Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

ность поля	создается поляризационным поверхностным з а р я д о м
плотности	р п о л ( f =Pcos&.

Поле dEi, создаваемое этим поверхностным зарядом, располо женным на элементе dS=a2sin ftd&d<? поверхности ш а р а радиуса а, р;-іВно

	dEt=	Pcos 9-dS _ Pcos Э-sin &dbd<?
	dEt=	4ite0
		4ite0

При суммировании векторов поля, создаваемых всеми элемен тами поверхности ш а р а , останется только вертикальная составляю щая поля Eiz (рис. 7), так что необходимо проинтегрировать ве личину

dEu=dEi	cos » =				-
				4 я е 0
и мы получим
- 2п
Pcos2 »sin,^	,„	,	i	f	Pcos'frsin bdb	P_
n0 0			0
Признаком правильности сделанных предположений и получен
ного результата является то, что				не	зависит от радиуса шара .
5. Формул'а		Клаузиуса—Мосотти
Таким образом,
				р
				о
откуда			NasüE
	Р=		NasüE
	Р=
				3
Учитывая формулу (6),	находим
Na			s - 1			(7)
	3		£ + 2	'		(7)
	3		£ + 2	'

Это соотношение называется формулой Клаузиуса — Мосотти по имени ученых, впервые в середине прошлого века его написавших.

Эта формула примечательна тем, что она связывает между со- • бой макроскопический параметр вещества, каковым является от

носительная диэлектрическая проницаемость	е, с микропараметра
м и — поляризуемостью молекулы а и числом	N.

	ЛЕКЦИЯ 9
П Р О В О Д Я Щ И Й	И Д И Э Л Е К Т Р И Ч Е С К И Й	ШАР
В О Д Н О Р О Д Н О М	ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ	ПОЛЕ

1.Постановка задачи .

2.И д е а л ь н о проводящий ша р в однородном электростатическом

поле.

3.Диэлектрический шар в однородном электростатическом поле.

1. Постановка задачи >

В однородное электрическое поле Е 0 вносится идеально прово дящий ш а р или шар из идеального диэлектрика . Требуется найти

возмущенное поле. Ясно, что на		больших расстояниях от ш а р а	по
ле будет невозмущенным	и равно Е 0 (рис. 1). Очевидно, что		для
нахождения возмущенного	поля	целесообразно использовать .сфе-

		Рис.	1	Рис. 2
ркческую систему		координат		г, &,<р. Однородное поле в этой систе
ме координат	представится		формулами (рис. 2).
Er=E	Ocos	&; Еъ =		^ O C Ü S ^ - ^ - +&j^-j^oSln &;

Eo=£0 (r°cosa-ft0 sin8).

Потенциал	?0 однородного поля	в этой ж е системе		координат,
к с. к нетрудно	проверить по формуле	Е	0 = — gr.ad<p0, равен
	fo=—E0rcos	&.		(1)

Н а х о ж д е н и е возмущенного поля, как в общем случае, имеет ме

сто в	теории электромагнитного поля, проводится двумя этапами:
а)	находится решение, удовлетворяющее уравнениям Мак
свелла;

б) подбираются неизвестные постоянные, входящие в решение таким образом, чтобы были удовлетворены граничные условия на границе сред .

Однако зачастую оказывается возможным воспользоваться го


товым решением		и таким	образом		свести решение			задачи		только
к выполнению второго этапа.				Н и ж е поставленную				задачу		мы	бу
дем решать именно этим			путем.
	2. Идеально проводящий шар в однородном
		электростатическом				поле
Хорошо известен метод решения следующей							простой			задачи:
имеется	точечный	з а р я д	над	идеально		проводящей плоскостью,
требуется найти		поле н а д	этой	плоскостью. Эта			з а д а ч а		решается
методом зеркальных изображений . Этот						метод		состоит		в	том,
что поле	над плоскостью		представляется			в виде	суммы		полей		ре
ального	з а р я д а и его зеркального				изображения,		имеющего			проти-

ьоположный знак. Как видим, суть этого метода в том, что исполь

зуется	готовое		решение	уравнений	М а к с в е л л а — таким			является
поле воображаемого заряда, причем положение							этого заряда по
добрано так, что суммарное поле удовлетворяет						граничному		условию
на идеально проводящей				плоскости	£ т = 0 .	;
" Метод зеркальных изображений					наводит на мысль о возмож
ности	подбора такой в о о б р а ж а е м о й				системы, з а р я д о в внутри шара,
чтобы	поле	этих	з а р я д о в	совместно	с однородным полем Е 0 удов
летворяло		граничному условию на			поверхности		шара
				£",=0.	" .-			(2)

Вытекающее из этого условия граничное условие для потен циала <р таково:

где	/ — л ю б а я кривая на			поверхности		шара	S. Отсюда		следует,
что	f\s = const.
Итак,
				«Р-То+Тдоп.
где	<рд о п — потенциал		искомой		системы	з а р я д о в	внутри	ш а р а .
Из формулы		(1)	следует,		что <рд оп д о л ж н о с о д е р ж а т ь			множитель
c o s ô	(граничное	условие		д о л ж н о выполняться			при любом		ô), а та

кой множитель содержится в выражении для потенциала диполя. Поэтому положим

^cos э-

где р —• искомый момент диполя . Следовательно,

На

поверхности

шара, т. е. при г —а,

должно

выполняться ус

ловие

<Pç=j — Е0а

_Е—|cosö=const.

