности, в том числе к ранее неизвестные.
Выписанные выше уравнении Максвелла являются дифферен
циальными уравнениями в |
частных производных. |
Однако уравне |
ния М а к с в е л л а могут быть |
сформулированы и |
в интегральной |
форме. Т а к а я формулировка позволяет установить прямую связь уравнений Максвелла с теми экспериментальными законами, обоб щением которых они являются .
2.Формулировка уравнений Максвелла в интегральной форме
Первое уравнение М а к с в е л л а (в некоторых книгах оно счита ется вторым) формулируется так:
где |
/ — ф и к с и р о в а н н ы й |
в о о б р а ж а е м ы й |
|
||||||
з а м к н у т ы й к о н т у р , а 5 — п р о и з в о л ь н а я |
|
||||||||
п о в е р х н о с т ь , о п и р а ю щ а я с я |
на |
этот |
кон |
В |
|||||
тур |
( р и с |
1). |
Ц и р к у л я ц и я |
вектора |
на |
|
|||
п р я ж е н н о с т и |
э л е к т р и ч е с к о г о |
поля |
по |
|
|||||
н е п о д в и ж н о м у |
к о н т у р у |
равна |
произ |
|
|||||
водной по |
времени с обратным |
знаком |
|
||||||
от |
потока |
магнитной |
индукции |
ч е р е з |
|
||||
п о в е р х н о с т ь , |
о п и р а ю щ у ю с я |
-на |
|
этот |
|
||||
к о н т у р . |
|
|
|
|
|
|
Рис. |
1 |
9