4*= 0 я а /

Так как это равенство д о л ж н о

выполняться

при

любом

&, то

оно

возможно только

тогда,

когда

—Е0а+

• = о,

откуда

получаем

/ ? = 4 а д 3 Е 0 £ 0

(3)

и задач а решена. На

рис. 3

показаны

векторные

линии

поля Е.

3. Диэлектрический

шар в

однородном

электростатическом

поле

В этом случае, в отличие

от предыдущего, д о л ж н ы

выполняться

два

граничных условия:

(4)

(5)

где

Êj

и е,— диэлектрические

проницаемости

внутри

и вне

шара

(рис. 4) .

Граничному условию (4) соответству

ет условие для

потенциала

foi

Рис. 4

Это

граничное

условие

сводится

к сле

дующему:

cpj—cp2 =const=0,

поскольку в бесконечности потенциал <р2 д о л ж е н равняться нулю. Таким образом, на поверхности- ш а р а д о л ж н о выполняться усло вие

?і Ь= [Р2І5

(6)

и условие,

соответствующее

(5),

' 1

дп

(7)

В случае идеально проводящего ш а р а поле внутри его

равно

нулю. В случае ж е диэлектрика

поле внутри шара отлично от нуля.

Поэтому д о л ж н ы быть две неизвестные

величины

соответственно

двум граничным условиям . Если попытаться

решить

задачу

путем

подбора

поля диполя, то это даст одно

неизвестное—< момент

ди

поля р. Очевидно, что вторым

неизвестным

д о л ж н о

быть поле

Е,

внутри шара . Итак, полагая

поле

E h

параллельным

полю

Е 0

внутри ш а р а однородным, имеем

Вне

шара

?2 =

То + Ч'»п = - V C O S & +

£ С

° ! г ' •

Подставляем эти в ы р а ж е н и я

в граничные

условия

(6)

(7),

и получаем

систему

уравнений

-F

2р

Р е ш а я

ее,

находим

/?=4т:е 0 е 2 а3

— — —

(8)

2 ч + Ч

+ Ч

°-

В частности, при е 2 =

1 , г 1 = г > 1

/ ? = 4 * е 0 а 3 ^ Е 0

(9)

(10)

Конфигурация векторных линий поля Е для это го случая изображена на рис. 5. В связи с неравен Рис. 5 ством (10) вводят понятие фактора деполяризации,

который определяется по формуле

Р '

где Р — вектор поляризации внутри "диэлектрика ш а р а .

Учитывая, что Р— £ 0 ( е — \)Еи находим
" ~ « o ( ' - l ) F 3	3 '

Рассмотренное решение задачи о шаре используется при изу чении рассеяния электромагнитных волн в атмосфере и в других средах,.

			ЛЕКЦИЯ	10
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО						ПОЛЯ
1. Энергия	дискретной		системы	и непрерывно		распределенных
в пространстве		зарядов .
2. Энергия	электростатического			поля	в анизотропной среде.
Симметричность		тензора	диэлектрической		проницаемости.
а. Эллипсоид		энергии	тензора	диэлектрической проницаемо-
СІ.И (эллипсоид		Ф р е н е л я ) .

1.Энергия дискретной системы и непрерывно распределенных

впространстве зарядов

Рассмотрим систему п	проводников, на которых распределено
(по поверхности) п з а р я д о в	qi (рис. 1).

		Рис. 1
Энергия,	запасенная в	электростатическом поле в объеме V,
равна
		V
П о д с т а в л я я	под интегралом	Е=—grad<p, имеем

Учитывая равенство

Dgrad cp=div(tpD)—<pdiv D

и имея в виду, что вне проводников d i v D = 0,

W . = - 4 - J d i v ( ¥ D ) d l / .

Воспользовавшись

теоремой

Остроградского — Гаусса

тем,

что потенциал

каждого

проводника

постоянен,

найдем

U r .=

—У,

<?,j>DnidS+

-L

fa„DndS,

i-t si

г д е S „ — п о в е р х н о с т ь

сферы

очень

большого

радиуса,

включаю

щей все проводники.

В последней формуле считаем нормали

к поверхностям

провод

ников внешними

по

отношению к проводникам. Вспомним, что в

теореме Остроградского — Гаусса нормали

должн ы

быть

внешними

по отношению

той

области,

которой

теорема

применяется.

Интеграл по

поверхности

сферы

S „

д о л ж е н

стремиться

нулю

с увеличением радиуса сферы /•«,, поскольку

_ г 2

Учитывая

далее,

что

§DnidS=qi,

окончательно

находим

В ы р а ж е н и е (1), используя так называемые коэффициенты элек тростатической индукции С'(к, определяемые формулой

ЯІ=^ІС'ІК?Х> і-=1,2,3,...,га,

можно представить в виде

лл

Эти коэффициенты, как следует из равенства

d*Ws _ d°-Ws _	1	с -
àfKdfi • дъдук	2	I"'

симметричны, т. е.

Заметим, что коэффициенты электростатической индукции от личаются от т а к называемых коэффициентов взаимной емкости Сек, поскольку последние определяются формулой

СС=1£СІК(ЧІ—ЧК) + СІІ<(..

Коэффициенты взаимной емкости являются обобщением поня тия обычной емкости конденсатора

— С .

М е ж д у коэффициентами взаимной емкости и коэффициентами электростатической индукции, как нетрудно установить из приве денных формул, имеется связь:

Cu-tc">

С'ік=-Сік<0.

Сц — называется

собственной

емкостью;

С'н

— коэффициенты емкости.

Ясно, что

формула

(1)

применима

к случаю

системы

точеч

ных

зарядов .

этом

случае <р,- — это

потенциал

точке, где

нахо

дится

з а р я д

qi и созданный всеми остальными

з а р я д а м и .

част

ности,

для

энергии

взаимодействия двух

зарядов

W^-±-{qlb

+ q2o2).

(2)

Здесь может возникнуть вопрос: откуда взялся

м н о ж и т е л ь - ^ - ?

Согласно

элементарным

соображениям

энергия

взаимодействия

двух

з а р я д о в

и q2

равна <рі<7і, т. е. работе,, совершаемой

против

сил

поля

на

перенесение

з а р я д а

qx из бесконечности в точку, где

потенциал

равен

Л и б о эта

работа равна <f2q2.

Отсюда

видно,

что

формуле

(2)

величина в

скобках

равна

удвоенной

энергии

взаимодействия.

Пользуясь формулой (2), рассчитываем энергию

4^-%

взаимодействия диполя с внешним

полем. Эта

энер-

гия

р а в н а

(рис.

2).

W^qi^-b^q^M^pgraà

<р = - рЕ .

(3)

Рис. 2

З н а к «—» означает, что энергия взаимодействия, или иначе — потенциальная энергия диполя, наибольшая, когда момент дипо-

ля р противоположно направлен	вектору Е и, наоборот,		когда век
тор р совпадает по направлению	с вектором Е, потенциальная
энергия диполя в электрическом	поле	наименьшая . •
Энергия электростатического	поля	при непрерывном распре
делении зарядов с плотностьюр, как следует из формулы			(1), равна

2. Энергия электростатического поля в анизотропной среде. Симметричность тензора диэлектрической проницаемости

Согласно формуле (3) работа, затраченная полем на поляри зацию диэлектрика единицы объема при создании вектора поля ризации dP, равна

dwa=EdP,

(4)

причем в случае анизотропной среды

dPx+4We.KXdEx+y.exyd.Ey+y.exzdEzy, dPy=^(leyxdEx+^eyydEy+2eyzdEz);

dPz^ezxdEx+XC2ydEy+y.e2zdEz).

Иначе говоря, выражение (4) представляет собой работу, за

трачиваемую на изменение составляющих поля

от Ех, Еѵ,

^ с о о т

ветственно до Ex-\-dEyi

Ey-\-dEy, Е2-\-йЕг.

Если

составляющие поля

принимают первоначальное значение Ех, Еу, Е2, то согласно

закону

сохранения

энергии

изменение

энергии

поля

д о л ж н о

равняться

той ж е величине

(4). Следовательно,

величина dwg

из (4)

должна

являться полным дифференциалом функции wB(Ex,

Еу,

Bz).

О т с ю

да

следует,

что д о л ж н о быть

d-wa

&wa

d'wa

_ <?X

d*wg

dzwB

дЕхдЕу

дЕудЕх'

dExdEz

dEzdEx

дЕудЕг

дЕгдЕу

есть

смешанные

производные от каких-либо

двух

аргументов

функции

\Ѵа

не д о л ж н ы зависеть от порядка

дифференцирования .

Следствием этого

требования

является

симметричность

тензо

р а

Электрической

восприимчивости

и соответственно

симметрич

ность тензора диэлектрической проницаемости.

Проиллюстрируем

этот вывод, для упрощения

предполагая,

что dEz

= 0.

Имеем:

dwB

=EdP=ExdPx+EydPy=B0Ex{yexrdEx+

+ x C ï y r f b " > , ) + e 0 £ , ) J ( ) : e j , v r f £ _ , + ) ; o , y d £ ' y ) = £ 0 ( ) : ^ v £ ' j : +

+yeyxEy)dEx+z0(yeXyEx+yeyyEy)dEy;

дЕх

=го(*~еххЕх+У-еУхЕy)>

дЕудЕх

^еух''

59-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